第2講邏輯代數基礎

課時授課計劃

課程內容知識要點：邏輯代數的基本概念（包括變量、運算、函數等）邏輯代數的公理、定理和規則邏輯函數的各種表示形式及相互轉換目的與要求：熟練掌握基本邏輯運算和幾種常用復合導出邏輯運算；熟練運用真值表、邏輯式、邏輯圖來表示邏輯函數。理解并掌握邏輯代數的基本公式、基本定律和三個重要規則。重點與難點：重點：三種基本邏輯運算和幾種導出邏輯運算；真值表、邏輯式、邏輯圖之間的相互轉換。基本公式和基本定律；三個重要規則。難點：將真值表轉換為邏輯式。 摩根定律；三個規則。課堂討論：討論簡單邏輯運算的邏輯口訣；分析邏輯式與邏輯圖之間的相互轉換以及如何由邏 輯式或邏輯圖列真值表。常用公式的證明；三個重要規則的驗證。現代教學方法與手段：投影PowerPoint幻燈課件復習（提問）：與、或、非邏輯的運算口訣、邏輯符號。常用公式的證明；三個重要規則的驗證。

邏輯代數的基本概念邏輯函數的不同表示方法及其相互轉換邏輯函數的規則和公式邏輯和邏輯值所謂邏輯，是指事物的前因和后果所遵循的規律。客觀存在的大量完全對立又互相依存的邏輯狀態可以用邏輯“真”（邏輯“1”）和邏輯“假”（邏輯“0”）兩個對立的邏輯值來表示。邏輯“1”—條件具備或結果發生

邏輯“0”—條件不具備或結果未發生邏輯“1”和邏輯“0”不同于二進制數1和0邏輯代數、邏輯變量、邏輯函數邏輯代數

描述二值性邏輯關系的數學方法，是研究數字系統邏輯設計的數學工具。邏輯變量：邏輯代數中用來代替邏輯值的字母表示條件自變量或輸入變量表示結果因變量或輸出變量邏輯函數：描述因變量（輸出變量）關于自變量（輸入變量）的對應關系。歷史沿革形式化定義基本邏輯運算

描述一個數字系統，僅用邏輯變量的取值來反映單個開關元件的兩種狀態是不夠的，還必須反映一個復雜系統中各開關元件之間的聯系，這種相互聯系反映到數學上就是幾種運算關系。邏輯代數中定義了“與”、“或”、“非”三種基本運算。邏輯與:定義為當決定某一事件的所有條件都成立時，這個事件才會發生。邏輯表達式：F=A·B。（又稱為邏輯“乘”

）實現“與”運算關系的邏輯電路稱為“與”門。真值表：將所有輸入組合及其對應的輸出列成的表。邏輯功能口訣：有“0”出“0”，全“1”出“1”。演示與運算

邏輯或：定義為當決定某一事件的所有條件中只要有一個條件成立時，這個事件就會發生。邏輯表達式：F=A+B。（又稱為邏輯“加”

）

實現“或”運算關系的邏輯電路稱為“或”門。邏輯功能口訣：有“1”出“1”，全“0”出“0”。演示或運算

非運算邏輯非：定義為結果與條件相反。邏輯表達式：（又稱邏輯求反）實現“非”運算關系的邏輯電路稱為“非”門或反相器。邏輯功能口訣：“0”變“1”，“1”變“0”。1AFAFAF1）與非邏輯

與和非的復合邏輯稱為與非邏輯，它可以看成與邏輯后面加了一個非邏輯，實現與非邏輯的電路稱為與非門。

邏輯功能口訣：有“0”出“1”，全“1”出“0”。復合邏輯運算2）或非邏輯

或和非的復合邏輯稱為或非邏輯，可以看成或邏輯后面加了一個非邏輯，實現或非邏輯的電路稱為或非門。

邏輯功能口訣：有“1”出“0”，全“0”出“1”。3）與或非邏輯是三種基本邏輯的組合，也可看成是與邏輯和或非邏輯的組合。

4）異或邏輯

異或邏輯是指當兩個輸入邏輯變量取值相同時，輸出為0，不同（相異）時輸出為1。實現異或邏輯的電路稱為異或門。

邏輯功能口訣：相同為“0”，不同為“1”。異或運算規則異或運算性質5）同或邏輯

同或邏輯又稱為異或非邏輯，是指當兩個輸入邏輯變量取值相同時，輸出為1，不同時輸出為0。實現同或邏輯的電路稱為同或門（或稱為異或非門）。

邏輯功能口訣：相同為“1”，不同為“0”。異或運算規則邏輯函數的三種表示方法邏輯表達式真值表邏輯電路圖邏輯表達式描述邏輯表達式表示邏輯變量之間函數關系的代數式。同一個邏輯函數可以用不同形式的邏輯表達式來表示。運算優先順序真值表描述將所有輸入組合及其對應的輸出列成的表。由于一個邏輯變量只有0和1兩種可能的取值，故n個邏輯變量一共只有2n種可能的取值組合。有限的變量個數使得變量取值組合的總數必然是有限的，從而，能夠用窮舉的方法來描述邏輯函數的功能。同一個邏輯函數只能有唯一的一張真值表。

邏輯圖描述邏輯圖是用基本邏輯門和復合邏輯門的邏輯符號組成的對應于某一邏輯功能的電路圖。同一個邏輯函數可以有多個不同形式的邏輯圖與之對應。卡諾圖描述卡諾圖是由表示邏輯變量所有取值組合的小方格所構成的平面圖。它是一種用圖形描述邏輯函數的方法。卡諾圖在邏輯函數化簡中十分有用。邏輯函數的不同表示方法

（函數式、真值表、邏輯圖）

之間的相互轉換1、真值表邏輯函數式 將真值表中使每個輸出變量值為1時對應的一組輸入變量組合以邏輯乘（與運算）形式表示（其中在輸入變量組合中，用原變量表示變量取值1，用反變量表示變量取值0），再將所有使輸出變量值為1的邏輯乘項進行邏輯加（或運算），即得到輸出變量的邏輯函數表達式。2、函數式邏輯圖

將邏輯函數表達式中出現的與、或、非等運算關系，分別用相應的邏輯符號來表示，并根據輸入輸出關系作相應的連線。3、真值表邏輯圖

綜合1、2的做法舉例例：已知邏輯函數的真值表如下所示，試求其函數式和邏輯圖。ABCY000000100100011110001011110111104、邏輯圖函數式 逐級根據輸入寫輸出舉例例：寫出下圖的邏輯函數式。5、函數式真值表 只要把輸入變量取值的所有組合逐一帶入式中計算出函數值，然后將輸入變量取值與函數值對應地排列成表即可。舉例例：已知函數式為

求其真值表。解：將輸入變量A,B,C的各種取值組合逐一代入上式計算，再將結果填入表中6、邏輯圖真值表綜合4、5的做法直接作真值表邏輯代數的重要規則代入規則反演規則對偶規則代入規則任何一個含有變量A的邏輯等式，如果將所有出現A的位置都代之以同一個邏輯函數F，則等式仍然成立。這個規則稱為代入規則。

例如：兩變量的德摩根律--〉三變量的德摩根律代入規則的正確性是由邏輯變量和邏輯函數值的二值性保證的。代入規則的意義代入規則的意義：利用這條規則可以將邏輯代數公理、定理中的變量用任意函數代替，從而推導出更多的等式。這些等式可直接當作公式使用，無需另加證明。應用代入規則的注意事項注意：使用代入規則時必須將等式中所有出現同一變量的地方均以同一函數代替，否則代入后的等式將不成立。反演規則

反演規則用于求反函數。注意事項：保持原函數式中運算符號的優先順序不變；不屬于單個變量上的反號應保留不變。對偶規則若邏輯函數表達式的對偶式就是原函數表達式本身，即F‘=F。則稱函數F為自對偶函數。若兩個邏輯函數表達式F和G相等，則其對偶式F'和G'也相等。這一規則稱為對偶規則。對偶規則的應用和注意事項為了證明兩個邏輯式相等，可以通過證明其對偶式相等來完成。因為有時證明對偶式相等更加容易。求某一邏輯表達式的對偶式時，同樣要注意保持原函數的運算順序不變。邏輯代數的基本公式（17個）

變量與常量關系重迭律互補律還原律交換律分配律反演律（德·摩根律）變量與常量關系（0-1律）重迭律互補律還原律交換律結合律分配律反演律（德·摩根律）邏輯代數的常用公式（5個）歷史沿革邏輯代數是從哲學領域中的邏輯學發展而來的。1847年，英國數學家喬治·布爾(G.Boole)提出了用數學分析方法表示命題陳述的邏輯結構，并成功地將形式邏輯歸結為一種代數演算，從而誕生了著名的“布爾代數”。1938年，克勞德·向農(C.E.Shannon)將布爾代數應用于電話繼電器的開關電路，提出了“開關代數”。隨著電子技術的發展，集成電路邏輯門已經取代了機械觸點開關，故“開關代數”這個術語已很少使用。為了與“數字系統邏輯設計”這一術語相適應，人們更習慣于把開關代數叫做“邏輯代數”。返回邏輯代數的基本概念邏輯代數L是一個封閉的代數系統，它由一個邏輯變量集K，常量0和1以及“與”、“或”、“非”三種基本運算所構成，記為

L={K,·,+,-,0,1}

該系統滿足公理。交換律

對于任意邏輯變量A、B，有

A+B=B+A；

A·B=B·A

結合律對于任意的邏輯變量A、B、C，有

(A+B)+C=A+(B+C)；

(A·B)·C=A·(B·C)

分配律對于任意的邏輯變量A、B、C，有

A+(B·C)=(A+B)·(A+C)；

A·(B+C)=A·B+A·C0─1律對于任意邏輯變量A，有

A+0=A；

A+1=1；