第三章傅里葉變換和系統的頻域分析3.1信號分解為正交函數3.2傅里葉級數3.3周期信號的頻譜3.4非周期信號的頻譜（傅里葉變換）3.5傅里葉變換的性質3.6周期信號的傅里葉變換3.7LTI連續系統的頻域分析3.8

取樣定理本章主要內容:變換域分析的基本思想仍為：將信號分解為基本信號之和或積分的形式，再求系統對基本信號的響應，從而求出系統對給定信號的響應（零狀態響應）。信號分解為正交函數的原理與矢量分解為正交矢量的概念相似。

為各相應方向的正交單位矢量。

它們組成一個二維正交矢量集。矢量正交分解的概念可以推廣到信號空間，在信號空間找到若干個相互正交的信號作為基本信號，使得信號空間中的任意信號均可表示成它們的線性組合。3.1信號分解為正交函數（2）正交函數集在區間上的n個函數（非零）……,其中任意兩個均滿足

為常數，則稱函數集為區間

內的正交函數集。（1）正交函數在區間上定義的非零實函數

和若滿足條件則函數與為在區間的正交函數。一、正交函數集（3）完備正交函數集之外不存在函數

如果在正交函數集

滿足等式

，則稱該函數集為完備正交函數集。

在區間

內組成完備正交函數集。對于復函數:若復函數集

在區間

滿足

，則稱此復函數集為正交函數集。

復函數集

在區間

內是完備的正交函數集。

其中

。二、信號分解為正交函數設有n個函數

在區間

構成一個正交函數空間。將任一函數

用這

個正交函數的線性組合來近似，可表示為：

根據最小均方誤差原則，可推出：

式中：如果分解的項數越多則誤差愈小。即

，均方誤差

，即

在區間

內分解為無窮多項之和。3.2傅里葉級數

將周期信號

在區間

內展開成完備正交信號空間中的無窮級數。如果完備的正交函數集是三角函數集或指數函數集，那么，周期信號所展開的無窮級數就分別稱為“三角形傅里葉級數”或“指數形傅里葉級數”，統稱為傅里葉級數。

一、周期信號的分解設有一個周期信號

，它的周期是

，角頻率

，它可分解為：其中

稱為傅里葉系數，

。那么,傅里葉系數如何求得呢?由上式可見，

是

的偶函數

，

是

的奇函數，

由于是同頻率項,因此可將其合并式中：

則有

可見，

是

的偶函數，即有

而

是的奇函數，即有

可見，任何滿足狄里赫利條件的周期信號均可分解為直流分量，一次諧波或基波，它的角頻率與原周期信號相同，二次諧波，以此類推，三次，四次等諧波。

……一般而言稱為次諧波，是次諧波的振幅，是其初相角。**結論：周期信號可分解為各次諧波分量之和。例3.2-1將下圖中的方波信號展開為傅里葉級數。解：

它僅含有一、三、五、七....等奇次諧波分量。如下頁圖所示，是用有限項傅里葉級數來逼近的情況：TT/20t(a)基波0T/2Tt(b)基波+三次諧波0T/2Tt(c)基波+三次諧波+五次諧波0T/2Tt(c)基波+三次諧波+五次諧波+七次諧波圖

3.2-3方波的組成（1）所取項愈多，合成波形（除間斷點外）愈接近于原方波信號。（2）所取項數愈多，在間斷點附近，尖峰愈靠近間斷點。（3）即使

，在間斷點處尖峰仍不能與之吻合，有

的偏差。但在均方的意義上合成波形同原方波的真值之間沒有區別。

(吉布斯現象）主體

-----低頻細節------高頻若給定的

有某些特點，那么，有些傅里葉系數將等于零從而式計算較為簡便。（1）

為偶函數則有

，波形對稱于縱坐標。

二、奇偶函數的傅里葉系數從而有

（2）

為奇函數則有

，波形對稱于原點。進而有這時有實際上，任意信號都可分解為奇函數和偶函數兩部分。其中**一個函數是奇函數還是偶函數不僅與其波形有關，而且與原點的選擇有關。如果

的前半周期波形移動

后，與后半周期波形對稱于橫軸即：

，稱為奇諧函數。

此時傅里葉級數展開式中將只含有奇次諧波分量，而不含有偶次諧波分量。即

0t-TT-T/2f

(t)T/21-1圖

3.2-6奇諧函數（3）

為奇諧函數例3.2-2正弦交流信號

經全波或半波整流后的波形分別如下圖所示。求它們的傅里葉級數展開式。（a）全波整流信號

（b）半波整流信號解

（1）全波整流信號圖（a）的全波整流信號可寫成（其周期

，

為原正弦信號角頻率

）

由于它是t的偶函數，故

，

基波角頻率

與信號角頻率

相等,

并令

，對上式進行變量替換得:可見，它除直流外，僅含有

的偶次諧波。

想一想：本題中若把

f1(t)看成以T/2為周期，則由于它仍是的偶函數，故

，令

，則

對上式進行變量替換:（2）半波整流信號圖（b）的半波整流信號可寫為（其周期

）它的傅里葉級數可直接由下式求出本題也可將它分解成奇函數和偶函數兩部分：

討論

關于n的奇偶性。是n的偶函數。是n的奇函數。是n的偶函數。是n的奇函數。三、傅里葉級數的指數形式將上式第三項中的

用

代換，并考慮到

是

的偶函數，即

；

是

的奇函數,

則上式可寫為

:如將上式中的

寫成

（

），則上式可以寫成:令復數量

，稱其為復傅里葉系數，簡稱傅里葉系數。其模為

，相角為

，則得傅里葉級數的指數形式為

復傅里葉系數

這就是求指數形式傅里葉級數的復系數

的公式。

任意周期信號

可分解為許多不同頻率的虛指數信號

之和，其各分量的復數幅度（或相量）為

。