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———高考數學復習的科學理念與方法

杭州第十四中學馬茂年問題提出

意大利數學家卡當(1501-1576),他提出這樣一個問題:擲一白一藍兩顆骰子,以兩顆骰子的點數和打賭,你壓幾點最有利?卡當認為7最好?你認為呢?考察兩個試驗(1)擲一枚質地均勻的硬幣的試驗(2)擲一枚質地均勻的骰子的試驗正面向上反面向上六種隨機事件基本事件(1)中有兩個基本事件(2)中有6個基本事件特點任何兩個基本事件是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．什么是基本事件？它有什么特點？□基礎回顧【問題1】字母a、b、c、d中任意取出兩個不同字母的試驗中，有哪些基本事件？〖解〗所求的基本事件共有6個：試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個；(2)每個基本事件出現的可能性相等．

具有上述兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．概念辨析

【問題2】向一個圓面內隨機地投射一個點，如果該點落在圓內任意一點都是等可能的，你認為這是古典概型嗎?為什么？〖解〗因為試驗的所有可能結果是圓面內所有的點，試驗的所有可能結果數是無限的，雖然每一個試驗結果出現的“可能性相同”，但這個試驗不滿足古典概型的第一個條件。

【問題3】某同學隨機地向一靶心進行射擊，這一試驗的結果只有有限個：命中10環、命中9環……命中1環和不中環。你認為這是古典概型嗎？為什么？

〖解〗不是古典概型，因為試驗的所有可能結果只有11個，而命中10環、命中9環……命中1環和不中環的出現不是等可能的，即不滿足古典概型的第二個條件。

概念辨析

【問題4】在古典概型中，基本事件出現的概率是多少？隨機事件出現的概率如何計算？〖解〗(1)擲一枚質地均勻的硬幣的試驗P(“正面向上”)=P(“正面向下”)P(“正面向上”)+P(“正面向下”)=P(“必然事件”)=1P(“正面向上”)=P(“正面向下”)=(2)擲一枚質地均勻的骰子的試驗P(“1點”)=P(“2點”)=P(“3點”)=P(“4點”)=P(“5點”)=P(“6點”)P(“1點”)+P(“2點”)+P(“3點”)+P(“4點”)+P(“5點”)+P(“6點”)=P(“必然事件”)=1

P(“1點”)=P(“2點”)=P(“3點”)=P(“4點”)=P(“5點”)=P(“6點”)=P(“出現偶數點”)=P(“2點”)+P(“4點”)+P(“6點”)=對于古典概型，任何事件的概率為：P(A)=A包含的基本事件的個數基本事件的總數□基礎自測1.將一枚硬幣先后拋擲兩次，恰好出現一次正面的概率為________.

2.甲、乙、丙、丁四人排成一行，甲不在兩端的概率為

。3.在50瓶飲料中，有3瓶已經過期了，從中任取一瓶，取得已過期的飲料的概率為

。

1/23/501/2□基礎自測4.有數學、物理、化學、歷史、政治五本課本，從中任取一本，取到理料課本的概率是

。5.用2元錢購買一注6+1體育彩票,中特等獎的概率為

。6.52張撲克牌中(除去大王和小王)任取4張,取到4個A的概率為

。3/51/2707251/10000000復習1：什么是基本事件？什么是等可能基本事件？我們又是如何去定義古典概型？在一次試驗中可能出現的每一基本結果稱為基本事件若在一次試驗中，每個基本事件發生的可能性都相同，則稱這些基本事件為等可能基本事件滿足以下兩個特點的隨機試驗的概率模型稱為古典概型：⑴所有的基本事件只有有限個⑵每個基本事件的發生都是等可能的（即試驗結果的有限性和所有結果的等可能性。）復習2：求古典概型的步驟：（1）判斷是否為等可能性事件;（2）計算所有基本事件的總結果數n;（3）計算事件A所包含的結果數m;（4）計算例1.(摸球問題)一個口袋內裝有大小相同的5個紅球和3個黃球，從中一次摸出兩個球。⑷求摸出的兩個球一紅一黃的概率。⑴問共有多少個基本事件；⑵求摸出兩個球都是紅球的概率；⑶求摸出的兩個球都是黃球的概率；典例剖析例1.（摸球問題）一個口袋內裝有大小相同的5個紅球和3個黃球，從中一次摸出兩個球。⑴問共有多少個基本事件；解：⑴分別對紅球編號為1、2、3、4、5號，對黃球編號6、7、

8號，從中任取兩球，有如下等可能基本事件，枚舉如下：（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（1，7）、（1，8）（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（2，7）、（2，8）（3，4）、（3，5）、（3，6）、（3，7）、（3，8）（4，5）、（4，6）、（4，7）、（4，8）（5，6）、（5，7）、（5，8）（6，7）、（6，8）（7，8）7654321共有28個等可能事件28例1.（摸球問題）一個口袋內裝有大小相同的5個紅球和3個黃球，從中一次摸出兩個球。⑵求摸出兩個球都是紅球的概率；設“摸出兩個球都是紅球”為事件A則A中包含的基本事件有10個，

因此（5，6）、（5，7）、（5，8）（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（1，7）、（1，8）（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（2，7）、（2，8）（3，4）、（3，5）、（3，6）、（3，7）、（3，8）（4，5）、（4，6）、（4，7）、（4，8）（6，7）、（6，8）（7，8）例1.（摸球問題）一個口袋內裝有大小相同的5個紅球和3個黃球，從中一次摸出兩個球。⑶求摸出的兩個球都是黃球的概率；

設“摸出的兩個球都是黃球”為事件B，故

（5，6）、（5，7）、（5，8）（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（1，7）、（1，8）（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（2，7）、（2，8）（3，4）、（3，5）、（3，6）、（3，7）、（3，8）（4，5）、（4，6）、（4，7）、（4，8）（6，7）、（6，8）（7，8）則事件B中包含的基本事件有3個，例1（摸球問題）一個口袋內裝有大小相同的5個紅球和3個黃球，從中一次摸出兩個球。⑷求摸出的兩個球一紅一黃的概率。

設“摸出的兩個球一紅一黃”為事件C，（5，6）、（5，7）、（5，8）（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（1，7）、（1，8）（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（2，7）、（2，8）（3，4）、（3，5）、（3，6）、（3，7）、（3，8）（4，5）、（4，6）、（4，7）、（4，8）（6，7）、（6，8）（7，8）故則事件C包含的基本事件有15個，答：

⑴共有28個基本事件;

⑵摸出兩個球都是紅球的概率為⑶摸出的兩個球都是黃球的概率為⑷摸出的兩個球一紅一黃的概率為67891011例2.（擲骰子問題）將一個骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數。問:（1）共有多少種不同的結果?

（2）兩數之和是3的倍數的結果有多少種？（3）兩數之和是3的倍數的概率是多少？

第一次拋擲后向上的點數123456第二次拋擲后向上的點數654321

解：（1）將骰子拋擲1次，它出現的點數有1，2，3，4，5，6這6種結果，對于每一種結果，第二次拋時又都有6種可能的結果，于是共有6×6=36種不同的結果。234567345678456789789101112678910由表可知，等可能基本事件總數為36種。123456第一次拋擲后向上的點數8910111267891011678910456789345678234567654321第二次拋擲后向上的點數（2）記“兩次向上點數之和是3的倍數”為事件A，則事件A的結果有12種。（3）兩次向上點數之和是3的倍數的概率為：解：記“兩次向上點數之和不低于10”為事件B，

則事件B的結果有6種，

因此所求概率為：123456第一次拋擲后向上的點數8910111267891011678910456789345678234567654321第二次拋擲后向上的點數變式1：兩數之和不低于10的結果有多少種？兩數之和不低于10的的概率是多少？123456第一次拋擲后向上的點數8910111267891011678910456789345678234567654321第二次拋擲后向上的點數

根據此表，我們還能得出那些相關結論呢？變式2：點數之和為質數的概率為多少？

變式3：點數之和為多少時，概率最大且概率是多少？

點數之和為7時，概率最大，且概率為：

8910111267891011

678910456789345678234567變式4：如果拋擲三次，問拋擲三次的點數都是偶數的概率，以及拋擲三次得點數之和等于9的概率分別是多少？

分析：拋擲一次會出現6種不同結果，當連拋擲3次時，事件所含基本事件總數為6*6*6=216種，且每種結果都是等可能的.解：記事件E表示“拋擲三次的點數都是偶數”，而每次拋擲點數為偶數有3種結果：2、4、6;

由于基本事件數目較多，已不宜采用枚舉法，利用計數原理，可用分析法求n和m的值。因此，事件E包含的不同結果有3*3*3=27種，故記事件F表示“拋擲三次得點數之和為9”，

由于9＝1＋2＋6＝1＋3＋5＝1＋4＋4＝2＋2＋5＝2＋3＋4＝3＋3＋3，記事件F表示“拋擲三次得點數之和為9”，

由于9＝1＋2＋6＝1＋3＋5＝1＋4＋4＝2＋2＋5＝2＋3＋4＝3＋3＋3，

⑴

對于1＋3＋5來說，連拋三次可以有（1，3，5）、（1，5，3）、（3，1，5）、（3，5，1）、（5，1，3）、（5，3，1）共有6種情況。

【其中1＋2＋6、2＋3＋4同理也有各有6種情況】

⑵對于2＋2＋5來說，連拋三次可以有（2，2，5）、（2，5，2）、（5，2，2）共三種情況，

【其中1＋4＋4同理也有3種情況】⑶對于3＋3＋3來說，只有1種情況。因此，拋擲三次和為9的事件總數N＝3*6＋3*2＋1＝25種故□基礎訓練1.從甲、乙、丙三人中任選兩名代表，甲被選中的概率為________.

解析：因為三個人被選的可能性是相同的，而且基本事件是有限的，故是古典概型，基本事件為甲乙，甲丙，乙丙，故甲被選中有甲乙、甲丙，故p=2/3.2.袋中有2個白球，2個黑球，從中任意摸出2個，則至少摸出1個黑球的概率是________.

解析：該試驗中會出現（白1，白2），（白1，黑1），（白1，黑2），（白2，黑1），（白2，黑2）和（黑1，黑2）共6種等可能的結果，所以屬于古典概型，事件“至少摸出1個黑球”所含有的基本事件為），（白1，黑1），（白1，黑2），（白2，黑1），（白2，黑2）和（黑1，黑2）共5種，據古典概型概率公式，得事件“至少摸出1個黑球”的概率是5/6.□基礎訓練3.一袋中裝有大小相同，編號為1，2，3，4，5，6，7，8的八個球，從中有放回的每次取一個球，共取2次，則取得兩個球的編號之和不小于15的概率為_________.

解析：基本事件為（1，1），（1，2），…

（1，8），（2，1），（2，2），…（8，8），共64種。兩球編號之和不小于15的情況有三種，分別為（7，8），（8，7），（8，8），所以p=3/64.□提高訓練4.有兩顆正四面體的玩具，其四個面上分別標有數字1，2，3，4，下面做投鄭這兩顆正四面體玩具的試驗：用（x,y)表示結果，其中x表示第一顆正四面體玩具出現的點數，y表示第二顆正四面體玩具出現的點數。試寫出：（1）試驗的基本事件；（2）事件“出現點數之和大于3”；（3）事件出現點數相同.□提高訓練解：（1）這個試驗的基本事件的為：

（1，1），（1，2），（1，3），（1，4）（2，1），（2，2），（2，3），（2，4）（3，1），（3，2），（3，3），（3，4）（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）（2）事件“出現點數之和大于3”包含以下13個基本事件：（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）,（4，4）。（3）事件“出現點數相等”包含以下4個基本事件：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）

5.在連續兩次擲一枚骰子的隨機試驗中，向上的點數之和是偶數的概率是多少？

（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）〖分析1〗□提高訓練第一次奇偶奇奇偶偶第二次基本事件共有4個，即（奇,奇）（奇,偶）（偶,奇）（偶,偶）

〖分析2〗6.設集合A＝｛－9,－7,－5,－3,－1,0,2,4,6,8｝，點（ｘ，ｙ）的坐標ｘ∈Ａ，ｙ∈Ａ，但ｘ≠ｙ，計算：（1）點（ｘ，ｙ）不在ｘ軸上的概率；（2）點（ｘ，ｙ）正好在第二象限的