初等數學（方法）研究

石家莊學院數信系孫慶利TELmail：1311727576@課程簡介《初等數學（方法）研究》主要包括初等代數和初等幾何兩部分內容，它是一門古老而又充滿生命力的學科，是師范院校數學教育專業的必修課程。本課程比較系統地闡述了初等數學的基礎理論，其中包括集合與邏輯、數與式的理論及方法、函數、方程與不等式的理論及方法、幾何變換、幾何推理論證的理論與方法、排列組合與概率統計初步以及中學數學解題策略等內容。為密切聯系中學教學實際，本課程配置了與中學數學教學、中學生數學競賽題相吻合的例題與習題，并在內容、形式上略作提高。例題分析，著重揭示初等代數與初等幾何問題中所蘊含的數學思想及通性通法，以提高用數學的思想方法分析問題、解決問題的能力。參考書目1趙振威,章士藻，《初等代數研究》，華東師大出版社,2008年印。2趙振威,章士藻，《初等幾何研究》，華東師大出版社，2008年印。3余元希編著，《初等代數研究》，高等教育出版社,2010年印。4李長明,周煥山，《初等數學研究》，高等教育出版社，2007年印。數學是研究數與形的關系的一門學科，它是以解決客觀世界的事物的內在邏輯聯系的“問題”為主要目的．在這個意義上來講，探索解決數學問題的解題規律及解題方法就是十分重要的．通過對數學形態的內在基本結構的分析和研究，從而順利地解決問題，對提高我們的數學思維方式及解決問題的能力都有十分重要的意義．數學的內容就是由一種形態與另一種形態的對比和關系的轉化（化歸）．要解決好一個數學問題，首要的是要對一個數學問題構成的結構要先有充分的認識，再熟知一些推演關系的基本手段及方法．其次，要善于把問題的假設和結論溝通起來，借助已有的（盡可能多的）數學知識和數學理論，從而順利地解決問題．解決問題有“通法”和“技巧”，但我們一定要知道“巧”不是解題的大道，只是一條捷徑，而捷徑不是處處都有的．只有練好解題的基本功，則解題的捷徑也就不難找到．要掌握解題的通法，必須要知道一些數學形態的“通性”，即它的內部結構及這些結構的邏輯聯系、演化規律．每一種典型的基本結構在數學形態中的作用以及處理它的一些常見的數學方法和數學知識．解題能力的大小，就是你擁有的這種數學知識的體現．它就像要給人治病，必須先了解人體的各部分組成的器官和構成器官的細胞和它們的生命作用．只有這樣練好了基本功，就會得到解題的通法，找到處理數學問題的“大道”．總之，通過對數學問題的基本結構進行深入的分析，對各種基本結構彼此關聯的本質進行探索，掌握好處理數學問題的一般的數學思維方式和方法，才能達到掌握解決問題的本領．把初等數學作為一個系統，用“結構”的觀點來進行分析研究。第一講元的認識---主元及常用的元第二講數系的擴充與數學歸納法第三講關于解析式理論的一些問題及方法第四講關于函數的思想與方法第五講關于方程與不等式第六講關于幾何證明與推理第七講關于幾何量計算的有關問題第一講元的認識內容簡介：

代數一個主要內容是對數符、字符和運算符組合成的代數式進行研究，通過運算、恒等變形、轉換形式及數理的邏輯推演，從而達到對客觀世界的自然形態的認識和變化規律的認知，使人類改造世界的目標得以實現；初等數學中，代數的基本內容主要是對數的認識、式子的恒等變形的技巧訓練、方程的求解、函數觀點的確定、不等量的比較等；它對學者有一個最基本的要求就是要建立對“基元”的認識．下面舉例說明：元的認識---換元法思想

1、解數學問題時，如果直接解決原問題有困難，或原問題不易下手，或由原問題的條件難以直接得出結論時，往往需要引入一個或若干個“新元”代換問題中原來的“元”，使以“新元”為基礎的問題求解比較容易，解決以后將結果恢復為原來的元，即可得原問題的結果。這種解決問題的方法稱為換元法。又稱變量代換法或輔助元素法。2、換元的實質就是轉化，它是用一種變數形式去取代另一種變數形式，使問題得到簡化的一種解題方法。換元法的基本思想是通過變量代換，使原問題化繁為簡、化難為易，使問題發生有利的轉化，從而達到解決問題的目的。換元法是數學中經常采用的基本方法之一。3、利用換元法的關鍵在于適當地選擇“新元”，引進適當的代換，找到較容易的解題思路，能使問題簡化。或把未知問題轉化為已知問題，把復雜問題轉化為簡單問題，把不熟悉的問題轉化為熟悉的問題。

例9

分解因式

解:設

原式

例10在實數域內分解因式解一：令原式=解二：令原式=思考：例11：求證任意四個連續自然數的乘積再加上1是一個完全平方數。分析證明：設任意四個連續的自然數最小的為x由題意：x(x+1)(x+2)(x+3)+1主元及常用的元在一個數學形態中，可作元的基本結構可能不止一個，有些元是明確的，有的元是模糊的；有的元處于主導地位，有的元處于從屬地位；有些元互相關聯，有些元之間關系不太明朗；所以在應用方面技巧性強，比較靈活．處理相關問題時，要留心觀察，認真比較，仔細分析，反復思考，在一個問題的眾多元中，選擇主元十分重要，根據問題的結構關系等特征，解決問題采用的變形手段也是有一定的規律可遵循的．例12分解因式解一：注意到觀察原式可設原式=為待定系數。故，原式=展開上式，原式=由多項式恒等定理知：解二：a2a-(2b-1)b-3例13在實數集內解方程解:原方程可化為:

①

則方程①化為:

解方程②,得

②經檢驗,知它們都是原方程的解。

例14如果實數滿足那么的最大值是多少？

解：令（比值換元）代入原式化簡得:解得:所以,的最大值是例15若解：（均值換元）則例16

已知且，求證：。分析一：由代入消元可以求解。分析二：對比上