數學物理方程的定解問題實質上都反映場與產生這個場的源之間的關系。例如，波動方程反映時變電磁場與電荷電流分布之間的關系，熱傳導方程反映溫度場與熱源之間的關系，泊松方程反映靜電場與電荷分布的關系，等等。由于這些場源都可以看作點源的疊加，因此當知道一個點源的場，就可以利用疊加原理求出在同樣邊界條件下的任意源的場。這種處理方法的根據是，上述方程都是線性偏微分方程，它們的解遵守疊加原理。這種求解數學物理方程的方法稱為格林函數法，在一定邊界條件下點源的場稱為格林函數。1第十二章格林函數解的積分公式

格林函數,又稱點源影響函數,是數學物理中的重要概念,代表第一節泊松方程的格林函數法我們首先來介紹格林公式.設u(r)和v(r)在區域T及其邊界上具有連續一階導數,而在T中具有連續二階導數,應用矢量分析的高斯定理將曲面積分化為體積積分點源的場,可以用疊加的方法計算任意源產生的場.一個點源在一定的邊界條件和初始條件下所產生的場,而知道了2第一格林公式同理兩式相減可得即其中表示沿邊界的外法向求導數第二格林公式3討論帶有一定邊界條件的泊松方程的求解問題,泊松方程而第一,第二,第三類邊界條件可以統一表示為其中是區域邊界上的給定函數,為第一類邊界條件為第二類邊界條件,為第三類邊界條件.其中,泊松方程與第一類邊界條件構成的定解問題叫第一邊值問題或狄利希利問題,與第二類邊界條件構成的定解解問題叫第三邊值問題.問題叫第二邊值問題或諾依曼問題,與第三類邊界條件構成的定4為研究點源產生的場,需要找一個能表示點源密度分布的函數,乘v(r,r0),上式乘u(r),然后相減在T中求積分應用格林公式將左邊的體積分化為面積分,但在點r=r0,具有的奇異性,不能用,先從區域T中挖去包含ro的小塊,(半徑為的小球,的邊界為,對于剩下的體積,格林公式就(*)位于r0點的單位強度的正點源在r產生的場,即v(r,r0)滿足方程:脈沖函數正好描述一個單位正點量的密度分布函數,以v(r,r0)表示可以應用了.5代入挖去的公式(*),且故當方程的解的點電荷的靜電場中的電勢,即可得上式右邊而左邊6則(*)成為:泊松方程的基本積分公式7上述公式將泊松方程的解u用區域T上的體積分及其邊界上的面在邊界上的值,但是,在第一邊值問題中,知道的只是u在邊界上的值,在第二邊值問題中,知道的是在邊界的值,在第三邊值問題中知道的是u和的線性組合在邊界上的值,都沒有同時給出

u和在邊界上的值,不能直接應用基本積分公式來解決邊如果我們能對v(r,r0)提出適當的邊界條件,就可以解決這個困難對于第一邊值問題,u在邊界上的值是已知的函數,如果要求v滿足齊次的第一類邊界條件值問題.積分表示出來.若要解決邊值問題,需要知道u和8則基本積分公式中的一項為零,不需要知道在邊界上的值,滿足的解稱為泊松方程第一邊值問題的格林函數,用G(r,r0)表示.則基本積分公式為對第三邊值問題,令v滿足齊次的第三類邊界條件滿足以上邊界條件和方程的解稱為泊松方程第三邊值問題的格林函數,用G(r,r0)表示.9G(r,r0),乘得U乘且以G代替v,可得(1)(2)(1)和(2)相減得代入基本積分公式得10對于第二邊值問題,同樣的方法無法解出,因為定解問題的解不存在!如果把這個格林函數看成溫度分布,泛定方程右邊的函數表明所包圍區域T中有一個點熱源,而邊界條件表明邊界是其中VT是T的體積，對于二維空間，有這個問題,引入推廣的格林函數:區域T內的問題不斷升高,其溫度分布不可能是穩定的.為解決絕熱的,這樣,點熱源不停釋放熱量,又不能散發出去,必然導致11其中AT是T的面積，這樣添加的項是均勻分布的熱匯密度，熱匯在上述兩個公式中，左邊的r0表示觀測點在r0，而右邊積分中利用格林函數的對稱性，可得r點產生的場，這里就要用到格林函數的對稱性，將r和r0對調，的f(r)表示源在r，可是，格林函數g(r，r0)所代表的是r0的點源在正好吸收了點熱源放出的熱量，正好相等。12第一邊值問題解的積分表示式第三邊值問題解的積分表示式右邊第一個積分表示區域T中分布的源f(r0)在點r產生的場的總和第二個積分則代表邊界上的狀況對r點場的影響的總和。兩項積對于拉普拉斯方程，右邊的只要令上述公式右邊的體積分為零，就可得到拉