04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering1自動控制原理

（第17講）

§5.線性系統的頻域分析與校正

§5.1頻率特性的基本概念

§5.2幅相頻率特性（Nyquist圖）

§5.3對數頻率特性（Bode圖）

§5.4頻域穩定判據

§5.5穩定裕度

§5.6利用開環頻率特性分析系統的性能

§5.7閉環頻率特性

04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering204二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering3頻率特性小結頻率特性與傳遞函數：幅頻特性、相頻特性和實頻特性、虛頻特性之間具有下列關系：04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering4典型環節G(s)=k比例環節G(s)=s微分環節積分環節一階微分二階微分慣性環節振蕩環節G(s)=Ts+104二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering5§5.2幅相頻率特性(Nyquist)（1）

§5.2幅相頻率特性（Nyquist圖）§5.2.1典型環節的幅相頻率特性⑴比例環節⑵微分環節⑶積分環節⑷慣性環節04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering620854210.50慣性環節G(jω)G(s)=0.5s+11j01Im[G(jω)]Re[G(jω)]0°1-14.5°0.97-26.6°0.89-45°0.710.45 0.37 0.24 0.1-63.4°-68.2°-76°-84°04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering7§5.2幅相頻率特性(Nyquist)（2）

§5.2.1典型環節的幅相頻率特性證明：慣性環節的幅相特性為半圓（下半圓）04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering8§5.2幅相頻率特性(Nyquist)（3）

幅相特性例3系統的幅相曲線如圖半圓線，求系統的傳遞函數。由曲線形狀有由起點：由j0：由j1：04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering9§5.2幅相頻率特性(Nyquist)（4）

⑸一階復合微分不穩定慣性環節04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering10§5.2幅相頻率特性(Nyquist)（5）

⑹振蕩環節§5.2.1典型環節的幅相頻率特性04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering11振蕩環節G(jω)曲線（Nyquist曲線）0j104二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering12§5.2幅相頻率特性(Nyquist)（6）

諧振頻率wr

和諧振峰值Mr

例4:當，時04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering13§5.2幅相頻率特性(Nyquist)（7）

幅相特性例5系統的幅相曲線如圖所試，求傳遞函數。由曲線形狀有由起點：由j(w0)：由|G(w0)|：04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering14§5.2幅相頻率特性(Nyquist)（8）

不穩定振蕩環節04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering15§5.2幅相頻率特性(Nyquist)（10）

⑺二階復合微分04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering16開環系統的幅相頻率特性（1）

例6起點

終點低頻段的頻率特性與系統型數有關，高頻段的頻率特性與n-m有關。04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering17[具有積分環節的系統的頻率特性的特點]：頻率特性可表示為：其相角為：當時，當時，

顯然，低頻段的頻率特性與系統型數有關，高頻段的頻率特性與n-m有關。04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering18下圖為0型、Ⅰ型和Ⅱ型系統在低頻和高頻段頻率特性示意圖：（0型）（Ⅰ型）（Ⅱ型）低頻段頻率特性n-m=3n-m=1n-m=2高頻段頻率特性至于中頻部分，可計算一些特殊點的來確定。如與坐標的交點等。04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering19開環系統的幅相頻率特性（2）

例704二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering20開環系統的幅相頻率特性（3）

例8，畫G(jw)曲線。解漸近線：與實軸交點：04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering21典型環節相角小結(補充)G(s)=s微分環節積分環節一階微分二階微分慣性環節振蕩環節G(s)=Ts+1G(s)=s1G(s)=Ts+11恒定正90o恒定負90o0o~+90o0o~-90o0o~90o~180o0o~-90o~-180o04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering22非最小相角環節相角小結G(s)=k(k<0)G(s)=-Ts+1G(s)=-Ts+11不穩定的不穩定的不穩定的不穩定的比例環節一階微分慣性環節二階微分振蕩環節名稱G(s)恒定-180o0o~-90o0o~+90o0o~-180o0o~+180o04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering23延遲環節（Nyquist圖）10-104二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering24

可見，其幅頻特性與慣性環節相同，而相頻特性則大不一樣，隨著ω的增大，相角滯后越來越大。系統開環幅相曲線為一螺旋線。圖中藍色線所示是時滯的5階pade近似。-1.5-1-0.500.511.52-1.5-1-0.500.511.5延遲環節（TransportLag）

（Nyquist圖）04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering25延遲環節取不同的k

[a,b]=pade(5,k),n=conv(8,a);d=conv([143],b);nyquist(n,d)04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering26開環系統極坐標頻率特性的繪制（繪制奈氏圖）

開環系統的頻率特性或由典型環節的頻率特性組合而成，或是一個有理分式，不論那種形式，都可由下面的方法繪制。

使用MATLAB工具繪制。

將開環系統的頻率特性寫成或 的形式，根據不同的算出或可在復平面上得到不同的點并連之為曲線。（手工畫法）。[繪制方法]：04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering27[例5-1]設開環系統的頻率特性為：試列出實頻和虛頻特性的表達式。當繪制奈氏圖。解：當時，

找出幾個特殊點（比如，與實、虛軸的交點等），可大致勾勒出奈氏圖。為了相對準確，可以再算幾個點。04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering280-1.72-5.7700-0.7903.8510.80.20相角：-180-114.62-90-56.3100.80.20用上述信息可以大致勾勒出奈氏圖。04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering29下圖是用Matlab工具繪制的奈氏圖。04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering30[例5-2]設開環系統的頻率特性為：試繪制極坐標特性曲線。[解]：[分析]1、當時，顯然，當時，的漸近線是一條通過實軸點，且平行于虛軸的直線。2、與實軸的交點。令：，解得：，這時：3、當時，，漸近線方向向下。04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering31本次課程作業5—1,2，4自動控制原理04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering32自動控制原理

（第18講）

§5.線性系統的頻域分析與校正

§5.1頻率特性的基本概念

§5.2幅相頻率特性（Nyquist圖）

§5.3對數頻率特性（Bode圖）

§5.4頻域穩定判據

§5.5穩定裕度

§5.6利用開環頻率特性分析系統的性能

§5.7閉環頻率特性曲線的繪制

§5.8利用閉環頻率特性分析系統的性能

§5.9頻率法串聯校正

04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering330型、Ⅰ型和Ⅱ型系統在低頻和高頻段頻率特性示意圖：（0型）（Ⅰ型）（Ⅱ型）低頻段頻率特性n-m=3n-m=1n-m=2高頻段頻率特性至于中頻部分，可計算一些特殊點的來確定。如與坐標的交點等。回顧04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering3404二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering35§5.2對數頻率特性(Bode)（1)Bode圖介紹04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering36§5.2對數頻率特性(Bode)（2）Bode圖介紹⑴幅值相乘=對數相加，便于疊加作圖；縱軸橫軸坐標特點特點按lgw刻度，dec“十倍頻程”按w標定，等距等比“分貝”⑵可在大范圍內表示頻率特性；（低、中、高頻）⑶利用實驗數據容易確定L(w),進而確定G(s)。04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering37更詳細的刻度如下圖所示ω１2345678910lgω0.0000.3010.4770.6020.6990.7780.8450.9030.9541.00004二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering38幅頻特性：；相頻特性：⒈比例環節：;對數幅頻特性：相頻特性：比例環節的bode圖04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering39⒉積分環節的頻率特性：頻率特性：積分環節的Bode圖可見斜率為－20/dec當有兩個積分環節時可見斜率為－40/dec04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering40純微分環節的波德圖純微分：04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering41慣性環節的Bode圖⒊慣性環節的頻率特性：①對數幅頻特性：，為了圖示簡單，采用分段直線近似表示。方法如下：低頻段：當時，，稱為低頻漸近線。高頻段：當時，，稱為高頻漸近線。這是一條斜率為-20dB/Dec的直線(表示每增加10倍頻程下降20分貝）。

當時，對數幅頻曲線趨近于低頻漸近線，當時，趨近于高頻漸近線。低頻高頻漸近線的交點為：，得： ，稱為轉折頻率或交換頻率。可以用這兩個漸近線近似的表示慣性環節的對數幅頻特性。04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering42慣性環節的Bode圖圖中，紅、綠線分別是低頻、高頻漸近線，藍線是實際曲線。04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering43慣性環節的Bode圖波德圖誤差分析（實際頻率特性和漸近線之間的誤差）：當時，誤差為：當時，誤差為：最大誤差發生在處，為wT0.10.20.512510L(w),dB-0.04-0.2-1-3-7-14.2-20.04漸近線,dB0000-6-14-20誤差,dB-0.04-0.2-1-3-1-0.2-0.0404二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering44

②相頻特性：

作圖時先用計算器計算幾個特殊點：由圖不難看出相頻特性曲線在半對數坐標系中對于(w0,-45°)點是旋轉對稱的，這是對數相頻特性的一個特點。當時間常數T變化時，對數幅頻特性和對數相頻特性的形狀都不變，僅僅是根據轉折頻率1/T的大小整條曲線向左或向右平移即可。而當增益改變時，相頻特性不變，幅頻特性上下平移。慣性環節的波德圖wT0.010.020.050.10.20.30.50.71.0j(w)-0.6-1.1-2.9-5.7-11.3-16.7-26.6-35-45wT2.03.04.05.07.0102050100j(w)-63.4-71.5-76-78.7-81.9-84.3-87.1-88.9-89.404二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering45

對數頻率特性(Bode)（3）

典型環節的Bode圖與Nyquist圖⑴比例環節⑵微分環節⑶積分環節⑷慣性環節04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering46⒋振蕩環節的頻率特性：討論時的情況。當K=1時，頻率特性為：振蕩環節的頻率特性幅頻特性為：相頻特性為：對數幅頻特性為：低頻段漸近線：高頻段漸近線：兩漸進線的交點稱為轉折頻率。斜率為-40dB/Dec。04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering47相頻特性：幾個特征點：由圖可見：對數相頻特性曲線在半對數坐標系中對于(w0,-90°)點是斜對稱的。對數幅頻特性曲線有峰值。振蕩環節的波德圖04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering48對求導并令等于零，可解得的極值對應的頻率。該頻率稱為諧振頻率。可見，當時，。當時，無諧振峰值。當時，有諧振峰值。諧振頻率，諧振峰值當，，。因此在轉折頻率附近的漸近線依不同阻尼系數與實際曲線可能有很大的誤差。04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering49振蕩環節L(ω)100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-40]04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering50振蕩環節再分析0dB20lgk[-40]?峰值-漸近線值04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering51振蕩環節0dB[-40]0dB[-40]0dB[-40]0dB[-40]04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering52仿真(補充)04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering53振蕩環節的波德圖左圖是不同阻尼系數情況下的對數幅頻特性和對數相頻特性圖。上圖是不同阻尼系數情況下的對數幅頻特性實際曲線與漸近線之間的誤差曲線。04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering54⒌微分環節的頻率特性：

微分環節有三種：純微分、一階微分和二階微分。傳遞函數分別為：頻率特性分別為：微分環節的頻率特性04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering55②一階微分：這是斜率為+20dB/Dec的直線。低、高頻漸進線的交點為相頻特性：幾個特殊點如下相角的變化范圍從0到。低頻段漸進線：高頻段漸進線：對數幅頻特性（用漸近線近似）：一階微分環節的波德圖04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering56一階微分環節的波德圖04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering57幅頻和相頻特性為：③二階微分環節：低頻漸進線：高頻漸進線：轉折頻率為：，高頻段的斜率+40dB/Dec。相角：可見，相角的變化范圍從0~180度。二階微分環節的頻率特性04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering58二階微分環節的波德圖04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering59⒍延遲環節的頻率特性：傳遞函數：頻率特性：幅頻特性：相頻特性：延遲環節的奈氏圖04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering60最小相位系統和非最小相位系統最小相位系統和非最小相位系統定義：在右半S平面上既無極點也無零點，同時無純滯后環節的系統是最小相位系統，相應的傳遞函數稱為最小相位傳遞函數；反之，在右半S平面上具有極點或零點，或有純滯后環節的系統是非最小相位系統，相應的傳遞函數稱為非最小相位傳遞函數。

在幅頻特性相同的一類系統中，最小相位系統的相位移最小，并且最小相位系統的幅頻特性的斜率和相頻特性的角度之間具有內在的關系。

對最小相位系統：w=0時j

(w)=-90°×積分環節個數

；

w=∞時j

(w)=-90°×(n-m)

。

不滿足上述條件一定不是最小相位系統。滿足上述條件卻不一定是最小相位系統。04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering61最小相位系統和非最小相位系統例：有五個系統的傳遞函數如下。系統的幅頻特性相同。04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering62最小相位系統和非最小相位系統設，可計算出下表，其中為對數坐標中與的幾何中點。w1/10T11/T11/T210/T2j1(w)-5.1°-39.3°-54.9°-39.3°-5.1°j2(w)-6.3°-50.7°-90°-129.3°-173.7°j3(w)6.3°50.7°90°129.3°173.7°j4(w)5.1°39.3°54.9°39.3°5.1°j5(w)-5.7°-45°-73°-96.6°-578.1°04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering63由圖可知最小相位系統是指在具有相同幅頻特性的一類系統中，當w從0變化至∞時，系統的相角變化范圍最小，且變化的規律與幅頻特性的斜率有關系(如j1(w)

)。而非最小相位系統的相角變化范圍通常比前者大(如j2(w)、j3(w)、j5(w))；或者相角變化范圍雖不大，但相角的變化趨勢與幅頻特性的變化趨勢不一致(如j4(w))。最小相位系統和非最小相位系統在最小相位系統中，對數幅頻特性的變化趨勢和相頻特性的變化趨勢是一致的（幅頻特性的斜率增加或者減少時，相頻特性的角度也隨之增加或者減少），因而由對數幅頻特性即可唯一地確定其相頻特性。非最小相位系統則不然，在進行分析或綜合時，必須同時考慮其幅頻特性與相頻特性。04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering64非最小相位系統（Non-minimumPhaseSystem）-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-1.5-1-0.500.511.5-1-0.500.5104二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering65最小相位系統非最小相位系統

兩個系統的波德圖比較04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering66奈氏圖比較最小相位系統非最小相位系統04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering67⑴⑵⑶⑷最小相位系統和非最小相位系統04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering68

對于最小相位系統，幅值特性和相頻特性之間具有唯一對應關系。這意味著，如果系統的幅值曲線在從零到無窮大的全部頻率范圍上給定，則相角曲線被唯一確定，反之亦然；但是這個結論對于非最小相位系統不成立。

非最小相位系統情況可能發生在兩種不同的條件下。一是當系統中包含一個或多個非最小相位環節；另一種情況可能發生在系統存在不穩定的內部小回路。

一般來說，右半平面有零點時，其相位滯后更大，閉環系統更難穩定。因此，在實際系統中，應盡量避免出現非最小相位環節。04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering69小結

比例環節和積分環節的頻率特性慣性環節的頻率特性—低頻、高頻漸進線，斜率-20，轉折頻率振蕩環節的頻率特性—波德圖：低頻、高頻漸進線，斜率-40，轉折頻率微分環節的頻率特性—有三種形式：純微分、一階微分和二階微分。分別對應積分、一階慣性和振蕩環節延遲環節的頻率特性04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering70繪制bode圖開環系統頻率特性為：04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering71幅頻特性：相頻特性：且有：

由以上的分析可得到開環系統對數頻率特性曲線的繪制方法：先畫出每一個典型環節的波德圖，然后相加。繪制bode圖04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering72[例]：開環系統傳遞函數為：，試畫出該系統的波德圖。[解]：該系統由四個典型環節組成。一個比例環節，一個積分環節兩個慣性環節。手工將它們分別畫在一張圖上。然后，在圖上相加。繪制bode圖04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering73

實際上，畫圖不用如此麻煩。我們注意到：幅頻曲線由折線（漸進線）組成，在轉折頻率處改變斜率。

確定和各轉折頻率，并將這些頻率按小大順序依次標注在頻率軸上；

確定低頻漸進線：

，就是第一條折線，其斜率為，過點（1，20logk）。實際上是k和積分的曲線。具體步驟如下：繪制bode圖04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering74

高頻漸進線的斜率為：-20(n-m)dB/dec。

相頻特性還是需要點點相加，才可畫出。遇到（一階慣性）時，斜率下降-20dB/Dec;遇到（二階慣性）時，斜率下降-40dB/Dec;

畫好低頻漸進線后，從低頻開始沿頻率增大的方向，每遇到一個轉折頻率改變一次分段直線的斜率：遇到（一階微分）時，斜率增加+20dB/Dec;遇到（二階微分）時，斜率增加+40dB/Dec;繪制bode圖04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering75100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-20][-40]繪制的L(ω)曲線轉折頻率：0.5230斜率：-40-20-40[-20][-40]開環的L曲線繪制(P202)04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering76最小相位系統和非最小相位系統

例：已知最小相位系統的漸近幅頻特性如圖所示，試確定系統的傳遞函數，并寫出系統的相頻特性表達式。解：⒈由于低頻段斜率為-20dB/dec所以有一個積分環節；⒉在w=1處，L(w)=15dB，可得

20lgK=15，K=5.6⒊在w=2處，斜率由-20dB/dec變為-40dB/dec，故有慣性環節1/(s/2+1)⒋在w=7處，斜率由-40dB/dec變為-20dB/dec，故有一階微分環節(s/7+1)04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering77課程小結繪制開環系統Bode圖的步驟⑴化G(jw)為尾1標準型⑵順序列出轉折頻率⑶確定基準線⑷疊加作圖基準點斜率一階慣性環節-20dB/dec復合微分+20dB/dec二階振蕩環節-40dB/dec復合微分-40dB/dec第一轉折頻率之左的特性及其延長線⑸修正⑹檢查①兩慣性環節轉折頻率很接近時②振蕩環節x(0.38,0.8)

時①L(w)最右端曲線斜率=-20(n-m)dB/dec②轉折點數=(慣性)+(一階復合微分)+(振蕩)+(二階復合微分)③j(w)-90°(n-m)04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering78本次課程作業5—1,2,45（1，2），13自動控制原理04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering79自動控制原理

（第19講）

§5.線性系統的頻域分析與校正

§5.1頻率特性的基本概念

§5.2幅相頻率特性（Nyquist圖）

§5.3對數頻率特性（Bode圖）

§5.4頻域穩定判據

§5.5穩定裕度

§5.6利用開環頻率特性分析系統的性能

§5.7閉環頻率特性

04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering80回顧Bode圖的特點低頻漸進線、高頻漸近線轉折頻率典型環節bode圖二階振蕩環節的諧振頻率諧振峰值最小相位系統定義及特點bode圖繪制04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering81例04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering82[例]具有延遲環節的開環頻率特性為：，試畫出波德圖。[解]：

可見，加入了延遲環節的系統其幅頻特性不變，相位特性滯后了。04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering83系統類型與對數幅頻特性的關系04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering84DeterminationofMinimum-PhaseTransferFunctionfromBodeDiagrams04二月2023SichuanUniversityofScienceandEngineering85解：對數相頻：相頻特性的畫法為：起始角，終止角，轉折頻率處的角。例：-90o-114.7o-93.7o-137.5o-180o對數幅頻：低頻段：20/s[-20]轉折頻率：