2021-2022高考數學模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．2019年10月1日，中華人民共和國成立70周年，舉國同慶.將2,0,1,9,10這5個數字按照任意次序排成一行，拼成一個6位數，則產生的不同的6位數的個數為A．96 B．84 C．120 D．3602．復數，是虛數單位，則下列結論正確的是A． B．的共軛復數為C．的實部與虛部之和為1 D．在復平面內的對應點位于第一象限3．已知集合．為自然數集，則下列表示不正確的是（）A． B． C． D．4．已知定義在上函數的圖象關于原點對稱，且，若，則（）A．0 B．1 C．673 D．6745．已知向量，滿足||＝1，||＝2，且與的夾角為120°，則＝（）A． B． C． D．6．已知數列，，，…，是首項為8，公比為得等比數列，則等于（）A．64 B．32 C．2 D．47．設復數滿足為虛數單位)，則（）A． B． C． D．8．已知函數，若曲線上始終存在兩點，，使得，且的中點在軸上，則正實數的取值范圍為（）A． B． C． D．9．已知向量，則向量在向量方向上的投影為（）A． B． C． D．10．設為自然對數的底數，函數，若，則()A． B． C． D．11．我國南北朝時的數學著作《張邱建算經》有一道題為：“今有十等人，每等一人，宮賜金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中間四人未到者，亦依次更給，問各得金幾何？”則在該問題中，等級較高的二等人所得黃金比等級較低的九等人所得黃金（）A．多1斤 B．少1斤 C．多斤 D．少斤12．已知函數，則不等式的解集為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，養殖公司欲在某湖邊依托互相垂直的湖岸線、圍成一個三角形養殖區.為了便于管理，在線段之間有一觀察站點，到直線，的距離分別為8百米、1百米，則觀察點到點、距離之和的最小值為______________百米.14．已知點是雙曲線漸近線上的一點，則雙曲線的離心率為_______15．設為數列的前項和，若，則____16．將一顆質地均勻的正方體骰子（每個面上分別寫有數字1，2，3，4，5，6）先后拋擲2次，觀察向上的點數，則點數之和是6的的概率是___．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，，分別為內角，，的對邊，且.（1）證明：；（2）若的面積，，求角.18．（12分）已知函數與的圖象關于直線對稱.（為自然對數的底數）（1）若的圖象在點處的切線經過點，求的值；（2）若不等式恒成立，求正整數的最小值.19．（12分）已知直線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求直線的普通方程及曲線的直角坐標方程；（2）設點，直線與曲線交于兩點，求的值.20．（12分）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，．求C；若，求，的面積21．（12分）如圖，直線y=2x-2與拋物線x2=2py(p>0)交于M1,M2兩點，直線y=p2與（1）求p的值；（2）設A是直線y=p2上一點，直線AM2交拋物線于另一點M3，直線M1M22．（10分）某貧困地區幾個丘陵的外圍有兩條相互垂直的直線型公路，以及鐵路線上的一條應開鑿的直線穿山隧道，為進一步改善山區的交通現狀，計劃修建一條連接兩條公路和山區邊界的直線型公路，以所在的直線分別為軸，軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，山區邊界曲線為，設公路與曲線相切于點，的橫坐標為.（1）當為何值時，公路的長度最短?求出最短長度；（2）當公路的長度最短時，設公路交軸，軸分別為，兩點，并測得四邊形中，，，千米，千米，求應開鑿的隧道的長度.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

2,0,1,9,10按照任意次序排成一行，得所有不以0開頭的排列數共個，其中含有2個10的排列數共個，所以產生的不同的6位數的個數為.故選B．2．D【解析】

利用復數的四則運算，求得，在根據復數的模，復數與共軛復數的概念等即可得到結論．【詳解】由題意，則，的共軛復數為，復數的實部與虛部之和為，在復平面內對應點位于第一象限，故選D．【點睛】復數代數形式的加減乘除運算的法則是進行復數運算的理論依據,加減運算類似于多項式的合并同類項,乘法法則類似于多項式乘法法則，除法運算則先將除式寫成分式的形式,再將分母實數化，其次要熟悉復數相關基本概念，如復數的實部為、虛部為、模為、對應點為、共軛為．3．D【解析】

集合．為自然數集，由此能求出結果．【詳解】解：集合．為自然數集，在A中，，正確；在B中，，正確；在C中，，正確；在D中，不是的子集，故D錯誤．故選：D．【點睛】本題考查命題真假的判斷、元素與集合的關系、集合與集合的關系等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．4．B【解析】

由題知為奇函數，且可得函數的周期為3，分別求出知函數在一個周期內的和是0，利用函數周期性對所求式子進行化簡可得.【詳解】因為為奇函數，故；因為，故，可知函數的周期為3；在中，令，故，故函數在一個周期內的函數值和為0，故.故選：B.【點睛】本題考查函數奇偶性與周期性綜合問題.其解題思路：函數的奇偶性與周期性相結合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內求解．5．D【解析】

先計算，然后將進行平方，，可得結果.【詳解】由題意可得：∴∴則.故選：D.【點睛】本題考查的是向量的數量積的運算和模的計算，屬基礎題。6．A【解析】

根據題意依次計算得到答案.【詳解】根據題意知：，，故，，.故選：.【點睛】本題考查了數列值的計算，意在考查學生的計算能力.7．B【解析】

易得，分子分母同乘以分母的共軛復數即可.【詳解】由已知，，所以.故選：B.【點睛】本題考查復數的乘法、除法運算，考查學生的基本計算能力，是一道容易題.8．D【解析】

根據中點在軸上，設出兩點的坐標，，（）.對分成三類，利用則，列方程，化簡后求得，利用導數求得的值域，由此求得的取值范圍.【詳解】根據條件可知，兩點的橫坐標互為相反數，不妨設，，（），若，則，由，所以，即，方程無解；若，顯然不滿足；若，則，由，即，即，因為，所以函數在上遞減，在上遞增，故在處取得極小值也即是最小值，所以函數在上的值域為，故.故選D.【點睛】本小題主要考查平面平面向量數量積為零的坐標表示，考查化歸與轉化的數學思想方法，考查利用導數研究函數的最小值，考查分析與運算能力，屬于較難的題目.9．A【解析】

投影即為，利用數量積運算即可得到結論.【詳解】設向量與向量的夾角為，由題意，得，，所以，向量在向量方向上的投影為.故選：A.【點睛】本題主要考察了向量的數量積運算，難度不大，屬于基礎題.10．D【解析】

利用與的關系，求得的值.【詳解】依題意，所以故選：D【點睛】本小題主要考查函數值的計算，屬于基礎題.11．C【解析】設這十等人所得黃金的重量從大到小依次組成等差數列則由等差數列的性質得，故選C12．D【解析】

先判斷函數的奇偶性和單調性，得到，且，解不等式得解.【詳解】由題得函數的定義域為.因為，所以為上的偶函數，因為函數都是在上單調遞減.所以函數在上單調遞減.因為，所以，且，解得.故選：D【點睛】本題主要考查函數的奇偶性和單調性的判斷，考查函數的奇偶性和單調性的應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

建系，將直線用方程表示出來，再用參數表示出線段的長度，最后利用導數來求函數最小值.【詳解】以為原點，所在直線分別作為軸，建立平面直角坐標系，則.設直線，即，則，所以，所以，，則，則，當時，，則單調遞減，當時，，則單調遞增，所以當時，最短，此時.故答案為：【點睛】本題考查導數的實際應用，屬于中檔題.14．【解析】

先表示出漸近線，再代入點，求出，則離心率易求.【詳解】解：的漸近線是因為在漸近線上，所以，故答案為：【點睛】考查雙曲線的離心率的求法，是基礎題.15．【解析】

當時，由，解得，當時，，兩式相減可得，即，可得數列是等比數列再求通項公式.【詳解】當時，，即，當時，，兩式相減可得，即，即，故數列是以為首項，為公比的等比數列，所以.故答案為：【點睛】本題考查數列的前項和與通項公式的關系，還考查運算求解能力以及化歸與轉化思想，屬于基礎題.16．【解析】

先求出基本事件總數6×6＝36，再由列舉法求出“點數之和等于6”包含的基本事件的個數，由此能求出“點數之和等于6”的概率．【詳解】基本事件總數6×6＝36，點數之和是6包括共5種情況，則所求概率是．故答案為【點睛】本題考查古典概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意列舉法的合理運用．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）見解析；（2）【解析】

（1）利用余弦定理化簡已知條件，由此證得（2）利用正弦定理化簡（1）的結論，得到，利用三角形的面積公式列方程，由此求得，進而求得的值，從而求得角.【詳解】（1）由已知得，由余弦定理得，∴.（2）由（1）及正弦定理得，即，∴，∴，∴.，∴，，.【點睛】本小題主要考查余弦定理、正弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，考查化歸與轉化的數學思想方法，考查運算求解能力，屬于中檔題.18．（1）e；（2）2.【解析】

（1）根據反函數的性質，得出，再利用導數的幾何意義，求出曲線在點處的切線為，構造函數，利用導數求出單調性，即可得出的值；（2）設，求導，求出的單調性，從而得出最大值為，結合恒成立的性質，得出正整數的最小值.【詳解】（1）根據題意，與的圖象關于直線對稱，所以函數的圖象與互為反函數，則,，設點，，又，當時，，曲線在點處的切線為，即，代入點，得，即，構造函數，當時，，當時，，且，當時，單調遞增，而，故存在唯一的實數根.（2）由于不等式恒成立，可設，所以，令，得.所以當時，；當時，，因此函數在是增函數，在是減函數.故函數的最大值為.令，因為，，又因為在是減函數.所以當時，.所以正整數的最小值為2.【點睛】本題考查導數的幾何意義和利用導數解決恒成立問題，涉及到單調性、構造函數法等，考查函數思想和計算能力.19．（1）；（2）【解析】

（1）直接利用轉換關系的應用，把參數方程極坐標方程和直角坐標方程之間進行轉換.（2）利用（1）的結論，進一步利用一元二次方程根和系數的關系式的應用求出結果.【詳解】解：（1）直線的參數方程為（為參數），轉換為直角坐標方程為.曲線的極坐標方程為.轉換為，轉換為直角坐標方程為.（2）直線的參數方程為（為參數），轉換為標準式為（為參數），代入圓的直角坐標方程整理得，所以，..【點睛】本題屬于基礎本題考查的知識要點：主要考查極坐標，參數方程與普通方程互化，及求三角形面積．需要熟記極坐標系與參數方程的公式，及與解析幾何相關的直線與曲線位置關系的一些解題思路．20．(1)．(2)．【解析】

由已知利用正弦定理，同角三角函數基本關系式可求，結合范圍，可求，由已知利用二倍角的余弦函數公式可得，結合范圍，可求A，根據三角形的內角和定理即可解得C的值．由及正弦定理可得b的值，根據兩角和的正弦函數公式可求sinC的值，進而根據三角形的面積公式即可求解．【詳解】由已知可得，又由正弦定理，可得，即，，，，即，又，，或舍去，可得，．，，，由正弦定理，可得，，．【點睛】本題主要考查了正弦定理，同角三角函數基本關系式，二倍角的余弦函數公式，三角形的內角和定理，兩角和的正弦函數公式，三角形的面積公式等知識在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．21．（1）p=4；（2）OA?【解析】試題分析：（1）聯立直線的方程和拋物線的方程y=2x-2x2=2py，化簡寫出根與系數關系，由于直線y=p2平分∠M1FM2，所以kM1F+kM2F=0，代入點的坐標化簡得4-(2+p2)?x試題解析：（1）由y=2x-2x2=2py設M1(x1,因為直線y=p2平分∠M所以y1-p所以4-(2+p2)?x1+x（2）由（1）知拋物線方程為x2=8y，且x1+x設M3(x3,x328所以x2+x整理得：x2由B,M3,②式兩邊同乘x2得：x即：16x由①得：x2x3即：16(x2+所以OA?考點：直線與圓錐曲線的位置關系.【方法點晴】本題考查直線與拋物線的位置關系.閱讀題目后明顯發現，所有的點都是由直線和拋物線相交或者直線與直線相交所得.故第一步先聯立y=2x-2x2=2py，相當于得到M1,M2的坐標，但是設而不求.根據直線y=p222．（1）當時，公路的長度最短為千米；（2）（千米）.【解析】

（1）設切點的坐標為，利用導數的幾何意義求出切線的方程為，根據兩點間距離得出，構造函數，利用導數求出單調性，從而得出極值和最值，即可得出結果；（2）在中，由余弦定理得出，利用正弦定