小專題(八)

教材P90習題第14題的變式與應用【例】(人教版九年級上冊教材第90頁第14題)如圖，A，P，B，C是⊙O上的四個點，∠APC＝∠CPB＝60°，判斷△ABC的形狀，并證明你的結論．證明：因為∠APC＝∠ABC，∠CPB＝∠BAC，又因為∠APC＝∠CPB＝60°.所以∠ABC＝∠BAC＝60°.于是∠ACB＝60°.所以△ABC為等邊三角形．1．如圖，延長BP至E，若∠EPA＝∠CPA，判斷△ABC的形狀并證明你的結論．△ABC是等腰三角形，理由：因為∠CPA＝∠ABC，四邊形APBC是圓內接四邊形，所以∠EPA＝∠ACB.因為∠EPA＝∠CPA，所以∠ACB＝∠ABC.所以AB＝AC.故△ABC是等腰三角形．2．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，DB＝DC.求證：AD是△ABC外角∠EAC的平分線．證明：∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，

∴∠DCB＋∠DAB＝180°.又

∠DAE＋∠DAB＝180°，

∴∠DCB＝∠EAD.

∵DB＝DC，

∴∠DBC＝∠DCB.

∵∠DBC＝∠DAC，

∴∠DAC＝∠EAD.

∴AD平分∠EAC.

3．如圖，A，P，B，C是半徑為8的⊙O上的四點，且滿足∠BAC＝∠APC＝60°.(1)求證：△ABC是等邊三角形；(2)求圓心O到BC的距離OD.(1)證明：∵∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠APC＝60°，

∴∠ABC＝∠BAC＝60°.

∴△ABC是等邊三角形．4．如圖，△ABC內接于⊙O，P為弧AB上異于A，B兩點的一動點時，當△ABC滿足什么條件時，PA能否平分∠BPC的外角∠CPE.若能，請證明，若不能，請說明理由．當AB＝AC時，PA平分∠BPC的外角∠CPE.理由：

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，又∵∠APE＋∠APB＝180°，

∠ACB＋∠APB＝180°，

∴∠APE＝∠ACB.又∵∠APC＝∠ABC，

∴∠APE＝∠APC.即AB＝AC時，PA平分∠BPC的外角∠CPE.

5．(1)如圖1，△ABC內接于⊙O，AD為∠BAC的平分線，過D作DE垂直于AB于E，AE與△ABC的兩邊AB，AC有怎樣的關系呢？(2)如圖2，若AD為△ABC的外角∠CAG的平分線時，AE與△ABC的兩邊AB，AC又有怎樣的關系呢？6．如圖，平面直角坐標系中，O′為y軸上一點，⊙O′交x軸于A，B兩點，交y軸于C，D兩點．直線AE交⊙O′于F點，連接FC.過C作CH垂直AF交其延長線于H.試問：當點F在弧AC上運動時，FB－FA與FH的比值是否為定值？并說明理由．7．如圖，△ABC的三個頂點均在⊙O上，∠BAC與∠ABC的平分線相交于點I，延長AI交⊙O于點D，連接BD，DC.(1)求證：BD＝DC＝DI；(2)若⊙O的半徑為10cm，∠BAC＝120°，

求△BDC的面積．(1)證明：∵AI平分∠BAC，

∵∠BAD＝∠DAC，

∴BD＝DC.

∵BI平分∠ABC，

∴∠ABI＝∠CBI.

∵∠BAD＝∠DAC，∠DBC＝∠DAC，

∴∠BAD＝∠DBC.又∠DBI＝∠DBC