灰色系統模型客觀世界既是物質的世界，也是信息的世界，社會經濟活動一刻也離不開信息。研究社會經濟系統會常常遇到信息不完備的情況。1945年，美國控制論專家維納（N.Wiener)曾用“黑箱”稱呼內部信息未知的對象。此后，人們常用顏色深淺表示信息完備的程度，將系統分為三類。信息完全明確的系統稱為白色系統，信息完全不明確的系統稱為黑色系統，信息部分明確部分不明確的系統稱為灰色系統（GreySystem)。1982年，鄧聚龍教授發表了灰色系統理論的論文《灰色系統的控制問題》。隨著灰色系統理論研究的不斷深入和發展，已經在許多領域取得不少應用成果。因素分析的基本方法過去采用的主要方法是統計方法。如回歸分析（包括線性回歸、多因素回歸、單因素回歸、逐步回歸、非逐步回歸）?；貧w分析雖然是一種較通用的方法，但一般認為回歸分析有下述不足：（1）要求大量數據，數據量少難以找到規律；（2）要求分布是線性的，或是指數的，或是對數（3）計算工作量大；（4）有可能出現反常的現象，使正相關變成負相關，以致正確現象受到歪曲或顛倒。1、灰色關聯分析方法灰色系統考慮到上述種種弊病和不足，采用關聯分析的方法來作系統分析。作為一個發展變化的系統，關聯度分析事實上是動態過程發展態勢的量化分析。說得確切一點，是發展態勢的量化比較分析、發展態勢的比較，也就是系統歷年來有關統計數據列幾何關系的比較?？紤]有三個數據列，一個是某地區的年總收入，一個是某地區的養豬收入，一個是某地區的養兔收入。總收入養豬養兔從圖中可以觀察到，總收入曲線與養豬曲線趨勢較接近，而與養兔曲線差距較大，因此可以認為該地區對收入影響較大的是養豬而不是養兔。這種因素分析的比較，實質上是幾種曲線間幾何形狀的分析比較，即認為幾何形狀越接近，則發展變化態勢越接近，關聯程度越大。因此按這種觀點作因素分析，至少不會出現異常的，將正相關當作負相關的情況。此外對數據量也沒有太高的要求，即數據量多或數據量少都可以分析。（1）關聯系數作關聯分析要指定參考數據列和待比較的數據列參考數據列表示為待比較的數據列也稱為母序列也稱為子序列灰色關聯分析(GRA)方法

灰色關聯分析是一種多因素統計分析方法,它是以各因素的樣本數據為依據用灰色聯度來描述因素間關系的強弱、大小和次序的.如果樣本數據列反映出兩因素變化的態勢(方向、大小、速度等)基本一致,則它們之間的關聯度較大；反之關聯度較小.

與其他傳統的多因素分析方法相比,灰色關聯分析對數據要求較低且計算量小,便于廣泛應用.GRA分析的核心是計算關聯度,下面通過一個例子來說明計算關聯度的思路和方法.

表6-1是某地區2000-2005年國內生產總值的統計資料.現在提出這樣的問題：該地區三次產業中,哪一產業的變化與該地區國內生產總值(GDP)的變化態勢更一致？也就是哪一產業與GDP的關聯度最大呢？年份國內生產總值第一產業第二產業第三產業200019883868397632001206140884680820022335422960953200327504821258101020043356511157712682005380656118931352表6-1某地區國內生產總值統計資料(百萬元)

這樣的問題很有實際意義,一個自然的想法就是分別將三次產業產值的時間序列與GDP的時間序列進行比較,為了能夠比較,先對各序列進行無量綱化,這里采用均值化法.各序列的均值分別為：2716,461.5,1228.83,1025.67,上表中每列數據除以其均值可得均值化序列(如表6-2所示)年份tGDP

x0(t)一產業x1(t)二產業x2(t)三產業x3(t)20000.73200.83640.68280.744020010.75880.88190.68850.787820020.85970.91440.78120.929120031.01251.04441.02370.984720041.23561.10731.28331.236320051.40131.21561.54051.3182兩序列變化的態勢是表現在其對應點的間距上.如果各對應點間距均較小,則兩序列變化態勢的一致性強,否則,一致性弱.分別計算各產業產值與GDP在對應期的間距(絕對差值),結果見表6-3所示.年份t20000.10440.04920.011920010.12310.07040.028920020.05470.07850.069420030.03190.01120.027820040.12840.04770.000620050.18570.13920.0832接下來應該是三個絕對值序列分別求平均再進行比較,就可以解決問題了.但仔細觀察表6-3中的數據會發現絕對差值數據序列的數據間存在著較大的數量級差異(最大為0.1587,最小的為0.0006,相差300多倍),不能直接進行綜合,還需要對其進行一次規范化.設和分別表示表6-3中絕對值的最大數和最小數，則因而由于在一般情況下,可能為零(即某個為零)故將上式改進為顯然越大,說明兩序列(xi和x0)的變化態勢一致性弱,反之,一致性強,因此可考慮將取倒反向,為了規范化后數據在[0,1]內,可考慮在0和1之間取值.上式可變形為稱為序列xi和序列x0在第t期的灰色關聯系數(或簡稱為關聯系數).由(6.1)式可以看出,取值的大小可以控制對數據轉化的影響,取較小的值,可以提高關聯系數間差異的顯著性,因而稱為分辨系數.利用(6.1)對表6-3中絕對差值進行規范化,取

結果見表6-4,以計算為例：同樣可計算出表6-4中其余關聯系數.年份t20000.41910.60670.868720010.37960.51780.725720020.58080.49030.521320030.70550.87610.733820040.36960.61411.00020050.28810.35100.4758表6-4最后分別對各產業與GDP的關聯系數序列求算術平均可得r0i稱為序列x0和xi(i=1,2,3)的灰色關聯度.由于因而第三產業產值與GDP的關聯度最大,其次是第二產業、第一產業.可以看出,灰色關聯分析需要經過以下幾個步驟：1.確定分析序列在對研究問題定性分析的基礎上,確定一個因變量因素和多個自變量因素.設因變量數據構成參考序列,各自變量數據構成比較序列n+1個數據序列成成如下矩陣：其中N為變量序列的長度.一般情況下,原始變量序列具有不同的量綱或數量級,為了保證分析結果的可靠性,需要對變量序列進行無量綱化.無量綱化后各因素序列形成如下矩陣：2.對變量序列進行無量綱化常用的無量綱化方法有均值化法(6.4)、初值化法(6.5)等.計算(6.3)中第一列(參考序列)與其余各列(比較序列)對應期的絕對差值,形成如下絕對差值矩陣：3.求差序列、最大差和最小差其中絕對差值陣中最大數和最小數即為最大差和最小差：對絕對差值陣中數據作如下變換：4.計算關聯系數得到關聯系數矩陣：式中分辨系數在(0,1)內取值,一般情況下依據(6.10)中數據情況多在0.1至0.5取值,越小越能提高關聯系數間的差異.關聯系數是不超過1的正數,越小,越大,它反映第i個比較序列Xi與參考序列X0在第k個期關聯程度.比較序列Xi與參考序列X0的關聯程度是通過N個關聯系數(即(6