NanjingUniversityofTechnology材料力學(6)材料力學第6章彎曲剛度6.1梁的變形與位移

6.3疊加法確定梁的撓度與轉角

6.5提高梁剛度的措施

6.4梁的剛度問題6.2梁的小撓度微分方程及其積分

第6章

彎曲剛度

6.6簡單的靜不定梁

6.1梁的變形與位移

第6章

彎曲剛度限制彎曲變形（剛度問題）1、工程中的彎曲變形問題

6.1梁的變形與位移

機械傳動機構中的齒輪軸，當變形過大時(圖中虛線所示)，兩齒輪的嚙合處也將產生較大的變形。加大齒輪磨損，產生很大的噪聲限制彎曲變形（剛度問題）影響兩個齒輪之間的嚙合機床主軸的撓度過大會影響加工精度；6.1梁的變形與位移

各種車輛中用于減振的板簧，都是采用厚度不大的板條疊合而成。

可以承受很大的力而不發生破壞能承受較大的彈性變形，吸收車輛受到振動和沖擊時產生的動能，收到抗振和抗沖擊的效果。

利用彎曲變形（剛度問題）

6.4梁的剛度問題求解靜不定問題（建立補充方程）

6.1梁的變形與位移

彎曲變形Bx

wA■

取梁的左端點為坐標原點，梁變形前的軸線為x

軸（向右為正），橫截面的鉛垂對稱軸為w

軸（向下為正），xw

平面為縱向對稱平面。■度量梁變形后橫截面位置改變，即位移，有三個基本量。6.1梁的變形與位移

2、基本概念

ABx

w轉角B'w

撓度CC'

撓度deflection（

w）：橫截面形心C(即軸線上的點)的鉛垂位移。

轉角slope（）：變形后的橫截面相對于變形前位置繞中性軸轉過的角度。6.1梁的變形與位移

ABx

w轉角B'w

撓度CC'

軸向位移（u

）：橫截面形心沿水平方向的位移。在小變形情形下，上述位移中，水平位移u與撓度w相比為高階小量，故通常不予考慮。

6.1梁的變形與位移

■撓曲線：梁變形后的軸線。撓曲線ABx

w轉角B'w

撓度CC'注意：當變形保持在彈性范圍內，撓曲線為連續光滑曲線。撓度方程：轉角方程：3、撓度與轉角的關系

6.1梁的變形與位移

在小變形條件下，撓度曲線較為平坦。即很小，因而上式中tan。于是有撓曲線ABx

w轉角B'w

撓度CC'撓度與轉角的相互關系6.1梁的變形與位移

■撓度和轉角符號的規定撓度：向下為正，向上為負。轉角：順時針轉為正，逆時針轉為負。撓曲線ABx

w轉角B'w

撓度CC'6.1梁的變形與位移

6.2梁的小撓度微分方程及其積分第6章

彎曲剛度力學中的曲率公式數學中的曲率公式1、撓曲線的近似微分方程（小撓度）6.2梁的小撓度微分方程及其積分純彎曲時曲率與彎矩的關系為橫力彎曲時,M

和都是x的函數

。略去剪力對梁的位移的影響,則小撓度情形下對于彈性曲線的小撓度微分方程，式中的正負號與w坐標的取向有關。本書規定的坐標系為：

x軸水平向右為正,w軸豎直向下為正。6.2梁的小撓度微分方程及其積分MMoxwoxwMM因此,M與w的正負號正好相反，所以（撓曲線的近似微分方程）6.2梁的小撓度微分方程及其積分近似原因：（1）略去了剪力的影響；（2）小撓度略去了w2

項。

對于等截面梁，彎曲剛度為常量時2、小撓度微分方程的積分積分一次：（轉角方程）積分二次：（撓度方程）式中C、D為積分常數，由梁的約束條件決定。6.2梁的小撓度微分方程及其積分在固定端處：xwAB梁的邊界條件在固定鉸支座和滾動鉸支座處：xABlw3、小撓度微分方程積分常數的確定——梁的約束條件（邊界條件和連續性條件）6.2梁的小撓度微分方程及其積分PABC梁的連續性條件ABlaCM在集中力作用處：在中間鉸處：6.2梁的小撓度微分方程及其積分練習：寫出下圖的邊界條件、連續性條件：AlFCabBEAhDAlFCabB6.2梁的小撓度微分方程及其積分

由M的方向確定軸線的凹凸性。

由約束性質及連續光滑性確定撓度曲線的大致形狀及位置。4、梁的連續光滑撓曲線的繪制6.2梁的小撓度微分方程及其積分試根據連續光滑性質以及約束條件，畫出梁的撓度曲線的大致形狀。思考題16.2梁的小撓度微分方程及其積分試根據連續光滑性質以及約束條件，畫出梁的撓度曲線的大致形狀。思考題26.2梁的小撓度微分方程及其積分試根據連續光滑性質以及約束條件，畫出梁的撓度曲線的大致形狀。思考題36.2梁的小撓度微分方程及其積分例題1求：梁的撓度與轉角方程，以及最大撓度和最大轉角。

左端固定、右端自由的懸臂梁承受均布荷載。均布荷載集度為q

，梁的彎曲剛度為EI、長度為l。q、EI、l均已知。6.2梁的小撓度微分方程及其積分5、積分法求解小撓度微分方程舉例解：1．建立Oxw坐標系

2．建立梁的彎矩方程Oxw6.2梁的小撓度微分方程及其積分xM(x)FQ(x)3．

建立微分方程并積分將上述彎矩方程代入小撓度微分方程，得

Oxw積分后，得到

6.2梁的小撓度微分方程及其積分4．

利用約束條件確定積分常數固定端處的約束條件為：

Oxw6.2梁的小撓度微分方程及其積分5．

確定撓度與轉角方程6.2梁的小撓度微分方程及其積分6．

確定最大撓度與最大轉角

從撓度曲線可以看出，在懸臂梁自由端處，撓度和轉角均為最大值。

于是，將x=l，分別代入撓度方程與轉角方程，得到：

例題2求：加力點B的撓度和支承A、C處的轉角。簡支梁受力如圖所示。FP、EI、l均為已知。6.2梁的小撓度微分方程及其積分

解：1．確定梁約束力

首先，應用靜力學方法求得梁在支承A、C二處的約束力分別如圖中所示。

AB段

解：2.

分段建立梁的彎矩方程BC段

于是，AB和BC兩段的彎矩方程分別為

6.2梁的小撓度微分方程及其積分3．

將彎矩表達式代入小撓度微分方程并分別積分

6.2梁的小撓度微分方程及其積分積分后，得

4．

利用約束條件和連續性條件確定積分常數

x＝0，w1＝0;x＝l，w2＝0x＝l/4，w1＝w2;x＝l/4，1=26.2梁的小撓度微分方程及其積分D1＝D2=05．確定轉角方程和撓度方程以及指定橫截面的撓度與轉角

將所得的積分常數代入后,得到梁的轉角和撓度方程為：

AB段

BC段

據此，可以算得加力點B處的撓度和支承處A和C的轉角分別為

6.2梁的小撓度微分方程及其積分確定約束力,判斷是否需要分段以及分幾段分段建立撓度微分方程并積分利用約束條件確定積分常數確定撓度與轉角方程以及指定截面的撓度與轉角積分法步驟總結分段寫出彎矩方程6.2梁的小撓度微分方程及其積分

6.3疊加法確定梁的撓度與轉角

第6章

彎曲剛度1、疊加法前提★在小變形，服從胡克定律的前提下撓度、轉角與荷載均為一次線性關系

6.3疊加法確定梁的撓度與轉角

實用的工具：撓度表

為方便工程計算，已將各種支承條件下的靜定梁，在各種典型荷載作用下的撓度和轉角表達式一一列出，并形成手冊。重要的方法：疊加法（superpositionmethod）應用疊加原理及常見靜定梁在簡單荷載作用下的撓度和轉角，得到常見靜定梁在復雜荷載作用下的撓度與轉角。

6.3疊加法確定梁的撓度與轉角

6.3疊加法確定梁的撓度與轉角

6.3疊加法確定梁的撓度與轉角

2、第一類疊加法——應用于多個荷載作用的情形

6.3疊加法確定梁的撓度與轉角

●將所得結果疊加后●將其分解為各種荷載單獨作用的情形●由撓度表查得這些情形下的撓度和轉角簡支梁受力如圖所示，q、l、EI均為已知。

求：C截面的撓度wC

；B截面的轉角B。例題3

6.3疊加法確定梁的撓度與轉角

解：1.將梁上的荷載變為三種簡單的情形。

6.3疊加法確定梁的撓度與轉角

2.由撓度表查得三種情形下C截面的撓度和B截面的轉角。

6.3疊加法確定梁的撓度與轉角

3.

應用疊加法，將簡單荷載作用時的結果分別疊加。

6.3疊加法確定梁的撓度與轉角

二梁的受力(包括荷載與約束力)是否相同？二梁的彎矩是否相同？二梁的變形是否相同？二梁的位移是否相同？思考題4

6.3疊加法確定梁的撓度與轉角

BC段有沒有變形？有沒有位移？沒有變形為什么會有位移？FPABC總體變形是微段變形累加的結果。

有位移不一定有變形。思考題5

6.3疊加法確定梁的撓度與轉角

3、第二類疊加法——應用于間斷性分布荷載作用的情形將梁的撓曲線分成幾段，首先分別計算各段梁的變形在需求位移處引起的位移（撓度和轉角）后，計算其總和即得需求的位移。在分析各段梁的變形在需求位移處引起的位移時，除所研究的梁段發生變形外，其余各段梁均視為剛體。

6.3疊加法確定梁的撓度與轉角

懸臂梁受力如圖所示，q、l、EI均為已知。

求：C截面的撓度wC和轉角C。例題

4

6.3疊加法確定梁的撓度與轉角

解：1.

首先，將梁上的荷載變成有表可查的情形

6.3疊加法確定梁的撓度與轉角

2．再將處理后的梁分解為簡單荷載作用的情形，計算各個簡單荷載引起的撓度和轉角

3．將簡單荷載作用的結果疊加

6.3疊加法確定梁的撓度與轉角

6.4梁的剛度問題第6章

彎曲剛度

對于主要承受彎曲的零件和構件，剛度設計就是根據對零件和構件的不同工藝要求，將最大撓度和轉角（或者指定截面處的撓度和轉角）限制在一定范圍內，即滿足彎曲剛度條件：

w——許用撓度——許用轉角均根據對于不同零件或構件的工藝要求而確定。

1、彎曲剛度條件

6.4梁的剛度問題鋼制圓軸，左端受力為FP，FP＝20kN，a＝lm，l＝2m，E=206GPa，其他尺寸如圖所示。規定軸承B處的許用轉角θ=0.5°。

試求：根據剛度要求確定該軸的直徑d。

B例題

5

6.4梁的剛度問題B解：1．查表確定B處的轉角由撓度表中查得承受集中荷載的外伸梁B處的轉角為

6.4梁的剛度問題2．根據剛度設計準則確定軸的直徑B其中，的單位為rad（弧度），而θ的單位為（°）（度），考慮到單位的一致性，將有關數據代入后，有

6.4梁的剛度問題從而得到軸的直徑

矩形截面懸臂梁承受均布載荷如圖所示。已知q=10kN/m，l=3m，E=196GPa，[s]=118MPa，許用最大撓度與梁跨度比值[wmax/l]=1/250，且已知截面高與寬之比為2，即h=2b。

試：確定截面尺寸b和h。

例題

6

6.4梁的剛度問題

6.4梁的剛度問題解：1.

強度條件2.

剛度條件綜合上述設計結果，取剛度設計所得到的尺寸,作為梁的最終尺寸,即

6.5提高梁剛度的措施第6章

彎曲剛度梁的變形除了與荷載與梁的約束有關外，還取決于以下因素：材料——梁的變形與彈性模量E成反比。截面——梁的變形與截面的慣性矩I成反比；跨長——梁的變形與跨長l的n次冪成正比；1、提高梁剛度的措施

6.5提高梁剛度的措施因此,減小彈性位移主要是減小梁的長度l。當梁的長度無法減小時，則可增加中間支座（即采用超靜定結構）。減小跨長跨長——梁的變形與跨長l的n次冪成正比；選擇合理的截面形狀截面的慣性矩I

6.5提高梁剛度的措施例如，在車床上加工較長的工件時，為了減小切削力引起的撓度，以提高加工精度，可在卡盤與尾架之間再增加一個中間支架。減小跨長

6.5提高梁剛度的措施

此外，選用彈性模量E較高的材料也能提高梁的剛度。但是，對于各種鋼材，彈性模量的數值相差甚微，因而與一般鋼材相比，選用高強度鋼材并不能提高梁的剛度。增大彈性模量

6.5提高梁剛度的措施2、拓展到圓軸扭轉和拉壓情況

類似地，提高受扭圓軸的剛度，也可以通過減小軸的長度、增加軸的扭轉剛度（GIP）來實現。同樣，對于各種鋼材，切變模量G

的數值相差甚微，所以通過采用高強度鋼材以提高軸的扭轉剛度，其效果是不明顯的。

6.5提高梁剛度的措施

6.6簡單的靜不定梁

第6章

彎曲剛度靜不定次數：未知力個數與獨立平衡方程數之差靜定問題與靜定結構：未知力（內力或外力）個數等于獨立的平衡方程數靜不定問題與靜不定結構：未知力個數多于獨立的平衡方程數多余約束：保持結構靜定多余的約束

6.6簡單的靜不定梁

1、基本概念Bql多余約束的存在2、求解靜不定梁的基本方法使問題由靜力學可解變為靜力學不可解。由于多余約束對結構位移或變形有著確定的限制，而位移或變形又是與力相聯系的，因而多余約束又為求解靜不定問題提供了條件。

6.6簡單的靜不定梁

求解靜不定問題，需要以下三方面的聯立。

3、建立力與位移或變形之間的關系，即物理方程（或稱本構方程）。

2、根據多余約束對位移或變形的限制，建立各部分位移或變形之間的幾何關系，即建立幾何方程（或稱為變形協調方程）。1、平衡方程。

6.6簡單的靜不定梁

用求解靜不定問題的步驟11、確定靜不定次數。2、選擇基本靜定梁。Bql多余約束的數目=1

6.6簡單的靜不定梁

(2)解除A端阻止轉動的支座反力矩MA作為多余約束,即選擇兩端簡支的梁作為基本靜定梁。BqlA(1)解除B支座的約束,以FBy代替，即選擇A端固定B端自由的懸臂梁作為基本靜定梁。BqlA選擇合適的多余約束，將其除去，使靜不定結構變為靜定結構，在解除約束處代之以約束力。化為靜定結構的辦法：

一般來說，懸臂梁最為簡單，其次是簡支梁，最后為外伸梁。

ABqlBqlABqlA3、列出變形協調條件（幾何關系）。比較原靜不定梁和靜定基在解除約束處的變形，根據基本靜定梁的一切情況要與原超靜定梁完全相同的要求，得到變形協調條件。

6.6簡單的靜不定梁

本例：(1)4、用積分法或疊加法求變形（物理關系），并求出多余未知力。僅有ｑ作用，B點撓度為：僅有

作用，B點撓度為：因此解得：BqlA

6.6簡單的靜不定梁

5、根據平衡方程在基本靜定梁上求出其余的約束反力。本例：(1)BqlA（）

6.6簡單的靜不定梁

BqLA(+)(-)BqL因此6、在基本靜定梁上按照靜定梁的方法求解內力、應力和變形。

6.6簡單的靜不定梁

用力法求解靜不定問題的步驟11、確定靜不定次數。2、選擇基本靜定梁。

6.6簡單的靜不定梁

3、列出變形協調條件。4、用積分法或疊加法求變形（物理關系），并求出多余未知力。5、根據靜力平衡方程在基本靜定梁上求出其余的約束反力。6、在基本靜定梁上按照靜定梁的方法求解內力、應力和變形。以力作為未知量,將位移表示為力的形式,從而求解未知力，進而求解位移，此種方法稱為力法。用力法求解靜不定問題的步驟21、確定靜不定次數；2、選擇基本靜定梁；

6.6簡單的靜不定梁

4、列出變形協調條件；5、用積分法或疊加法求變形（物理關系）；3、列出平衡方程；6、聯立求解，并求解內力、應力和變形。求:

梁的約束力。已知：A端固定、B端鉸支梁的彎曲剛度為EI，

長度為l。BAl

6.6簡單的靜不定梁

解：1.列出平衡方程2.列出變形協調方程

FAy+FB

-ql=0FAx=0－MA+FBl-ql2/2=0wB=wB(q)+wB(FB)=0BlAMAFAyFAxFB

6.6簡單的靜不定梁

3.列出物性關系2.列出變形協調方程

wB=wB(q)+wB(FB)=0wB(q)=ql4/8EIwB(FB)=-FBl

3/3EIwB(q)wB(FBy)BlAMAFAyFAxlBAMAFAyFAxFB

6.6簡單的靜不定梁

解：4.綜合求解FAy+FBy-ql=0FAx=0－MA+FBl-ql/2=0wB=wB(q)+wB(FBy)=0將平衡方程、變形協調方程和物性關系聯立解出:wB(q)=ql4/8EIwB(FBy)=-FBl

3/3EIFB=3ql/8

,FAx=0,MA=ql2/8FAy

=5ql/8,BlAMAFAyFAxFB

6.6簡單的靜不定梁

梁AB和BC在B處鉸接，A、C兩端固定，梁的抗彎剛度均為EI，F=40kN，q=20kN/m。畫梁的剪力圖和彎矩圖。例題

7

6.6簡單的靜不定梁

解：１、從B處拆開，使超靜定結構變成兩個懸臂梁。２、變形協調方程為：FBMAFAyB1FBMCFCyB2３、物理關系

6.6簡單的靜不定梁

FBFBMAFAMCFCyB1yB2代入變形協調方程：４、平衡方程確定A

端約束力

6.6簡單的靜不定梁

FBF′BMAFAMCFCyB1yB2確定C端約束力

6.6簡單的靜不定梁

MAFAMCFCA、B

端約束力已求出５、最后作梁的剪力圖和彎矩圖

6.6簡單的靜不定梁

課外作業P168－169：6－2(c)，6－4，6－6(a)P170－171：6－10，6－11P323：12－17謝謝大家NanjingUniversityofTechnology附錄：

習題解答作業中存在的問題2、看清題意。1、每次講解作業希望大家認真訂正。3、彎矩圖的兩種畫法，一定要掌握微分關系畫法。4、雷同太多，要用腦筋的借鑒，而不是照抄照搬