概率論與數理統計ProbabilityandMathematicalStatistics

17.1參數估計的概念第七章參數估計q是總體F(x,q)中的未知參數樣本統計量估計值θ——根據樣本給出參數的估計參數估計點估計區間估計矩估計法極大似然估計法估計量27.2矩估計法和極大似然估計法7.3估計量的評選原則7.4區間估計一區間估計的概念二

單個正態總體均值的區間估計三單個正態總體方差的區間估計四單個正態總體的單側區間估計一無偏性、二有效性、三一致性第七章參數估計37.2

矩估計法和極大似然估計法一矩估計法1原理：大數定理，樣本矩≈總體矩。2方法總體X的分布函數F(x;1,…,k),其中1,…,k為待估參數.(X1,…,Xn)為X的樣本(設X的k階矩存在),

則總體的j階原點矩E(Xj)=aj(q1,…,qk)令=Aj樣本的j階原點矩aj(q1,…,qk)=Ajj=1,…,k求解方程組,得到解4例試求總體期望q1=EX和方差q2=DX的矩估計。解注1注2注3此結論對期望和方差存在的總體都適用，即估計不唯一，如對總體P()有可用估計5例設總體X~U[a,b],試由樣本(X1,X2,…,Xn),求未知參數a,b

的矩估計量。解6二極大似然估計法MaximumLikelihoodEstimate1原理設隨機試驗有n種可能結果現做一次試驗，結果事件發生了，則認為事件在這n種可能結果中出現的概率最大。極大似然估計法：在一次抽樣中，若得到樣本觀測值(x1,…,xn)，則選擇q為q

的估計，使得此組觀測值出現的概率最大。7例設一袋中放有黑球和白球若干個，已知兩種球的數目之比為1:2，但不知黑球多還是白球多。今有放回抽取三次，結果是(白,黑,白)，試估計白球所占比例p是1/3還是2/3？8為樣本的似然函數。若若總體X有密度函數f(x;q)(X是D.R.V.時,f(x;q)=P(X=x;q)),其中q=(q1,…,qk)為待估未知參數，為樣本的一組觀測值。稱則稱為的極大似然估計值，為的極大似然估計量。2

定義9(3)解方程(組)得極大似然估計3一般步驟(1)

寫出似然函數(2)

建立似然方程(組)10解：設(x1,…,xn)為樣本的一組觀測值，似然方程l的極大似然估計為：比如，樣本觀測值為：10，13，65，18，79，42，65，77，88，123，n=10。則例X~P(l)，求l的極大似然估計。似然函數解方程11

例

設總體X~N(,2)，求和2

的極大似然估計。解思考

若m已知，s2的極大似然估計是什么?12例設總體

X~U[a,b]，試求a和b的極大似然估計。解無解？即a,b的極大似然估計為13

例

設總體X~N(,2),m未知.求的極大似然估計。解由上例，.而故5性質泛函不變性（Functionalinvariance）

若為的極大似然估計，則為u=u()的極大似然估計，即14例

設(X1,…,Xn)是正態總體N(1,s2)的樣本，求P(X<t)的極大似然估計。解故所求值的極大似然估計為又期望m已知時，15

小結熟練求解未知參數的矩估計和極大似然估計掌握矩估計和極大似然估計的原理16一無偏性7.3估計量的評選原則1定義則稱q是q的無偏估計量.172

例設(X1,…,Xn)是總體X的樣本，

注：無偏估計不唯一例如：若D(X)>0，

為的無偏估計，但g()不一定是g()的無偏估計。18二有效性1定義則稱有效.19

例在總體期望m=E(X)的線性無偏估計類中求m最小方差無偏估計。解由Cauchy-Schwarz不等式而故是

的最小方差無偏估計。20三一致性定義則稱一致估計量.例

由大數定律知樣本均值是總體均值的一致估計。21例

證明正態總體的樣本方差S2是2的一致估計。證由切比雪夫不等式22

小結根據定義，能判斷估計量的無偏性和有效性熟記統計量的無偏性，有效性，一致性的定義237.4區間估計

一區間估計的概念設總體X的分布函數為F(x;q

),q為未知參數，(X1,X2,…,Xn)為X的樣本。給定a(0<a<1),若統計量稱為的置信度(水平)為1－

的置信區間。含義：若1－

=0.95，抽樣100次產生100個區間，其中約有95個區間包含q.置信上限24二單個正態總體N(m,s2)均值m的區間估計1方差s2已知2方差未知三單個正態總體N(m,s2)方差s2的區間估計四單側區間估計2512已知2已知時，

的置信度為1－的置信區間為二單個正態總體N(m,s2)均值的區間估計262已知時，

的置信度為1－的置信區間為注1.置信區間長度2.相同置信水平下，置信區間選取不唯一。同一置信水平下，l越小，表示估計精度越高。若R.V.的密度函數是單峰對稱的，則n固定時，上述公式的置信區間是所有置信區間中長度最短的。2722未知2未知時，

的置信度為1－的置信區間為28例滾珠直徑X~N(m,s2)，從某天生產的滾珠中隨機抽取6個，測得直徑為(單位：mm)1.461.511.491.481.521.51求下面兩種情況下m的置信度為95%的置信區間。

(1)s2=0.0006時；(2)s2未知時。思考：這兩種情況下哪個置信區間的長度短？29三單個正態總體N(m,s2)方差的區間估計m未知m未知時，2的置信度為1－的置信區間為m未知時，的置信度為1－的置信區間呢？30例從自動車床加工的一批零件中隨機的抽取16件，測得各零件長度為(單位：cm)2.152.102.122.102.142.112.152.13設零件長度服從正態分布，求零件長度標準差s的置信度為95%的置信區間。2.132.112.142.132.122.132.102.1431四單側區間估計設總體X的分布函數為F(x;q

),q為未知參數，(X1,X2,…,Xn)為X的樣本。給定a(0<a<1),若統計量稱為的置信度(水平)為1－

的置信下(上)限。單側置信上限或單側置信下限32例

從一批燈泡中隨機地抽取5只做壽命試驗，測得壽命(單位：小時)1050，1100，1120，1250，1280.設燈壽命服從正態分布，求燈泡壽命平均值的置信水平為0.95的單側置信下限。33

小結熟記關于單個正態總體的期望和方差的區間估計理解區間估計和單側區間估計的概念34解答題練習35解答題練習求p的極大似然估計值.一個樣品中石灰石的石子數k恰有k個石灰石的樣品個數01234567891011672326211230036解答題練習XP1231-q

q-q

2

q237解答題練習385.(6’)某工廠生產一種零件,其口徑X(單位:mm)服從正態分布N(m,s2),現從某日生產的零