等比數列及其前 n項和編稿：張希勇 審稿：李霞【學習目標】1.掌握等比數列的定義，理解等比中項的概念；掌握等比數列的通項公式及推導；2.掌握等比數列的性質和前 n項和公式及公式證明思路；會用它們靈活解決有關等比數列的問題；3.能在具體的問題情境中，識別數列的等差關系或等比關系，并能用有關知識解決相應的問題；4.了解等比數列與指數函數的關系 .【要點梳理】要點一、等比數列的定義一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，那么這個數列就叫做等比數列.這個常數叫做等比數列的公比；公比通常用字母q表示（q0），即：an1q(q0).an要點詮釋：①由于等比數列每一項都可能作分母，故每一項均不為0，因此q可不能是0；②“從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數q”，這里的項具有任意性和有序性，常數是同一個；③隱含條件：任一項an0且q0an0”是數列{an}成等比數列的必要非充分條件；；“④常數列都是等差數列，但不一定是等比數列。不為0的常數列是公比為1的等比數列；⑤證明一個數列為等比數列，其依據an1q(nN*，q0).利用這種形式來判定，就便于操作了.an要點二、等比中項如果三個數a、G、b成等比數列，那么稱數G為a與b的等比中項.其中Gab。要點詮釋：①只有當a與b同號即ab0時，a與b才有等比中項，且a與b有兩個互為相反數的等比中項.當a與b異號或有一個為零即ab0時，a與b沒有等比中項。②任意兩個實數a與b都有等差中項，且當a與bab確定時，等差中項c唯一.但任意兩個實數a2與b不一定有等比中項，且當a與b有等比中項時，等比中項不唯一。③當ab0時，a、G、b成等比數列GbG2abGab。aG④G2ab是a、G、b成等比數列的必要不充分條件。要點三、等比數列的通項公式等比數列的通項公式首相為a1，公比為q的等比數列{an}的通項公式為：an a1qn1(n N*，a1q 0)推導過程：（1）歸納法：根據等比數列的定義anq可得anan1q(n2)：an1a2a1qa1q21；a3

a2q

(a1

q)q

a1q2

a1q31；a4

a3q

(a1

2q)q

a1q3

a1q41；??an

an1q

a1qn1(n

2)當n=1

時，上式也成立∴歸納得出：

an

a1

qn1

(n

N*，a1

q

0)（2）疊乘法：根據等比數列的定義 an q可得：an1a2q，a1a3q，a2a4q，a3??anq，an1把以上n1個等式的左邊與右邊分別相乘（疊乘），并化簡得：anqn1，即ana1qn1(n2)a1又a1也符合上式∴ana1qn1(nN*，a1q0).(3)迭代法：anan1qan2q2a2qn2a1qn1∴ana1qn1(nN*，a1q0).要點詮釋：①通項公式由首項 a1和公比q完全確定，一旦一個等比數列的首項和公比確定，該等比數列就唯一確定了.②通項公式中共涉及 a1、n、q、an四個量，已知其中任意三個量，通過解方程，便可求出第四個量 .等比數列的通項公式的推廣已知等比數列{an}中，第m項為am，公比為q，則：an amqnm證明：∵aaqn1，aaqm1n1m1ana1qn1qnm∴aqm1am1anamqnm由上可知，等比數列的通項公式可以用數列中的任一項與公比來表示，通項公式an a1qn1(n N*，a1q 0)可以看成是m 1時的特殊情況。要點四、等比數列的前 n項和公式1等比數列的前 n項和公式na1(q1)Sna(1qn)a1anq1(q1)1q1q推導過程：（1）利用等比性質由等比數列的定義，有a2a3anqa1a2an1a2a3anSna1q(1q)Sna1anq根據等比性質，有a2an1Snana1∴當q1時，Sna1anq或Sna1(1qn).1q1q（2）錯位相減法等比數列{a}的前n項和Saaaa，nn123n①當q1時，aa，Sna1a2a3anna1；n1②當q1時，由ana1qn1得：Sna1a1qa1q2a1qn2a1qn1qSaqaq2aq3aqn1aqnn11111(1q)Sna1nna1qa1anqa（11q）∴Sna1anq或Sna1(1qn).1q1qna1(q1)即Sna1(1qn)a1anq1)1q1q(q要點詮釋：①錯位相減法是一種非常常見和重要的數列求和方法，適用于一個等差數列和一個等比數列對應項的積組成的數列求和問題，要求理解并掌握此法 .②在求等比數列前 n項和時，要注意區分 q 1和q 1.③當q 1時，等比數列的兩個求和公式，共涉及 a1、n、q、an、Sn五個量，已知其中任意三個量，通過解方程組，便可求出其余兩個量 .要點五、等比數列的性質設等比數列

{an}的公比為

q①若

m,n,p,q

N

，且

m

n

p q,則am

an

ap

aq，特別地，當

m

n

2p

時am

an

ap

2.②下標成等差數列且公差為

m的項

ak

,akm,ak2m,?組成的新數列仍為等比數列，公比為

qm.③若

{an}

，{bn}

是項數相同的等比數列，則

a2n

、

a2n1

、

kan

（k

是常數且

k

0）、{

1}an

、{anm}(mN,m是常數)、anbn、{an}也是等比數列；bn④連續k項和（不為零）仍是等比數列.即S,S2kSk,S3kS2k，?成等比數列.k要點六、等比數列中的函數關系等比數列{an}中，ana1qn1a1qn，若設ca1,則：ancqnqq（1）當q1時，anc，等比數列{a}是非零常數列。它的圖象是在直線yc上均勻排列的一群n孤立的點.（2）當q0且q時，等比數列{an}的通項公式ancn1q是關于n的指數型函數；它的圖象是分布在曲線ya1qx（q0且q1）上的一些孤立的點.q①當q1且a10時，等比數列{an}是遞增數列；②當q1且a10時，等比數列{an}是遞減數列；③當0q1且a10時，等比數列{an}是遞減數列；④當0q1且a10時，等比數列{an}是遞增數列。（3）當q0時，等比數列{an}是擺動數列。要點詮釋：常數列不一定是等比數列，只有非零常數列才是公比為1的等比數列.【典型例題】類型一：等比數列的定義【高清課堂：等比數列及其前n項和381054典型例題例1】例1．設an是公比為q的等比數列，q1，令bnan1n1,2,，若數列bn有連續四項在集合53,23,19,37,82中，則6q【答案】9【解析】由題知an有連續的四項在集合54,24,18,36,81中，則必有-54，-24為相隔兩項，又∵q1∴q2549，q324426q9【總結升華】此例中要注意等比數列項的特征，找到關鍵的兩項54,24，問題就可迎刃而解了.舉一反三：【變式】如果1,a,b,c,9成等比數列，那么（）A.b3,ac9B.b3,ac9C.b3,ac9D.b3,ac9【答案】B例2.已知數列{an}的首項為a12,an12an,n1,2,3,??，3an1【思路點撥】本題的變形中要有極強的目標意識。證明：數列{11}是等比數列.an【解析】由an12an,得，1an1111.an1an12an22an∴111(11),又a12,112an12an3a13∴數列{11}是首項為1，公比為1的等比數列.an22【總結升華】證明一個數列為等比數列，要緊扣定義，這里是采用了轉化與化歸的策略.舉一反三：【變式】已知數列{an}中a11,an2an130(n2).判斷數列{an1}【答案】{an1}

是等比數列，并說明理由是等比數列∵a11,an2an130(n2).∴an12(an11)，∴數列{an1}是首項為2，公比為-2的等比數列類型二：等比數列通項公式的應用例3．已知等比數列{a}，若a1a2a37，aaa8，求a.n123n【思路點撥】等比數列的計算，一般優先考慮使用性質，使計算簡捷。【解析】an2n1或an23n；法一：∵a1a3a22，∴a1a2a3a238，∴a22a1a351，a34或a14，a31從而a1a34,解之得a1當a11時，q2；當a14時，q1。2故an2n1或an23n。法二：由等比數列的定義知a2a1q，a3a1q2代入已知得a1a1qa1q27a1a1qa1q28a1(1qq2)7,a1(1qq2)7,(1)a13q38a1q2(2)將a12代入（1）得2q25q20，q解得q2或q12a1a14由（2）得11，以下同方法一q2或q2【總結升華】①列方程（組）求解是等比數列的基本方法，同時利用性質可以減少計算量；②解題過程中具體求解時，要設法降次消元，常常整體代入以達降次目的，故較多變形要用除法（除式不為零）.舉一反三：【變式1】{an}為等比數列，a1=3，a9=768，求a6。【答案】±96法一：設公比為88，∴q=±2，∴a6=±96；q，則768=a1q，q=256法二：a52=a1a9a5=±48q=±2，∴a6=±96。【變式2】{an}為等比數列，an＞0，且a1a89=16，求a44a45a46的值。【答案】64；∵a1a89a45216，又an＞0，∴a45=4∴a44a45a46a45364。類型三：等比數列的前n項和公式例4．求等比數列1,1,1,的前6項和。364；39【答案】2431【解析】∵a1，q，n61316113316∴S6364121243133【總結升華】等比數列中a1,n,q,Sn,an中的“知三求二”主要還是運用方程的思想解決.舉一反三：【變式1】（2015安徽卷）已知數列{an}是遞增的等比數列，a1+a4＝9，a2a3=8,則數列{an}的前n項和等于________．【答案】a1a1q39①a12q38②由②式得q3 8代入①式a12得a1＝1，q＝2∴Sn12n2n112【變式2】在等比數列{an}中，a1an66，a2an1128，Sn126，求n和q。【答案】q1或2，n6；2∵a2an1a1an，∴a1an128解方程組a1an128a164a12，得或a1 an 66 an 2 an 64①將a164代入Sna1anq1an21，得q，q2由ana1qn1，解得n6；②將a12代入Sna1anq，得q2，an641q由ana1qn1，解得n6。∴q1。或2，n62【變式3】（2016新課標Ⅰ文）已知{an}是公差為3的等差數列，數列{bn}滿足b1=1，b2=1，anbn1bn1nbn.3（1）求{an}的通項公式；（2）求{bn}的前n項和.【答案】（1）由已知，a1b2+b2=b1，b1=1，b21，得a1=2，所以數列{an}是首項為2，公差為3的等差數3列，通項公式為an=3n－1。bn（2）由（1）和anbn+1+bn+1=nbn得bn13

，因此{bn}是首項為 1，公比為1的等比數列。記 {bn}的前31(1)n31n項和為Sn，則S3。n1223n113類型四：靈活運用等比數列的性質例5.在8和27之間插入三個數，使這五個數成等比數列，則插入的三個數的乘積為________。32【答案】216；【思路點撥】等比數列的計算，一般優先考慮使用性質，如果不宜用性質，則回歸為基本量a1、q的問題，列出a1、q的方程組。【解析】法一：設這個等比數列為{an}，其公比為q，∵a18，a527a1q48q4，∴q481，q2932316433∴a2a3a4a1qa1q2a1q3a13q68963216。34法二：設這個等比數列為{an}，公比為q，則a18，a527，32加入的三項分別為a2，a3，a4，由題意a，a，a也成等比數列，∴a3282736，故a6，135323∴a2a3a4a32a3a33216【總結升華】法一注重了等比數列中的特征量q的求解，；法二中注重了等比中項的特征.舉一反三：【變式1】等比數列{an}中，若a5a69,求log3a1log3a2...log3a10.【答案】10∵{an}是等比數列，∴a1a10a2a9a3a8a4a7a5a69∴log3a1log3a2log3alog(aaaa)log(aa)5log9510103123103563【變式2】若等比數列an滿足anan116n，則公比為（）（A）2（B）4（C）8（D）16【答案】B類型五：等比數列前n項和公式的性質例6．已知等比數列{an}的前n項和為Sn,且S10=10,S20=40,求：S30=？【思路點撥】等差數列中也有類似的題目，我們仍然采用等差數列的解決辦法，即等比數列中前k項和，第2個k項和，第3個k項和，??，第n個k項和仍然成等比數列。【答案】130；【解析】2法一：S10，S20-S10，S30-S20構成等比數列，∴(S20-S10)=S10·(S30-S20)即302=10(S30-40),∴S30=130.法二：∵2S10≠S20，∴q1,∵Sa1(1q10)10,S20a1(1q20)40,101q1q∴1q101,∴q103,∴a1q51q2041∴S30a(1q30)(5)(133)130.1q1【總結升華】性質的應用有些時候會更方便快捷 .舉一反三：【變式1】等比數列{an}中，公比 q=2,S4=1,則S8=___________.【答案】17；44444444S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4+a1q+a2q+a3q+a4q=S4+q(a1+a2+a3+a4)=S4+qS4=S4(1+q)=1×(1+2)=17【變式2】在等比數列{an}中，已知Sn48，S2n60，求S3n。【答案】63【變式3】等比數列{an}中，若a1+a2=324,a3+a4=36,則a5+a6=_____________.【答案】4；令b1=a1+a2=a1(1+q)，b2=a3+a4=a1q2(1+q),b3=a5+a6=a1q4(1+q),易知：b1,b2,b3成等比數列，∴b3=b22362=4,即a5+a6=4.=324b1【變式4】等比數列{an}123456789的值。中，若a+a+a=7,a+a+a=56,求a+a+a【答案】448；3{an}是等比數列，∴(a4+a5+a6)=(a1+a2+a3)q,∴q=8,a7+a8+a9=(a4+a5+a6)q3=56×8=448.類型五：等差等比數列的綜合應用例7．已知三個數成等比數列，若前兩項不變，第三項減去32，則成等差數列.若再將此等差數列的第二項減去4，則又成等比數列.求原來的三個數.【思路點撥】恰當地設元是順利解方程組的前提【解析】法一：設成等差數列的三數為

.考慮到有三個數，應盡量設較少的未知數，并將其設為整式形式a-d,a,a+d.

.則a-d,a,a+d+32成等比數列，a-d,a-4,a+d成等比數列.a2(ad)(ad32)..........(1)∴4)2(a(ad)(ad)..........(2)由(2)得a=d216...........(3)8由(1)得32a=d2+32d..........(4)(3)代(4)消a，解得d8或d=8.8263∴當d；當d=8時,a=10時,a93∴原來三個數為2,26,338或2,10,50.999法二：設原來三個數為a,aq,aq2，則a,aq,aq2-32成等差數列，a,aq-4,aq2-32成等比數列2aqaaq232........(1)∴4)2a(aq2(aq32)......(2)2由(2)得aq 4

，代入(1)解得q=5或q=132當q=5時a=2；當q=13時a.9∴原來三個數為2，10，50或2，26,338.999【總結升華】選擇適當的設法可使方程簡單易解。一般地，三數成等差數列，可設此三數為a-d,a,a+d；若三數成等比數列，可設此三數為x，x,xy。但還要就問題而言，這里解法二中采用首項a，公比q來解y決問題反而簡便。舉一反三：【變式 1】一個等比數列有三項，如果把第二項加上 4，，那么所得的三項就成為等差數列，如果再把這個等差數列的第三項加上 32，那么所得的三項又成為等比數列，求原來的等比數列 .【答案】為 2，6，18或2, 10,50；9 9 9【變式2】有四個數，其中前三個數成等差數列， 后三個數成等比數列，并且第一個數與第四個數的和是16，第二個數與第三個數的和為12，求這四個數.【答案】0，4，8，16或15，9，3，1；設四個數分別是x,y,12-y,16-x2yx12y.......(1)∴y)2y(16x).......(2)(12由(1)得x=3y-12，代入(2)得144-24y+y2=y(16-3y+12)144-24y+y2=-3y2+28y,∴4y2-52y+144=0,y2-13y+36=0,∴y=4或9，x=0或15，∴四個數為0，4，8，16或15，9，3，1.【高清課堂：等比數列及其前n項和381054典型例題例2】【變式3】已知a是各項均為正數的等比數列，且a1a22(