202３年版博士資格考試大綱考試時間：１50分鐘分析學(1０0分,三門中選二門)復分析(50分)Cａuｃｈｙ積分理論Weiｅrｓtｒａss級數理論解析延拓Rｉeｍann的幾何理論正規族理論Ｒiemanｎ映射定理及邊界相應原理5分式線性變換群和特殊區域的解析自同胚群6Sｃhwarz引理(ａ)Schwarz-Ｐick－Ahlfors定理（b）Poinｃarｅ度量７Riemaｎn曲面的基本理論（a)Riemanｎ曲面的概念(b)虧格和Riｅmanｎ-Roch定理(c)緊Rieｍａnn曲面的分類實分析（5０分)Fouｒieｒ變換函數的Fourｉeｒ變換Schwaｒtｚ函數與緩增分布Planchｅrel公式，函數的Fourｉｅr變換收斂與求和,Poissoｎ核、Gａｕｓｓ核Ｈａｒdｙ-Lｉｔtlｅwｏoｄ極大函數恒等逼近Mａrcｉnkiewｉcz插值定理Ｈardy-Litｔlewoｏd極大函數奇異積分Ｈilberｔ變換Rｉesz變換卷積型奇異積分算子一般（非卷積型)Calderoｎ-Zygmund算子Hardy空間與ＢMO空間原子Hａrdy空間BMO空間Litｔｅｗooｄ-Ｐaｌey理論與乘子Lｉｔteｗｏod－Palｅy理論H?rｍaｎdeｒ乘子定理泛函分析（５０分)Ｂａｎach空間和Hilbeｒt空間的基本理論及典型例子Ｂaｎａch空間和Ｈｉlｂeｒｔ空間上有界線性泛函和線性算子基本理論緊算子Riesz-Frｅdholｍ理論緊算子的基本性質,譜理論對稱緊算子有界自伴算子的譜分解閉算子的理論（f）自伴擴張（g）無界自伴算子的擾動算子半群Hille-Yｏsidａ定理單參數算子酉群的Stoｎe定理參考書目:【１】Ahlfoｒs:ComplexAnaｌysｉs.McGｒａw－HillBoｏkCoｍｐany【2】伍鴻熙等:緊Ｒiｅmann曲面引論科學出版社【3】J．Dｕｏanｄikoeｔｘea,Fourieranaｌysis，Ameｒ.Matｈ.Soc.;【4】程民德，鄧東皋，龍瑞麟編著,實分析,高等教育出版社.【5】張恭慶,林源渠等：泛函分析講義上,下冊【6】Yｏsｉda：FunctiｏnａlAnａｌysiｓＳpringｅr－Verｌaｇ;)二．代數學（100分)群１群,子群，正規子群,商群;同態與同構,同態定理與同構定理.群例:循環群,二面體群,四元數群，置換群,線性群,＄A＿n＄,$Ｓ_ｎ$．自由群,生成元與定義關系.群在集合上的作用;Sylow定理和群.Ｊordaｎ-Ｈｏldｅr定理,直積分解定理.可解群.算子群.特殊射影線性群的單性．空間上的型與典型群.辛群.環環，子環,抱負,商環;同態與同構,同態定理與同構定理.環的直和.素抱負和極大抱負,冪零根和Jacobsｏｎ根.環的整除性理論,唯一分解環,主抱負整環,歐幾里得環.整環的分式域．互換環上的多項式環,Gauｓs引理.形式冪級數環.四元數體.域有限擴張,擴張次數乘積公式.多項式的分裂域，正規擴張.可分擴張．單擴張定理.Ｇaloｉs基本定理,簡樸的Ｇａlois擴張.用根式解方程的判別準則．有限域.模模,子模，商模;模同態與同構,模同態定理與同構定理.模的自同態環.模的直和與直積.自由模.主抱負整環上的有限生成模的結構定理.Nａｋａyａma引理.模的張量積.同態函子和張量函子整性相關．結合代數和有限群的表達論代數和模.不可約模和完全可約模.半單代數的結構.群的表達、特性標、正交關系、特性標表.初等數論1.算術基本定理?２.數論函數?３.孫子定理?4.二次互反律

５.連分數

６．Pell方程參考書目【１】聶靈沼,丁石孫，《代數學引論》，高等教育出版社，20２３．【2】徐明曜，趙春來,《抽象代數(II)》,,北京大學出版社【3】N．Ｊacobｓｏｎ:BasｉｃＡｌgebrａ１,2ndEditｉonＷ.Ｈ.Fｒeeｍａn&Ｃompany1９７4【4】柯斯特利金:代數學引論(第一卷)高等教育出版社【5】潘承洞，潘承彪：初等數論,第二版,北京大學出版社，2023三.幾何與拓撲（100分，其中幾何與拓撲各50分)代數拓撲a)基本群與覆疊空間b)曲面的分類c)同調與上同調的理論、計算、常見例子和應用d)同倫群及其基本性質微分流形微分流形的概念切叢與向量叢橫截性理論微分形式，Stokes定理，deRhaｍ上同調微分幾何聯絡和曲率的基本概念Ｒｉemａｎｎ幾何的基本理論緊曲面上的Gauss－Bonｎｅt公式參考書目:尤承業著,《基礎拓撲學講義》。北京大學出版社，1９97.姜伯駒著，《同調論》。北京大學出版社，2023.陳省身、陳維桓著,《微分幾何講義》(第二版)。北京大學出版社,２023年。（第１章到第七章,附錄一)ＡlｌｅnＨａtcｈer,ＡlgｅbraicＴopoｌogｙ.CambｒidgeＵnｉv.Presｓ,202３.(略去占其一半篇幅的AddｉtionalＴｏpics部分)VictorGuillemin，AlａｎＰolｌaｃｋ,DifferｅntｉａlTopｏｌogy.Ｐｒentｉcｅ-Hall,1974.ＴhｅodorＢrockｅr,ＫlausJaｎicｈ,ＩntrｏduｃtｉonｔｏDiｆｆerenｔialTｏpｏloｇy.CambｒidgeUniv.Press,陳維桓李興校《黎曼幾何引論》（上)(第一到第六章)。四.微分方程（1０0分，常微偏微各5０分)常微分方程定性理論:線性方程(組）的解法,初次積分,冪級數解法,解的存在和唯一性定理,解的延拓和對參數及初值的依賴性，奇解與包絡,邊值問題,平面奇點分類與極限環，李雅普諾夫第二方法，Ｈopf分支,二維周期系統的調和解,擬線性系統,耗散系統，Ｄuｆfinｇ方程，環面上的常微系統，旋轉數，極限點集,各態歷經偏微分方程：數學物理方程位勢方程：基本解和Gｒeen函數,極值原理和最大模估計。熱方程:Fourier變換方法，分離變量法，極值原理和最大模估計。波動方程：特性線法，分離變量法，能量不等式。二階橢圓型方程廣義函數理論和Fｏurier變換基本理論Ｓobｏlｅv嵌入定理,理論(解的存在唯一性）。Ｓchauder估計的結論及應用。估計的結論及應用。參考書目:【1】丁同仁,李承治:《常微分方程》;【2】張芷芬等，《微分方程定性理論》第６、７章；【3】姜禮尚等，《數學物理方程講義》;【４】陳亞浙,吳蘭成,《二階橢圓型方程與橢圓型方程組》【５】D.Gｉlbarg,N．Ｓ．Trｕｄｉngｅr：EｌliptiｃＰartiａlＤiｆferenｔｉalEｑuaｔiｏnsoｆSecondOrder(Part１Liｎｅａrequatｉons),Sｐriｎgｅr世界圖書出版公司。【６】Ｈoｒmandｅr:Theａnａlyｓｉsoflｉneaｒpａｒtialdifｆerentialｏpｅratoｒs（第一卷)，Spriｎgｅr-Ｖerlａｇ,1983.五:概率論（1００分)《概率論》博士生資格考試涵蓋了研究生課程《高等概率論》和《隨機過程論》，前者以本科生課程《測度論》為基礎，后者是本科生課程《應用隨機過程》的后續課,因此隨機過程部分也包含難度較低的《應用隨機過程》的內容。測度論σ域，λ－π方法積分的性質,Levy單調收斂定理，Fａtｏｕ引理,Lｅbesguｅ控制收斂定理，積分的絕對連續性條件盼望，Radon-Nｉkodｙm導數,條件概率,正則條件概率乘積空間,Ｋolｍogorov延拓定理Fuｂｉni定理隨機變量四種收斂的定義及其互相關系概率論概率空間,隨機變量的獨立性歐氏空間的測度性質,弱收斂弱大數定律，Chebyshｅv不等式強大數定律，Borｅl－Cantelli引理隨機變量級數的收斂,Kｏlmogorov三級數定理中心極限定理,Linｄebｅrg－Feｌler定理Ｆｏuriｅr變換,特性函數，逆轉公式，Poiｓson收斂定理條件獨立尾事件,Kｏｌmｏｇorov0－1律，可互換序列隨機過程σ域流,停時,Wald引理鞅、上鞅、下鞅（離散時間）,Dooｂ不等式，一致可積,停時定理,Dooｂ分解馬氏鏈（離散狀態,離散時間或連續時間),一些特例（如隨機游動)，常返與非常返,平穩分布,漸近行為與收斂速度,可逆性與可逆分布寬平穩過程與嚴平穩過程,Bｉrkhoff遍歷定理，布朗運動的定義及其構造,強馬氏性，轉移概率，熱核OU過程,生成元與馬氏半群初步隨機微分方程初步參考書目：【1】RickDurrett,Ｐrｏｂaｂility:TｈeorｙaｎdExamplｅs,ThirdＥdｉtion,世界圖書出版社20２3【２】程士宏：《限度論與概率論基礎》北京大學出版社,２023【3】錢敏平龔光魯：《隨機過程論》第二版,北京大學出版社,１99７年【4】KaiLaiCｈung,ACourseｉnProbａｂiｌityTheory,2ndｅdiｔｉon，AcａdemｉcＰress１９74六計算方法(1０0分）（三門中選二)數值代數（50分)基礎知識向量范數和矩陣范數，Schｕr分解定理，奇異值分解定理，非負矩陣的Pｅrｒｏn-Frobeｎius定理，Hｅｒmite矩陣的極小、極大定理。線性方程組的直接解法Gausｓ消去法,Ｃhoｌesky分解法，對稱不定線性方程組的直接解法，線性方程組的條件數,條件數的估計和迭代改善。線性方程組的古典迭代法Ｊaｃｏｂi迭代法,Gausｓ-Sｅｉdeｌ迭代法,ＳOR迭代法,SSOR迭代法,收斂性分析(H矩陣和正定矩陣）,多項式加速（Chebyshev加速）。求解線性方程組的Ｋrylｏv子空間法共軛梯度法的基本性質,共軛梯度法的收斂性分析,預優共軛梯度法,Ｌａｎczｏs方法，廣義極小剩余法。參考書目:【１】.“數值線性代數”，徐樹方,高立，張平文編;【2】.“矩陣計算的理論與方法”，徐樹方編著。差分方法(50分）一．一般理論１.差分格式的構造方法；2.差分格式的局部截斷誤差及其相容性;3.差分格式的收斂性;4．差分格式的穩定性及ｖonＮeｕｍａnｎ條件；5.Lax等價定理；二．一階雙曲型方程的差分方法CFL條件；單個方程的迎風格式、Laｘ－Friedｒｉchs格式、Ｌax-Ｗendrofｆ格式;雙曲型方程組的特性分解及其ＣＩR迎風格式;間斷解的計算;（5）三.非線性雙曲型守恒律初值問題的差分方法守恒形格式及Lax-Ｗendroff定理;離散熵條件;Godｕnov格式;單個方程差分格式的非線性穩定性;單調格式與TVD、TＶB格式；半離散有限差分與有限體積格式;參考書目“NuｍeriｃalMethｏｄｓfｏrConservationLａws”,Ｒ.LeVeque;“偏微分方程初值問題差分方法”,胡祖熾,雷功炎著有限元方法（5０分）1.橢圓邊值問題的弱解;Lax－Milｇrａm引理；2．Rｉtｚ方法和Ｇaｌｅrkｉn方法;有限元解的提法;3.有限元方法的要素;４.有限元和有限元空間的基本定義與基本例子;有限元仿射族;５．有限元解的抽象誤差估計；Céa引理;Sｔrang引理(1,２）;Bｒａmbｌｅ-Ｈilbeｒt引理；6．插值函數的誤差估計、Soboｌev空間的插值理論；7．橢圓邊值問題有限元解的收斂性與誤差估計；8．Aｕbin-Niｔschｅ引理,L2-模誤差估計;9.反估計不等式。參考書目:【1】.《有限元方法講義》，應隆安,北京大學出版社，1９88；【２】．《ＴｈｅFiｎiｔeＥleｍeｎtＭethodfｏｒElｌipticProblｅｍｓ》，P.Ｇ.Cｉarlet（6)七高等記錄學（１００分)充足記錄量１.充足記錄量的定義與判別法;2.?完全性；３.?指數族分布中記錄量的完全性；4. 記錄判決問題和充足記錄量的優良性;假設檢查一般概驗；簡樸假設檢查問題、N-Ｐ引理；關于單調似然比族的檢查問題；最不利的分布；一致最優無偏檢查;帶討厭參數的指數分布族的參數的UMＰU檢查問題;不變檢查；估計 引言；無偏估計;信息不等式；同變估計(位置參數)；同變估計(一般情況)；風險無偏性;估計的大樣本性質相合性；漸近正態性；估計序列的大樣本比較;漸近有效性;局部漸近正態性;樣本中位數;L-估計；M-估計和R－估計參考書目:鄭忠國,《高等記錄學》,北京大學出版社，1998茆詩松，王靜龍，濮曉龍,《高等數理記錄》第二版，高等教育出版社，2023陳希孺，《數理記錄引論》,科學出版社,1997八算法和數據結構本門考試內容涉及算法設計與分析、數據結構和計算復雜性基礎。具體內容涉及：算法基礎算法的復雜性類:O(1),O(lｏgn),O(n),Ｏ(nlogn),Ｏ(n２),O（n3),O(2n)等等復雜性的基本分析技術復雜性的基本概念:漸進復雜性，平均復雜性，最壞情況復雜性，復雜性上界和下界,分期償還型(aｍortｉｚed)復雜性算法設計技術:貪心算法（grｅeｄyａlgｏritｈms）分治法（ｄiｖidｅandcoｎquer）動態規劃（dyｎａmicprogｒamｍiｎg）環游和回溯法(trａversａlａndbacktrack)分支限界法(bｒanchaｎdbound）經典算法排序(sｏｒt）和檢索（seaｒcｈ）算法及其數據結構支持重要圖算法:圖遍歷,拓撲排序,最小生成樹,最短途徑(單出發點和任意點之間），強連通子圖,關鍵途徑，網絡最大流等線性規劃(lｉneａrprogrａmｍiｎｇ）串匹配算法其他算法的概念并行算法概率算法數據結構數據結構和實現,抽象數據類型基本操作的復雜性線性表(連續