導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【例1】已知函數(shù)f(x)x22alnx.1）若函數(shù)f(x)的圖象在(2,f(2))處的切線斜率為1，求實(shí)數(shù)a的值；2）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（3）若函數(shù)g(x)2a的取值范圍.f(x)在[1,2]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)x【例2】已知函數(shù)f(x)1x2alnx(a0).2(1)若a2,求f(x)在(1,f(1))處的切線方程;(2)若f(x)在區(qū)間(1,e)上恰有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.【例3】設(shè)函數(shù)fxx1exkx2(其中kR).當(dāng)k1時(shí),求函數(shù)fx的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)當(dāng)k0，+時(shí)，函數(shù)fx在R上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．1x【例4】已知函數(shù)f(x)lnxax（1）當(dāng)a1時(shí)，求f(x)在[1,2]上的最小值；（2）若函數(shù)f(x)在[1,+2)上為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍；2（3）若關(guān)于x的方程1x2xlnx2mx0在區(qū)間1,e內(nèi)恰有兩個(gè)相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．e【例5】已知函數(shù)1a1(a0)f(x)lnxaxx(1)談?wù)揻(x)單調(diào)性(2)設(shè)g(x)x22bx4，當(dāng)a1時(shí)，若關(guān)于任意的x1(0,2)，存在x2[1,2]，使得4f(x1)g(x2），求實(shí)數(shù)b的取值范圍.【例6】已知函數(shù)f(x)2lnxaxa(aR).（1）談?wù)揻(x)的單調(diào)性；（2）若f(x)0恒成立，證明：當(dāng)0x1x2，f(x2)f(x1)2(11).x2x1x1【例7】已知函數(shù)f(x)1x2ax(a1)lnx，a12（1）談?wù)摵瘮?shù)的單調(diào)性？（2）證明：若a5，則對(duì)任意x1，x2(0,)，x1x2f(x1)f(x2)，有1x1x2【例8】已知函數(shù)f(x)x1lnx（1）求函數(shù)f(x)的最小值；1111求證：當(dāng)nN*23nn1.（2）時(shí)，e【例9】已知fxxlnx,gxx3ax2x2求函數(shù)fx的單調(diào)區(qū)間;求函數(shù)fx在t,t2t0上的最小值;(3)對(duì)所有的x0,,2fxg'x2恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參照答案【例1】（1）f'(x)2a2x22a1,解得a32x，由已知f'(2)xx2(x3)(x3)（2）f'(x)xx,f'(x),f(x)的變化情況以下列圖f(x)的減區(qū)間為(0,3)，遞加區(qū)間為(3,)由g(x)2x22alnx,g'(x)xg'(x)0在區(qū)間[1,2]恒成立，即令h(x)1x2，h'(x)1xx27a2

22x2a,由g(x)在區(qū)間[1,2]為減函數(shù)知，x2xa1x2在區(qū)間[1,2]上恒成立x172x0h(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù)h(x)min422【例2】剖析：（1）a2,f(x)1x22lnx,f'(x)x2,f'(1)1,f(1)12x2f(x)在(1,f(1))處的切線方程為2x2y30ax2a，由a0及定義域?yàn)?0,)令f'(x)0得xa（2）由f'(x)xxx【例3】gtet2t,g(t)et2．t2,gt0,gt在2,上單增，【例4】剖析：（1）當(dāng)a1f(x)111x1lnx1，f'(x)xx2x2，x于是，當(dāng)x在[1,2]上變化時(shí)，f'(x),f(x)的變化情況以下表：2x1（1，1）1（1,2）222f'(x)－0＋f(x)1ln2極小值01單調(diào)遞減單調(diào)遞加ln22【例5】【例6】【例7】剖析:(1)f(x)的定義域?yàn)?0,)。f'(x)xaa1x2axa1(x1)(x1a)xxx（i）若a11即a2,則f'(x)(x1)2故f(x)在(0,)單調(diào)增加。x(ii)若a11而a1,故1a2則當(dāng)x(a1,1)時(shí)，f'(x)0;,,當(dāng)x(0,a1)及x(1,)時(shí)，f'(x)0故f(x)在(a1,1)單調(diào)減少，在(0,a1),(1,)單調(diào)增加。(iii)若a11,即a,f(x)在(1,a1)單調(diào)減少，在(0,1),(a1,)單調(diào)增加.2同理可得(II)考慮函數(shù)g(x)f(x)x1x2ax(a1)lnxx2則g(x)x(a1)a12xga1(a1)1(a11)2xx由于1<a<5,故g(x)0，即g(x)在(4,+∞)單調(diào)增加，從而當(dāng)x1x20時(shí)有g(shù)(x1)g(x2)0，即f(x1)f(x2)x1x20，故f(x1)f(x2)，當(dāng)0x1x2時(shí)，有x11x2f(1x)f2(x)2f(1x)1f(x)x1x2x2x1【例8】【例9】(1)f'(x)lnx1,令f'x0,解得0x1,efx的單調(diào)遞減區(qū)間是0,1;e令f'x0,解得x1,efx的單調(diào)遞減區(qū)間是1,.e(2)(ⅰ)0<t<t+2<1，t無(wú)解；e(ⅱ)0<t<1<t+2，即0<t<1時(shí)，f(x)minf(1)1；eeee1tt2，即t1時(shí)，f(x)在[t,t2]單調(diào)遞加，(ⅲ)ee-10t1f(x)minf(t)tlntee，f(x)mint1tlnte(3)由題意:2xlnx3x22ax12在x0,上恒成立即2xlnx322ax1x可