第2章直流電路的計算

教學導航教知識重點1．直流電路的概念2．電阻的混聯3．電位、電能的計算4．基爾霍夫定律5．疊加定理6．戴維南定理知識難點用基爾霍夫定律、疊加定理、戴維南定理計算復雜直流電路推薦教學方式從工作任務入手，從實際問題出發，講解如何分析復雜電路建議學時6學時學推薦學習方法觀察復雜實際電路，了解電路組成，分析電路工作原理和常見電路故障及排除方法，在老師指導下動手練習必須掌握的理論知識1．電阻的混聯2．電位的計算3．基爾霍夫定律4．疊加定理5．戴維南定理需要掌握的工作技能1．正確分析電路組成2．正確計算復雜電路任務2.1簡單直流電路的計算直流電路是指電路中電流為直流的電路。2.1.1電阻的串聯計算將若干個電阻元件順序地無分支地連接起來，這種連結方式稱為電阻的串聯，這種電路稱為串聯電路。如圖2.1所示。圖2.1電阻的串聯

自己動手：測量圖2.2中R1、R2，電壓U1、U2，電流I、I1、I2，電阻RAB，功率PAB、P1、P2（每人一個電路，一塊萬用表）。圖2.2自己動手電路參數：外加電壓U=6V。測量結果：Ul=2V，U2=4V，I1=I2=I=lmA，R1=2kΩ、R2=4kΩ，RAB=6kΩ，PAB=6mW，P1=2mW，P2=4mW。由測量結果可知，電阻的串聯具有如下特點：流過各串聯電阻的電流相等I=I1=I2（2.1）總串聯電阻的電壓等于各串聯電阻的電壓之和U=Ul＋U2

（2.2）

串聯電阻的等效電阻等于各電阻之和

RAB=R1＋R2（2.3）串聯電阻的總功率等于各電阻功率之和

PAB=P1＋P2=U1I＋U2I=UI

（2.4）上述結論可推廣到兩個以上電阻的串聯。2.1.2電阻的并聯計算將若干個電阻元件都接在兩個共同端點之間，這種連接方式稱為并聯，這種電路稱為并聯電阻電路，如圖2.3所示。圖2.3電阻的并聯

自己動手：測量圖2.4中的R1、R2，電壓U1、U2，電流I、I1、I2，電阻RAB，功率PAB、P1、P2（每人一個電路，一塊萬用表，已知電路參數U=6V）。

圖2.4自己動手

測量結果：

R1=6KΩ，R2=3kΩ，I1=lmA，I2=2mA，I=3mA；電阻兩端電壓都是U=6V；RAB=2kΩ；P1=6mW，P2=12mW，PAB=18mW。由測量結果可知，電阻并聯具有如下特點：并聯的各電阻元件承受同一電壓

U=U1=U2（2.5）流過并聯各支路電阻元件的電流之和等于并聯總電流I=I1＋I2

（2.6）電阻并聯的等效電阻的倒數等于各支路電阻元件電阻倒數之和

并聯電阻的總功率等于各電阻元件功率之和

PAB=P1＋P2=UI1＋UI2=UI

（2.8）上述結論可推廣到兩個以上電阻的并聯。（2.7）2.1.3電阻的串并聯計算

電路中既有電阻串聯又有電阻并聯的連接稱為串并聯。電阻的串并聯在實際應用中十分普遍。圖2.5、圖2.6是兩種基本的串并聯電路。圖2.5是R1和R2串聯后再與R3并聯的電路，稱為“先串后并”的結構，其等效電阻可寫成R＝(Rl+R2)//R3圖2.5先串后并

圖2.6先并后串圖2.6是R2和R3并聯后再與R1串聯的電路，稱為“先并后串”的結構，其等效電阻可寫成R＝Rl+R2//R3分析串并聯電路，關鍵在于分清各電阻的串并聯關系，然后采用逐步合并的化簡方法，最后求出等效電阻。例2.1如圖2.7所示的電路。求：a、b間的等效電阻。圖2.7例2.1

解：從電路結構看，R1與R2并聯，R3與R4并聯，然后再串聯，而R5被短接，故a、b間的等效電阻可寫成R＝Rl//R2+R3//R4例2.2如圖2.8所示電路。求：a、b間的等效電阻。圖2.8例2.2圖2.9例2.2等效電阻解：電路中雖然只有四個電阻，卻不太容易分清它們的連接關系。解決的方法是改畫電路圖，電阻R2的右端連在c點與連在a點是一樣的，改畫一下，如圖2.9所示，很明顯Rl和R2是并聯的，于是a、b間的等效電阻可寫為R＝(Rl//R2+R3)//R4例2.3如圖2.10所示電路。求：電流I。圖2.10例2.3圖2.11例2.3等效電路解：由圖2.10可見兩個8Ω電阻是并聯，其等效電阻R’＝8//8＝4Ω；電阻3Ω與6Ω也是并聯，其等效電阻R”＝3//6＝2Ω。導線ab可以縮為一點，電路化簡為圖2.11所示電路。算出總電流I=18/(4+2)=3A例2.4如圖2.12電路。求：a、b間的等效電阻。圖2.12例2.4

圖2.13例2.4等效電路解：這個電路的電阻較多，不太容易分清各電阻的連接關系。解決的方法是，將明顯的串聯或并聯的電阻，化簡為一個等效電阻，其他的電阻保留不動，用這種局部化簡的方法來減少電阻個數，逐步明確電路的結構。在圖2.12中，可以看出R1與R2并聯，用R12＝R1//R2來替換；R3與R4也是并聯，用R34＝R3//R4來替換，如圖2.13所示。這樣由圖2.13可以清楚地看出：R34與R6串聯后與R5并聯，再與R12串聯后與R7并聯，經整理得R＝[R1//R2+(R3//R4+R6)//R5]//R7自己動手：測量單個電阻的阻值和串并聯后的總阻值（每人三只電阻，一塊萬用表）。任務2.2復雜直流電路的計算2.2.1用基爾霍夫定律計算前面我們學過運用歐姆定律和電阻串并聯公式可以求解簡單的電路，如圖2.14所示的電路有兩個電源，用前面學過的知識，已不易求解，這樣的電路稱為復雜電路，為了解決這個問題，德國科學家基爾霍夫通過實驗在1845年提出：在任一時刻，流入任一個節點的電流之和等于從該節點流出的電流之和，即∑Ii=∑Io

（2.9）人們稱它為基爾霍夫電流定律，簡稱KCL。定律中提到了節點和支路的概念，節點是指三條和三條以上的支路的連接點。如圖2.14中A點和B點都是節點。支路是指每一段不分支的電路稱為支路。如圖2.14中AaB，AbB，AdcB都是支路。支路AaB，AdcB中有電源稱為含源支路，支路AbB中沒有電源稱無源支路。圖2.14兩電源電路例2.5對圖2.14所示電路，列出節點A、B的電流方程。解：先選定各支路電流的參考方向如圖2.15所示。若設流入節點的電流前面取正號，則流出節點的電流前面取負號。圖2.15電流的參考方向根據KCL節點A：I1+I3=I2

節點B：I2=I1+I3我們把上面節點A或節點B的電流方程也可改寫為

節點A：I1+I3—I2=0

節點B：I2—I1—I3=0即

∑I=0這就是說，任一時刻，流經電路任一節點的所有電流的代數和恒等于零。可以看出節點A和節點B的電流方程是相同的。上面兩個式子是相同的。所以對于具有兩個節點的電路只能列出一個獨立的節點電流方程。同理，對于具有n個節點的電路，只能列出n一1個獨立的節點電流方程。例2.6

圖2.16中，在給定的電流參考方向下，已知I1=2A，I2=-6A，I3=2A，I4=-5A。求：I5。圖2.16例2.6

解：利用KCL寫出節點A：－I1－I2－I3－I4＋I5=0將已知數據代入－2－(－6)－2－(－5)＋I5=0得I5=－7AI5為負值，說明I5是流出節點的電流。由例題可以看出：凡應用KCL時，均應按電流的參考方向來列方程式。自己動手：測量具有兩個電源和兩個節點的電路中支路的電流是否符合基爾霍夫電流定律（一人一個安全電壓電路，一塊萬用表）。

基爾霍夫通過實驗還指出：在任一時刻，電路中任一閉合回路內電壓源電壓（電位升）的代數和等于電壓降(電位降)的代數和。即

∑Us=∑U

（2.10）人們稱它為基爾霍夫電壓定律，簡稱KVL。

如果電路中的電壓降都是電阻電壓降，也可寫成

∑Us=∑IR

（2.11）應用（式2.11）列方程時，式中各項符號的正負，按下列規則確定：1.先選定回路的繞行方向。2.方程左邊電壓源的電壓，若電壓參考方向與繞行方向一致，則該電壓源電壓取負號，反之取正號。3.方程右邊電阻的電壓，若電流參考方向與繞行方向一致，則電壓降RI取正號，反之取負號。定律中提到了回路的概念，回路是指電路中任一閉合路徑。如圖2.15中AbBaA，AdcBbA，AdcBaA都是回路。只有一個回路的電路叫做單回路電路。有時用到網孔和網絡的概念，網孔是指在電路中不含有支路的回路。如AbBaA和AdcBbA都是網孔，而AdcBaA則不是網孔。網絡是指整個電路。例2.7

對圖2.14所示電路，列出回路的電壓方程。解：先選定各支路電流的參考方向和回路的繞行方向，如圖2.17所示，根據KVL列出網孔AdcBba：一Us2=一I2R2一I3R3網孔AbBaA：Us1=I1R1+I2R2回路AdcBaA：Us1一Us2=I1R1一I3R3

圖2.17支路電流的參考方向和回路的繞行方向上面三個方程中的任何一個方程都可以從其他兩個方程中導出。因此，只有兩個電壓方程是獨立的，通常選用網孔的電壓方程。若將式(2.10)中的∑Us移到∑U的同一側，這時式(2.10)也可表示為

∑U一∑Us=0(2.12)即，基爾霍夫電壓定律也可表述為：任一時刻，電路中任一閉合回路內各段電壓的代數和恒等于零。在應用式（式2.12）列回路電壓方程時，前面的符號規定如下：首先選定回路的繞行方向；凡電壓的參考方向與繞行方向相同就在該電壓前面取“十”號，反之則取“一”號。自己動手：測量具有兩個電源和兩個網孔的電路中各元件的電壓是否符合基爾霍夫電壓定律（一人一個安全電壓電路，一塊萬用表）。電路的分析是指按已給定電路的結構和參數計算電路的有關的物理量。例如，給定電路的聯結方式、電路中電阻和電源的數值，去求某一元件上的電壓或某一支路的電流。以支路電流為末知量，然后列出和末知量數目相等的方程式，再聯立解方程組，這種解題方法稱為支路電流法。其方法和步驟以下面的例題來說明。例2.8圖2.14所示電路中，已知R1=10Ω，R2=5Ω，R3=5Ω，Us1=12v，Us2=6V。求：R1

、R2

、R3所在支路電流I1、I2、I3。解：1.先假定各支路電流的參考方向，如圖2.18所示。圖2.18支路電流的參考方向和回路的繞行方向2.根據KCL列出節點電流方程，由節點A得到I1+I3－I2=03.選定回路的繞行方向，如圖2.18所示。4.根據KVL列出兩個網孔的電壓方程。網孔AdcBbA：－Us2=－I2R2－I3R3

網孔AbBaA：Us1=I1R1+I2R2

代入電路參數，得方程組

I1+I3－I2=0－6=－5I2－5I3

12=10I1+5I2

解方程組，得

I1=0.72A，I2=0.96A，

I3=0.24A2.2.2用疊加定理計算

除了基爾霍夫定律外還有沒有其他的方法求解復雜電路呢？疊加定理就是一個求解線性復雜電路中的一個基本定理，它反映了線性電路的基本性質。其內容是：線性電路中任一支路的電流(或電壓)，是每一個電源(指獨立源)單獨作用時在該支路中所產生的電流(或電壓)的代數和。

其中定理里所說的電源單獨作用，是指當這個電源單獨作用于電路時，其他電源都要取零值，也就是電壓源用短路代替，電流源用開路代替。下面通過例題來說明應用疊加定理解題的方法。例2.9

如圖2.14所示電路，其中Rl=10Ω，R2＝R3＝5Ω，US1＝12V，US2＝6V。求：R1

、R2

、R3所在支路電流（用疊加定理）。解：圖2.14電路中含有兩個電壓源，第一步要選定電流的參考方向，如圖2.15所示。第二步畫出每個電源單獨作用時的電路圖。US1單獨作用的電路圖如圖2.19所示。其中電源US2已用短路線代替，各電阻保留不動，各支路電流為I1、I2和I3，稱為電流分量。US2單獨作用的電路圖如圖2.20所示。其中電源US1已用短路線代替，各個電阻保留不變，電流分量為I1、I2和I3，在圖中標出它們的參考方向。然后分別對各分解的電路圖進行計算，求出各電流分量的數值。圖2.19US1單獨作用圖2.20US2單獨作用在圖2.19中，對電源US1兩端，等效電阻R1`＝R1+R2//R3＝10+5//5＝12.5Ω在圖2.20中，對電源US2兩端，等效電阻

即

R3+Rl//R2=5+10//5=25/3Ω最后將各對應支路的電流分量疊加，求出該支路的總電流。疊加時各電流分量的符號以原電路圖，即以圖2.15對應支路電流的參考方向為標準，相同取正，相反取負。這與前面用支路電流法求解的例2.8的計算結果一樣。由此例可知，應用疊加定理可以將一個多電源的復雜電路分解化為幾個單電源的簡單電路，從而使分析計算得到簡化。應用疊加定理求解電路時要注意下面幾點：1.應用疊加定理時，必須保持原電路的參數及結構不變。當某一個電源單獨作用時，其他電源都應取為零值，即電壓源短路，電流源開路，電源的內阻要保留不動。2.在進行疊加時，要注意各個分量在電路圖中標出的參考方向。如果分量的參考方向與原圖中總量的參考方向一致，疊加時取正號，相反時取負號。3.疊加定理僅僅適用于計算線性電路中的電流或電壓，不適用計算功率。因為功率與電流或電壓之間不是線性關系。例如，流過電阻R的總電流是由兩個分電流疊加，即I＝I’+I”那么電阻消耗的功率

P＝I2R＝(I’+I’’)2R≠I’2R+I”2R例2.10求解圖2.21所示電路中的電流I1和I2，及電流源兩端的電壓U（用疊加定理）。圖2.21例2.10解：在圖2.21中含有一個電壓源和一個電流源的直流電路。要利用疊加定理，第一步正確畫出一個電源單獨作用的電路圖。電流源單獨作用的電路如圖2.22所示；電壓源單獨作用的電路如圖2.23所示，注意原電流源位置已被開路代替。圖2.22電流源單獨作用圖2.23電壓源單獨作用在圖2.22中，由分流公式

I’1=3x6/(6+3)=2A

I’2=3-2＝1A在圖2.23中，只有一個回路，電流

I”1=I”2==4A疊加求出總電流

Il＝一I’1+I”1＝一2+4＝2A

I2＝I’2+I”2＝1+4＝5A計算電流源的端電壓

U＝5x3+6I2＝15+6x5＝45V利用疊加定理不僅可以簡化線性電路的計算，而且它是所有線性電路基本性質的一個重要原理，它是分析研究線性電路的重要方法和理論依據，常用來推導線性電路的其他一些定理，同時它又是分析非正弦交流電路、電路過渡過程的基礎2.2.3用戴維南定理計算在復雜電路的分析和計算中，往往碰到的是只需要研究某一支路的電流和電壓，而不必把所有支路的電流、電壓都計算出來，這時應用戴維南定理進行計算，就比較方便快捷。1883年法國工程師戴維南在多年實踐的基礎上提出：任何一個有源二端網絡都可以用一個電壓源與電阻相串聯的等效電路來代替。這個電壓源電壓就是有源二端網絡的開路電壓UOC，這個電阻就是該網絡中所有電壓源短路、電流源開路時的等效電阻RO，RO又稱輸出電阻或內阻。我們稱它為戴維南定理，又稱等效電壓源定理。二端網絡是指與外電路只有兩個出線端相連接的電路。如果電路內部含有電源則稱為有源二端網絡，用標注N的大方框來表示，如圖2.24(a)所示。如果電路內部不含有電源的稱為無源二端網絡，用標注N0的方框來表示，如圖2.24(b)所示。a)

圖2.24二端網絡b)對于無源二端網絡，如果內部是電阻電路，我們總能簡化為一個等效電阻。對于有源二端網絡，不論它內部是簡單電路還是任意復雜的電路，從外電路來看，僅相當于一個電源作用，它對接在兩端的外電路提供電能。因此有源二端網絡一定可以化簡為一個等效電源。在經過這種等效變換后，接在兩端的外電路中的電流和其兩端的電壓沒有任何改變。例2.11求如圖2.25所示有源二端網絡的戴維南等效電路。圖2.25例2.11解：先求有源二端網絡的開路電壓ＵＯＣ，電流、電壓的參考方向如圖2.26所示。圖2.26電流、電壓的參考方向再求等效電阻Ro，如圖2.27所示，電壓源短路，則有

R0=RAB=R1//R2=＝＝3.3Ω圖2.27電壓源短路

圖2.28等效電路因此，所求的戴維南等效電路如圖2.28所示。戴維南定理的突出優點是實踐性強，其等效電路的參數Uoc與Ro可以直接測得。自己動手：戴維南等效電路參數的測定（每人一塊安全電壓線路板，一塊萬用表）。圖2.29自己動手1.測定有源二端網絡的開路電壓Uoc，如圖2.29所示，開關Q打開，用電壓表測出A、B兩端的電壓U1，即為有源二端網絡的開路電壓

UOC=U12.測定內阻Ro，如圖2.29所示，開關Q閉合，再用電壓表測出接上負載后A、B兩端的電壓U2。任務2.3熱能的計算（焦耳—楞次定律）電壓使導體內電荷在電場力作用下定向運動，不斷與原子發生碰撞而產生熱量，并使導體溫度升高，電能轉化為熱能，這種現象叫做電流的熱效應，其原因是導體有電阻。由于電阻元件是耗能元件，它吸收功率常會引起溫度的升高。英國物理學家焦耳和俄國科學家楞次各自做了大量的實驗，證明了這種電流的熱效應現象，焦耳和楞次指出：電流流過導體產生的熱量Q與電流I的平方成正比，與導體的電阻R成正比，與通電的時間t

成正比。人們稱它為焦耳—楞次定律，即

Q=I2Rt或Q=IUt，Q=U2(2.13)上式中電流的單位為安培(A)，電壓的單位為伏特(V)，電阻的單位為歐姆(Ω)，時間的單位為秒(s)，則熱量的單位是焦耳(J)。應當注意，焦耳—楞次定律只適用于純電阻電路，此時電流所做的功W將全部轉變成熱量Q，即Q＝U2t/R如果不是純電阻電路，如電路中還包含有電動機、電解槽等用電器，那么，電能除部分轉化為內能使溫度升高外，還要轉化為機械能、化學能等其他形式的能，這時，電功仍等于IUt，生成的熱量也仍等于I2Rt，只是IUt>I2Rt，在這種情況下，不能再用I2Rt或U2

來計算電功了。電流的熱效應有廣泛的應用，如電爐、電烙鐵、電烘箱等電熱設備就是利用電流的熱效應來產生足夠的熱量；白熾燈則是通過使鎢絲發熱到白熾狀態而發光。但電流的熱效應在很多情況下也是有害的，例如電動機、變壓器等在運行中會使通電導線溫度升高，加速絕緣材料的老化變質，導致漏電，甚至燒毀設備等等，所以應想方設法把產生的熱量及時散發出來，以延長設備的使用壽命。為了使電器元件和電器設備能長期安全工作，一般規定一個最高工作溫度。其工作溫度取決于熱量，而熱量是由電流、電壓或電功率決定的。因而在使用電器時，要首先了解電器設備銘牌上標出的各種額定值，使運行中的實際值不超過額定值。當通過電器設備的電流或所加的電壓超過額定值時，可能會造成電氣設備的損壞，反之，當通過電器設備的電流或所加的電壓比額定值小很多時，會使電氣設備工作不正常(如電壓過低，使電燈亮度不夠)，不能充分利用電器設備的工作能力。例2.12有一功率為2000W的電爐。問：10分鐘產生的熱量是多少?解：Q＝IUt＝Pt＝2000x10x60＝1.2x106J任務2.4電位的計算在電路分析中經常用到電位這一物理量。有時根據電路中某些點電位的高低直接來分析電路的工作狀態。在電路中任選一點(如圖2.30所示O點)為參考點，則某點(如A點)到參考點的電壓就叫做這一點的電位(相對于參考點)。用符號UA表示。可知UA＝UAO。圖2.30電位的計算自己動手：在下列兩種情況下，測量圖2.31所示電路中UA0和UBO

的電壓（每人一塊安全電壓線路板，一塊萬用表，已知：l.U=6V，此時小燈泡亮；2.U=一6V，此時小燈泡不亮。）圖2.31自己動手測量結果：l.U=6V燈亮時：UAO=6V，UB0=5.7V。2.U=一6V燈不亮時：UAO=一6V，UBO=0V。如果Uo=0V，則可以認為：只有當二極管正極電位UA大于二極管負極的電位UB時，電路中才有電流通過，燈泡亮；反之，電路中沒有電流通過，燈不亮。因此，根據電路中A點和B點電位大小就可以判斷二極管電路中有無電流。利用電路中一些點的電位來分析電路的工作情況，在電子電路中是十分有用的。電路中各點電位是相對的物理量，若不選定參考點，就無法確定各點的電位值。上述測量中，以O點為參考點，則A點和B點的電位分別為UA=6V，UB=5.7V。這里，參考點O的電位Uo=0V，因此參考點又稱為零電位點。零電位點可以任意選定，但一經選定其他各點電位的計算即以該點為準。如果換一個參考點，則各點電位也就不同，即電位隨參考點的選擇而變化。因此在電路中不指定參考點而談論各點的電位是沒有意義的。在工程中常選大地作為參考點，電子線路常取公共點或機殼作為電位的參考點，參考點電位為零伏。電位雖然是指某一點而言，但實際上是兩點之間的電壓，只不過這第二點是已規定了的，是指參考點。如上述測量中，UA實際上是指A點和O點之間的電壓。因此會計算電路中任意兩點的電壓，也就會計算電路中任一點的電位。要計算電路中某點的電位，就是從該點出發，沿著任意選定的一條路徑到零電位點，則該點的電位就等于這條路徑上全部電壓的代數和。具體方法和步驟用下面的例題來說明。例2.13在圖2.30中，已知R1=10Ω、R2=5Ω、R3=3Ω、R4=2Ω；Us1=13V、Us2=6V；I1=0.8A、I2=1A、I3=0.2A。求：A、B、C各點的電位。解：各支路電流參考方向和電源電壓參考極性如圖2.30所示。1.選取O點為參考點，即Uo=0V。2.C點的電位：可選定C→Us1→O這條最簡單的路徑，由于只經過電源Us1，顯然UC=Us1=13V。3.B點的電位：選取路徑B→R2→O，得

UB=I2R2=1×5=5V4.A點的電位：選取路徑A→Us2→R4→O，得UA=Us2－I3R4=6－0.2×2=5.6V注意：參考點選定以后，電路中各點電位就有了確定的值，但該電位值與計算時所選擇的路徑無關。因此，例2.13中A、B、C三點電位也可以經過其他路徑計算，結果完全相同。例如A點電位可通過三條不同的路徑來求出：

UA=Us2－I3R4=I3R3＋I2R2=I3R3－I1R1

＋Us1=5.6V從例2.13中還可以看出，電路中兩點電壓就等于該兩端點的電壓之差，如UCB=UC－UB=UC0－UB0=13－5=8V從上述分析也可以看出，電路中兩點電壓