學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精PAGE19學必求其心得，業必貴于專精PAGE1．1導數與函數的單調性學習目標1。理解導數與函數的單調性的關系。2。掌握利用導數判斷(證明）函數單調性的方法。3.能利用導數求不超過三次多項式函數的單調區間．知識點一函數的單調性與導函數正負的關系思考觀察下列各圖，完成表格內容函數及其圖像切線斜率k正負導數正負單調性正［1,＋∞)上單調______R上單調________負(0,＋∞）上單調______（0，＋∞）上單調______(－∞，0）上單調______梳理一般地，設函數y＝f(x)，在區間(a,b)上(1)如果f′（x）>0，則f(x)在該區間上是增加的．（2）如果f′(x）<0，則f(x）在該區間上是減少的．導數值切線的斜率傾斜角曲線的變化趨勢函數的單調性>0____0____角____單調____<0____0____角____單調____知識點二函數的變化快慢與導數的關系思考我們知道導數的符號反映函數y＝f（x）的增減情況，怎樣反映函數y＝f(x)增減的快慢呢?能否從導數的角度解釋變化的快慢呢？梳理一般地，如果一個函數在某一范圍內導數的絕對值較大，那么函數在這個范圍內變化得快，這時,函數的圖像就比較“陡峭”（向上或向下）；反之，函數的圖像就“平緩”一些．類型一原函數與導函數的關系例1已知函數y＝f(x)的圖像如圖所示，則函數y＝f′（x)的圖像可能是圖中的（)反思與感悟（1）對于原函數圖像，要看其在哪個區間內單調遞增，則在此區間內導數值大于零．在哪個區間內單調遞減，則在此區間內導數值小于零．根據導數值的正負可判定導函數圖像．（2）對于導函數的圖像可確定原函數的增減區間及增減快慢．跟蹤訓練1已知y＝f′（x)的圖像如圖所示，則y＝f(x）的圖像最有可能是如圖所示的(）類型二單調區間的求解及單調性證明命題角度1求函數的單調區間例2求f（x)＝3x2－2lnx的單調區間．反思與感悟求函數y＝f（x）的單調區間的步驟（1)確定函數y＝f(x)的定義域．（2)求導數y′＝f′（x)．(3）解不等式f′(x）>0，函數在定義域內的解集上為增函數．（4）解不等式f′（x）<0,函數在定義域內的解集上為減函數．跟蹤訓練2求函數f(x）＝eq\f（ex,x－2）的單調區間．命題角度2證明函數的單調性例3證明函數f（x）＝eq\f（lnx,x）在區間（0,2）上是單調遞增函數．反思與感悟利用導數證明不等式的一般步驟(1)構造函數:F(x)＝f(x）－g(x）．(2）求導：F′(x）＝f′（x）－g′（x)．（3）判斷函數的單調性．（4)若F(x）在區間上的最小值大于等于0,則f(x）≥g（x）；若F(x）在區間上的最大值小于等于0，則f(x）≤g（x）．跟蹤訓練3證明：函數f（x）＝eq\f(sinx,x)在區間eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（π，2），π))上是減少的．類型三含參數函數的單調性例4若函數f（x）＝kx－lnx在區間（1，＋∞）上單調遞增,則k的取值范圍是________．引申探究試求函數f(x）＝kx－lnx的單調區間．反思與感悟(1)討論含有參數的函數的單調性，通常歸結為求含參數不等式的解集的問題，而對含有參數的不等式要針對具體情況進行討論，但始終注意定義域對單調性的影響以及分類討論的標準．（2）利用導數法解決取值范圍問題的兩個基本思路①將問題轉化為不等式在某區間上的恒成立問題，即f′（x)≥0（或f′（x)≤0)恒成立,利用分離參數或函數性質求解參數范圍，然后檢驗參數取“＝"時是否滿足題意;②先令f′(x）〉0(或f′(x)<0），求出參數的取值范圍后,再驗證參數取“＝”時f（x）是否滿足題意．(3)恒成立問題的重要思路①m≥f（x）恒成立?m≥f（x）max；②m≤f(x)恒成立?m≤f(x）min。跟蹤訓練4已知函數f(x)＝x2＋2alnx.（1）試討論函數f（x）的單調區間；（2)若函數g(x）＝eq\f（2,x)＋f（x）在［1，2］上是減函數，求實數a的取值范圍．1．f(x)＝（x－3)ex的單調遞增區間是（）A．（－∞,2) B．(0,3）C．（1,4） D．(2,＋∞)2．函數y＝f(x）在定義域(－eq\f（3,2）,3)內可導，其圖像如圖所示，記y＝f（x)的導函數為y＝f′（x）,則不等式f′(x)≤0的解集是（)A．[－eq\f（1,3），1]∪[2，3）B．[－1，eq\f(1，2）]∪［eq\f（4，3)，eq\f（8,3）]C．（－eq\f（3，2）,eq\f(1,2)）∪［1，2]D．（－eq\f（3，2),－1）∪［eq\f(1，2)，eq\f（4,3)]∪［eq\f(8,3)，3]3．若函數f（x)＝x3＋2x2＋mx＋1在（－∞，＋∞）上是增加的，則m的取值范圍是(）A．m≥eq\f（4,3) B．m>eq\f（4，3)C．m≤eq\f（4，3) D．m<eq\f(4,3）4．若函數y＝f（x）＝a(x3－x）的單調減區間為eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r（3),3）,\f(\r（3）,3））)，則a的取值范圍是________．5．已知a>0且a≠1，證明：函數y＝ax－xlna在(－∞，0)上是減少的．1．導數的符號反映了函數在某個區間上的單調性,導數絕對值的大小反映了函數在某個區間或某點附近變化的快慢程度．2．利用導數求函數f（x)的單調區間的一般步驟:(1）確定函數f（x)的定義域;(2）求導數f′(x）;（3）在函數f（x)的定義域內解不等式f′（x）>0和f′(x）〈0；（4)根據(3)的結果確定函數f(x)的單調區間．

答案精析問題導學知識點一思考正遞增正正遞增負遞減負負遞減負負遞減梳理(2)>銳上升遞增〈鈍下降遞減知識點二思考如圖所示,函數y＝f(x)在（0，b）或（a,0）內導數的絕對值較大,圖像“陡峭”，在(b,＋∞）或（－∞，a）內導數的絕對值較小，圖像“平緩”．題型探究例1C[由函數y＝f(x）的圖像的增減變化趨勢判斷函數y＝f′（x）的正、負情況如下表：x(－1，b）（b，a)(a,1)f(x)f′(x)－＋－由表可知函數y＝f′(x)的圖像，當x∈（－1，b）時，函數圖像在x軸下方;當x∈(b，a)時，函數圖像在x軸上方；當x∈（a，1）時,函數圖像在x軸下方．故選C.］跟蹤訓練1C［由f′(x)>0（f′（x）<0)的分界點判斷原函數在此分界點兩側的圖像的上升和下降趨勢．由已知可得x的取值范圍和f′(x）的正、負,f（x)的增減變化情況如下表所示:x(－∞，0）（0，2)(2，＋∞）f′（x）＋－＋f（x)由表可知f(x）在（－∞，0)上是增加的，在（0，2)上是減少的，在(2，＋∞)上是增加的，滿足條件的只有C，故選C。]例2解f(x）＝3x2－2lnx的定義域為（0，＋∞)．f′（x)＝6x－eq\f(2,x）＝eq\f（23x2－1，x)＝eq\f（2\r（3）x－1\r(3)x＋1,x)，由x>0，解f′（x）>0，得x〉eq\f（\r(3），3).由x<0，解f′（x)<0，得0〈x<eq\f（\r(3),3）.∴函數f(x)＝3x2－2lnx的單調遞增區間為(eq\f（\r(3）,3)，＋∞)，單調遞減區間為(0，eq\f（\r(3)，3))．跟蹤訓練2解函數f（x)的定義域為（－∞，2）∪（2，＋∞)．f′(x)＝eq\f(exx－2－ex，x－22)＝eq\f（exx－3，x－22）.因為x∈（－∞，2）∪(2，＋∞)，所以ex〉0，（x－2）2〉0.由f′(x）〉0,得x>3,所以函數f（x)的單調遞增區間為(3,＋∞)；由f′（x)〈0,得x<3。又函數f(x)的定義域為(－∞，2）∪(2，＋∞)，所以函數f(x)的單調遞減區間為（－∞，2）和（2，3）．例3證明由題意，得f′（x)＝eq\f(\f(1,x）·x－lnx,x2）＝eq\f（1－lnx，x2).∵0〈x<2，∴lnx<ln2<1,1－lnx>0，∴f′(x)＝eq\f（1－lnx,x2)>0.根據導數與函數單調性的關系,可得函數f(x)＝eq\f（lnx，x）在區間(0,2)上是單調遞增函數．跟蹤訓練3證明f′(x)＝eq\f（xcosx－sinx,x2),又x∈eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(π，2），π))，則cosx<0,所以xcosx－sinx<0，所以f′(x)〈0，所以f(x）在eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（π,2)，π）)上是減少的．例4[1,＋∞）解析由于f′（x)＝k－eq\f(1,x)，f(x)＝kx－lnx在區間(1,＋∞）上單調遞增?f′(x)＝k－eq\f(1，x)≥0在(1，＋∞）上恒成立．由于k≥eq\f（1，x)，而0〈eq\f（1，x)<1，所以k≥1。即k的取值范圍為[1，＋∞)．引申探究解f（x)＝kx－lnx的定義域為(0，＋∞),f′（x)＝k－eq\f（1,x），當k≤0時,函數的單調遞減區間為（0，＋∞)；當k〉0時，函數的單調遞增區間為(eq\f（1,k）,＋∞）,單調遞減區間為（0,eq\f(1，k)）．跟蹤訓練4解（1)f′(x）＝2x＋eq\f(2a，x）＝eq\f(2x2＋2a,x），函數f（x）的定義域為（0,＋∞)．①當a≥0時，f′(x）〉0，f（x)的單調遞增區間為（0，＋∞）；②當a<0時，f′（x）＝eq\f（2x＋\r（－a）x－\r（－a),x),當x變化時，f′(x）,f（x)的變化情況如下表：x(0,eq\r(－a）)eq\r（－a）（eq\r（－a），＋∞）f′(x）－0＋f（x）遞減遞增由上表可知,函數f（x)的單調遞減區間是（0,eq\r（－a）)；單調遞增區間是(eq\r(－a）,＋∞)．(2）由g(x）＝eq\f（2,x)＋x2＋2alnx,得g′(x)＝－eq\f(2,x2）＋2x＋eq\f(2a，x），由已知函數g(x）為[1，2]上的單調減函數，則g′(x）≤0在[1，2]上恒成立，即－eq\f（2,x2)＋2x＋eq\f（2a,x)≤0在［1，2]上恒成立，即a≤eq\f(1,x)－x2在[1，2]上恒成立．令h（x)＝eq\f（1,x）－x2，則h′(x)＝－eq\f(1,x2)－2x＝－(eq\f（1,x2）＋2x)<0，x∈［1,2]，所以h(x)在[1,2］上為減函數，h（x）min＝h(2)＝－eq\f(7，2），所以a≤－eq\f(7，2）.故實數a的取值范圍為{a|a≤－eq\f（7，2)｝．當堂訓練1．D