第二章測量誤差理論及數據處理

(一)、測量誤差的基本概念

(二)、測量誤差的分析及處理

(三)、測量誤差的合成與分配

(四)、測量數據處理第二章

測量誤差理論及數據處理2/5/20231北京交通大學電氣工程學院姜學東（一）測量誤差的概念測量誤差是測量結果與被測量真值的差別。被測量所具有的真實大小，在一定時空條件下，是客觀存在的確定的數值。第二章

測量誤差理論及數據處理誤差Δ=M-T偏差Δ'=M-T'T為真值（得不到理想的）

T'為約是真值，由更高級精密儀器得到。一般認為Δ即Δ'

。一、誤差的定義2/5/20232北京交通大學電氣工程學院姜學東二、測量誤差產生的原因：人類對客觀規律認識的局限性；測量器具不準確；測量手段不完善；測量條件發生變化；測量人員疏忽或錯誤等。第二章

測量誤差理論及數據處理2/5/20233北京交通大學電氣工程學院姜學東

誤差的存在有必然性和普遍。⑴正確認識誤差的性質和來源以減小測量誤差。⑵正確處理測量數據，以得到接近真值的結果。⑶合理制定測量方案，正確選擇測量儀器。三、控制測量誤差的意義：第二章

測量誤差理論及數據處理2/5/20234北京交通大學電氣工程學院姜學東四、誤差的分類

按不同的特征分，可有四種分類方法。1.系統誤差和隨機誤差⑴系統誤差：在相同條件下分次測量同一量時，誤差的絕對值及符號保持恒定，或在條件改變時按條件中確定規律而改變的誤差。即包括恒值誤差和按一定規律變化的誤差，可進行修正。來源：儀表零點不準，刻度不準，所依據的理論不嚴密，用了某些近似公式方法等等。2/5/20235北京交通大學電氣工程學院姜學東關于系統誤差：（a）、造成系統誤差的原因：第二章

測量誤差理論及數據處理測量設備的缺陷、測量儀器不準例如電表零點沒調好。測量儀器的安裝、放置和使用不當測量環境變化使用的方法不完善，依據的理論不嚴密、采用近似公式。系統誤差可分為儀器誤差和環境誤差。例如溫度、濕度電磁場變化2/5/20236北京交通大學電氣工程學院姜學東（c）、種類：恒值系差變值系差周期性累進性第二章

測量誤差理論及數據處理（b）、特點具有一定的規律性。對于儀器系統誤差可以采用一些方法避免：特定的測量應當選擇適當的儀器；確定儀器誤差的大小后應用修正系數；用一個標準儀器對儀器進行校準。2/5/20237北京交通大學電氣工程學院姜學東⑵隨機誤差：在實際相同條件下多次測量同一量時，誤差的絕對值和符號以不可確定的方式變化著的誤差。如偶然的不規則的電磁場輻射，噪聲干擾等造成隨機誤差沒有規律，不可確定，不能控制，也不能用實驗方法加以消除，但多次測量符合統計規律。2/5/20238北京交通大學電氣工程學院姜學東關于隨機誤差：隨機誤差的絕對值不會超過一定的界限。絕對值相等的正負誤差出現的機會相同*在多次測量中，隨機誤差相互抵消（a）、產生的原因由影響微小、互不相關的多種因素造成。第二章

測量誤差理論及數據處理例如：熱騷動、噪聲干擾，電磁場微變，空氣擾動，大地微震，測量人員感覺器官的各種無規律的微小變化等。2/5/20239北京交通大學電氣工程學院姜學東第二章

測量誤差理論及數據處理（b）、特點：有界性，對稱性，抵償性。（c）、對測量值的影響。（后續章節再講）有界性：隨機誤差的絕對值不會超過一定界限。對稱性：絕對值相等的正負誤差出現的機會相同。抵償性：隨機誤差有相互抵消的特性。2/5/202310北京交通大學電氣工程學院姜學東第二章

測量誤差理論及數據處理給出值：x真值：x02、絕對誤差和相對誤差2/5/202311北京交通大學電氣工程學院姜學東絕對誤差絕對誤差又叫絕對真誤差，是示值和真值之差。△x0=x-x0(有量綱)第二章

測量誤差理論及數據處理2/5/202312北京交通大學電氣工程學院姜學東1、通過儀器儀表測得的值，例如電壓表測得的值。2、近似值，例如的值。3、標稱值，例如電阻的標稱值。1、理論上給出的值，例如三角形內角和為1800。2、計量學上規定的值，例如秒的數值，它具有法律性，作為時間的基準。3、用高一等級的計量標準所測得的量值,稱為實際值。4、修正后的值,稱為修正值。修正值C=x0-x示值：真值：第二章

測量誤差理論及數據處理2/5/202313北京交通大學電氣工程學院姜學東第二章

測量誤差理論及數據處理關于修正值：對于較好的儀器，常以表格、曲線或公式的方式隨儀器帶給用戶。修正值：c=x0-x=-△x0修正值通常在標準儀器中給出，x0=x+c由得到實際值。例如：下圖為某電流表的修正值曲線當電流表示值為10mA時，從曲線可知C=+0.04mA因此，實際值為10.04mAIC10mA+0.042/5/202314北京交通大學電氣工程學院姜學東a、相對真誤差即為通常所說的相對誤差，是絕對誤差與真值的比值：

第二章

測量誤差理論及數據處理相對誤差示值相對誤差2/5/202315北京交通大學電氣工程學院姜學東b、分貝誤差----相對誤差的對數表示因所以可得分貝的定義是依據兩種功率電平之比：2/5/202316北京交通大學電氣工程學院姜學東第二章

測量誤差理論及數據處理第二章

測量誤差理論及數據處理當傳輸函數A為電流或電壓時：（1）（2）（1）式與（2）式相比較，得到下式：分貝誤差2/5/202317北京交通大學電氣工程學院姜學東c、引用誤差（滿度誤差）：用于連續刻度的儀表中，表示整個量程內儀表的準確程度。儀表的量程*當傳輸函數為電壓和電流時第二章

測量誤差理論及數據處理因此，對于分貝誤差有以下兩種表示法：*當為功率傳輸函數時2/5/202318北京交通大學電氣工程學院姜學東常用電工儀表根據引用相對誤差的不同分為七級：分別表示引用相對誤差所不超過的百分比。儀表等級與測量的相對誤差的關系，有重要公式如下：從上式可得到如下結論：1、xm

，x0，第二章

測量誤差理論及數據處理引用相對誤差；最大值2、不用過分強調s小。2/5/202319北京交通大學電氣工程學院姜學東3、靜態誤差與動態誤差第二章

測量誤差理論及數據處理靜態相對誤差是指被測量在穩態時，與其變化速度無關的誤差。以上所述都屬靜態誤差。動態誤差是指測量時動態值與靜態值之差。2/5/202320北京交通大學電氣工程學院姜學東4、粗大誤差定義：超出規定條件下預期的誤差。即壞值，通常表示為xk第二章

測量誤差理論及數據處理2/5/202321北京交通大學電氣工程學院姜學東第二章

測量誤差理論及數據處理在實際應用中系統誤差、隨機誤差、粗大誤差三種誤差的劃分并非一成不變；粗大誤差系統誤差隨機誤差較為隨機時有規律時較大時較多時較大時較多時2/5/202322北京交通大學電氣工程學院姜學東五、測量誤差對測量結果的影響第二章

測量誤差理論及數據處理1、系統誤差的影響：2/5/202323北京交通大學電氣工程學院姜學東第二章

測量誤差理論及數據處理當確定性系差表達式當系差為0，則有2、隨機誤差的影響當系統誤差為零,有結論：系統誤差使測量值的數學期望偏離被測量的真值結論：某次測量的隨機誤差體現測量值對數學期望的偏離。2/5/202324北京交通大學電氣工程學院姜學東第二章

測量誤差理論及數據處理精密度:是用來表示測量結果中隨機誤差大小的程度.也可以簡稱為精度.精確度:是用來同時表示測量結果中系統誤差和隨機誤差大小的程度.準確度：是表示測量結果中系統誤差大小的程度.定義：測量值的精確度、精密度和準確度描述測量數據的分散程度。3.測量誤差的評定2/5/202325北京交通大學電氣工程學院姜學東第二章

測量誤差理論及數據處理舉例：打靶2/5/202326北京交通大學電氣工程學院姜學東第二章

測量誤差理論及數據處理(a)圖準確度高而精密度低(b)圖精密度高而準確度低(c)圖精確度高(a)(b)(c)x02/5/202327北京交通大學電氣工程學院姜學東第二章

測量誤差理論及數據處理目的：用概率論和數理統計的方法研究測量數據的分布規律，及測量數據平均值的性質；用統計平均的方法克服或處理隨機誤差。

采用的方法：概率論和數理統計的方法。（二）測量誤差的分析與處理2/5/202328北京交通大學電氣工程學院姜學東數學期望對被測量x進行n次測量，得到x1……xn稱為隨機變量，則測量值x的數學期望為一、隨機誤差的影響及統計處理

———測量數據的數學期望與方差第二章

測量誤差理論及數據處理則易知：隨機誤差：系統誤差：絕對誤差：2/5/202329北京交通大學電氣工程學院姜學東第二章

測量誤差理論及數據處理測量值的方差反映了測量值的離散程度，也就是隨機誤差對測量值的影響。1、（1）、數據為離散時相當于算術平均值測量值的數學期望反映了測量值平均的結果；2/5/202330北京交通大學電氣工程學院姜學東第二章

測量誤差理論及數據處理（2）、數據為連續時2/5/202331北京交通大學電氣工程學院姜學東第二章

測量誤差理論及數據處理2、n為有限次時（1）、有限次測量時平均值的數學期望和方差對于一系列等精密度的測量，當測量系統、測量條件和被測量不變，則具有相同的數學期望和標準偏差。2/5/202332北京交通大學電氣工程學院姜學東第二章

測量誤差理論及數據處理概率論中兩個定理：一、幾個隨機變量之和的數學期望等于各隨機變量的數學期望之和。二、幾個相互獨立的隨機變量之和的方差等于各個隨機變量方差之和。當我們對某被測量進行一系列獨立的等精密度的測量時，也就是說，從統計學觀點來看，測量系統、測量條件、和被測量不變，他們具有相同的數學期望和標準偏差。2/5/202333北京交通大學電氣工程學院姜學東第二章

測量誤差理論及數據處理或：結論：1、平均值的數學期望等于總體數學期望標準偏差2、平均值的方差減少了n倍。2/5/202334北京交通大學電氣工程學院姜學東第二章

測量誤差理論及數據處理用平均值估計M(X).對于方差,用貝塞爾公式估計:或殘差（2）、用有限次測量估計測量值的數學期望和方差2/5/202335北京交通大學電氣工程學院姜學東第二章

測量誤差理論及數據處理數學期望和方差總體數學期望總體方差均值數學期望均值方差數學期望估計方差估計1)(?12-=?=nv2Xniis2/5/202336北京交通大學電氣工程學院姜學東第二章

測量誤差理論及數據處理二、異常數據的剔除異常數據：誤差絕對值較大的測量數據，它對測量值的平均值及標準偏差估計值都有較大的影響。產生原因：測量儀器、測量方法、測量條件不正?；驕y量人員的錯誤所造成。判別異常數據的思路：給定置信概率、找出相應區間、區間外數據即為異常數據。2/5/202337北京交通大學電氣工程學院姜學東第二章

測量誤差理論及數據處理判別異常數據常用準則：萊特準則：肖維納準則：格拉布斯準則：對于均勻分布：2/5/202338北京交通大學電氣工程學院姜學東萊特準則由于隨機誤差的影響，測量數據有一定的分散性在正態分布下，由統計學知識第二章

測量誤差理論及數據處理2/5/202339北京交通大學電氣工程學院姜學東即誤差絕對值超過3G（x）的概率分布僅占0.27%，因此常把3G（x）作為判別異常數據的界限。工程技術中即置信系數為3、2。計量技術中取2/5/202340北京交通大學電氣工程學院姜學東萊特準則在測量數據為正態分布的情況下，如果測量次數足夠多，習慣上取3G（x）作為判別異常數據的界限，稱為萊特準則。（足夠多指n>10次）2/5/202341北京交通大學電氣工程學院姜學東第二章

測量誤差理論及數據處理三、誤差的處理系統誤差的處理：1、確定系統誤差是否存在；2、分析原因，在測量前和測量過程中盡力消除；3、對掌握了大小和方向的系統誤差，采用一定的方法對殘余的系統誤差進行修正；4、對不能掌握大小和方向的系統誤差，要盡力估計大體范圍，掌握對測量結果的影響。采用一些專門的測量技術和測量方法2/5/202342北京交通大學電氣工程學院姜學東第二章

測量誤差理論及數據處理1、恒值系差的判別：用多次測量的平均值與被測量真值之間是否存在差異的辦法來檢驗。系統誤差分為恒值系差和變值系差。由前述公式可知，測量的絕對誤差2/5/202343北京交通大學電氣工程學院姜學東對于同時存在的隨機誤差和系統誤差的測量數據，只要測量次數足夠多，各次測量絕對誤差的算術平均值就等于測量的系統誤差ε。取平均值后，隨機誤差的影響可以消除。證明：2/5/202344北京交通大學電氣工程學院姜學東例：用一數字電壓表在相同條件下測同一電源的電壓得到幾個數據如下。經計量單位鑒定該電源電壓的實際值為6.189V。求測量的系統誤差的估計值（P24）i123456789101112Vi6.2386.2366.2276.2356.2286.2256.2376.2296.2346.2326.2246.2302/5/202345北京交通大學電氣工程學院姜學東變值系差累進性系差周期性系差2、變值系差的判別：2/5/202346北京交通大學電氣工程學院姜學東第二章

測量誤差理論及數據處理判據：1、馬利可夫判據：用于累進性系差的判別。N為偶數時N為奇數時當存在累進性系差2/5/202347北京交通大學電氣工程學院姜學東第二章

測量誤差理論及數據處理2、阿卑-赫梅特判據常用于判別周期性系差，也可用來發現累進性系差。若則認為測量中存在變值系差。2/5/202348北京交通大學電氣工程學院姜學東第二章

測量誤差理論及數據處理消除或減弱系統誤差的典型測量技術根據測量的具體條件和內容，可選擇以下幾種方法：1、零示法GVVxR1R2使被測量對指示儀表的作用與某已知的標準量對它的作用相互平衡，使指示儀表示零，被測量等于標準量。2/5/202349北京交通大學電氣工程學院姜學東第二章

測量誤差理論及數據處理2、代替法（置換法）是在測量條件不變情況下，用一個標準已知量代替被測量，并調整標準量使儀器的示值不變，那么，被測量等于標準量的數值。GRxR3R1R2GR0R3R1R22/5/202350北京交通大學電氣工程學院姜學東第二章

測量誤差理論及數據處理3、交換法（對照法）進行兩次測量，交換被測量在系統中的位置或測量方向使兩次測量中誤差源對被測量的作用相反，對照兩次測量值，取平均值，減小系統誤差影響。4、微差法與零示法類似，不同的是，被測量與標準量存在微差，不能完全消除指示儀表誤差帶來的影響，但不需要標準量連續可調。使用較為廣泛。2/5/202351北京交通大學電氣工程學院姜學東思想：利用萊特準則，去除粗大誤差，求出標準誤差步驟：a.按測量先后次序列成表格

b.計算算術平均值

c.計算剩余誤差vid.計算均方根差（標準誤差）δ1e.檢查有無>3δ的vig.重新整理表格

h.重新求均方根差δ2…如此循環，直到全部在3δ之內。

j.結果輸出。隨機誤差的處理：第二章

測量誤差理論及數據處理2/5/202352北京交通大學電氣工程學院姜學東利用軟件來實現：流程圖如下：第二章

測量誤差理論及數據處理2/5/202353北京交通大學電氣工程學院姜學東第二章

測量誤差理論及數據處理總誤差與分項誤差的關系：各分項誤差總誤差合成限定總誤差各分項誤差分配一、誤差傳遞公式設若y在附近各階偏導數存在，則可把y展開為臺勞級數，且略去高階小量，有：（三）測量誤差的合成與分配2/5/202354北京交通大學電氣工程學院姜學東第二章

測量誤差理論及數據處理同理，有m個分項時，有（1）（1）式適用于函數的和、差關系。例：2/5/202355北京交通大學電氣工程學院姜學東第二章

測量誤差理論及數據處理對于相對誤差，有：（2）將（1）式代入2/5/202356北京交通大學電氣工程學院姜學東第二章

測量誤差理論及數據處理二、系統誤差的合成有：（2）式適用于函數乘、商、開方和乘方關系。例：2/5/202357北京交通大學電氣工程學院姜學東第二章

測量誤差理論及數據處理三、隨機誤差的合成根據上述的推導，若系差為零，則有：如隨機誤差可以忽略，則有：2/5/202358北京交通大學電氣工程學院姜學東四、分配對于m項相互獨立的分項測量結果，有：第二章

測量誤差理論及數據處理常見的誤差分配原則:1、等準確度分配指以相等的誤差分配到各分項。2/5/202359北京交通大學電氣工程學院姜學東第二章

測量誤差理論及數據處理2/5/202360北京交通大學電氣工程學院姜學東第二章

測量誤差理論及數據處理2、等作用分配指分配給各分項的誤差對測量誤差總和的作用或對總和的影響相同。2/5/202361北京交通大學電氣工程學院姜學東第二章

測量誤差理論及數據處理分配給各分項的誤差為：2/5/202362北京交通大學電氣工程學院姜學東第二章

測量誤差理論及數據處理一、有效數字及數字的舍入規則有效數字：規定誤差不得超過末位單位數字的一半，從左邊第一個不為零的數字起，到右面最后一個數字止，為有效數字。（四）測量數據的處理在測量中不可避免地存在誤差，并且儀器的分辨能力也有限，測量數據不可能完全準確。為了表示得確切，通常規定誤差不得超過末位單位數字的一半。2/5/202363北京交通大學電氣工程學院姜學東有效數字中除末位外前面各位數字都是準確的，只有末位數欠準，但包含的誤差不應大于末位單位數字的一半。第二章

測量誤差理論及數據處理3.860V，表示誤差絕對值不大于0.0005V3.86V，表示誤差絕對值不大于0.005V科學計數法，3.910x1054位有效數字。2/5/202364北京交通大學電氣工程學院姜學東小于5舍，大于5入，等于5時取偶數。舍入規則：如12.6012.6112.6212.63第二章

測量誤差理論及數據處理對每個測量值，小數點后第2位都包含有誤差，所以小數點后第三位無意義，要按舍入原則處理掉。古典的“四舍五入”有缺