第14章拉普拉斯變換14.1拉普拉斯變換14.2常用函數的拉普拉斯變換14.3拉普拉斯變換的基本性質14.5復頻域中的電路定律、電路元件與模型14.6拉普拉斯變換法分析電路14.7網絡函數14.8網絡函數的極點和零點14.4拉普拉斯反變換本章重點本章重點.常用函數的拉普拉斯變換拉普拉斯變換的基本性質.復頻域中的電路定律.運算阻抗和運算導納.拉普拉斯變換法分析電路的動態響應.網絡函數.14.1拉普拉斯變換的定義

拉氏變換法是一種數學積分變換，其核心是把時間函數f(t)與復變函數F(s)聯系起來，把時域問題通過數學變換為復頻域問題，把時域的高階微分方程變換為頻域的代數方程以便求解。應用拉氏變換進行電路分析稱為電路的復頻域分析法，又稱運算法。1.拉氏變換法例一些常用的變換對數變換乘法運算變換為加法運算相量法時域的正弦運算變換為復數運算拉氏變換F(s)(頻域象函數)對應f(t)(時域原函數)2、拉氏變換(Laplacetransformation)的定義象函數(transformfunction)F(s)原函數(originalfunction)f(t)t[0,)時域(timedomain)復頻域(complexfrequencydomain)復頻率(complexfrequency)拉氏變換對(Laplacepairs)一一對應記號L[f(t)]表示取拉氏變換L-1[F(s)]表示取拉氏反變換定義式(Laplacetransformation)(inverseLaplacetransformation)注意

積分域積分下限從0

開始，稱為0

拉氏變換。積分下限從0+

開始，稱為0

+

拉氏變換。今后討論的均為0

拉氏變換。[0,0＋]區間f(t)=(t)時此項

0象函數F(s)

存在的條件：如果存在有限常數M和c

使函數f(t)滿足：

則f(t)的拉氏變換式F(s)總存在，因為總可以找到一個合適的s

值使上式積分為有限值。下頁上頁象函數F(s)

用大寫字母表示,如I(s)，U(s)原函數f(t)

用小寫字母表示，如i(t),u(t)返回=114.2常用函數的拉普拉斯變換14.3

拉普拉斯變換的基本性質一、線性(linearity)性質證

根據拉氏變換的線性性質，求函數與常數相乘及幾個函數相加減的象函數時，可以先求各函數的象函數再進行相乘及加減計算。結論例1例2例3二、原函數的微分(differentiation)例1例2三、原函數的積分(integration)例四、時域平移(timeshift)f(t)(t-t0)tt00tf(t-t0)(t-t0)t00f(t)(t)t0f(t)(t)f(t-t0)(t-t0)平移f(t)(t-t0)不是平移例1求圖示函數的拉氏變換式例2求圖示函數的拉氏變換式1Ttf(t)0TTf(t)0五、復頻域平移(frequencyshift)例1例2例3六、尺度特性七、初值(initial-value)定理和終值(final-value)定理初值定理若L[f(t)]=F(s)，且f(t)在t=0處無沖激，則終值定理f(t)及其導數f(t)可進行拉氏變換，且例1例2例3返回目錄14.4拉普拉斯反變換一、由象函數求原函數(1)利用公式(2)經數學處理后查拉普拉斯變換表象函數的一般形式：二、將F(s)進行部分分式展開(partial-fractionexpansion)f(t)=L-1[F(s)]較麻煩等式兩邊同乘(s-s1)=0ki也可用分解定理求等式兩邊同乘(s-si)，應用洛比達法則求極限例1例2用分解定理例3m>n，用長除法，得k1,k2也是一對共軛復數假設只有兩個根可據前面介紹的兩種方法求出k1,k2設例法一：部分分式展開，求系數法二：將F2(s)改寫為(s＋)2+2等式兩邊乘例1例2等式兩邊乘一般多重根情況返回目錄一、電路元件的運算形式(operatorform)電阻Ru=Ri14.5復頻域中的電路定律、電路元件與模型+u-i(t)R+U(s)

-I(s)R取拉氏變換電感LiL+

uL

-L+

-sLUL(s)IL(s)-+取拉氏變換sL+

-UL(s)IL(s)電容C+uC

-iCIC(s)1/sCuC(0-)/sUC(s)+--+

1/sCCuC(0-)IC(s)UC(s)-+取拉氏變換互感M取拉氏變換ML1L2i1i2+u1-+u2-+U2(s)-+-I1(s)sL1sL2sM+-++--U1(s)I2(s)+-受控源+-U1(s)+-

RI1(s)U1(s)+-U2(s)+u1-+u2-Ri1u1+-二、電路定律的運算形式+u-iRLC設電路無初始儲能+U(s)-I(s)RsL1/sC運算形式的歐姆定律運算阻抗(operationalimpedance)運算導納(operationaladmittance三、運算電路模型1.電壓、電流用象函數形式2.元件用運算阻抗或運算導納3.電容電壓和電感電流初始值用附加電源表示時域電路RRLCi1i2E(t)+-運算電路RRsL1/sCI1(s)I2(s)E/s+-uC(0-)=25ViL(0-)=5A時域電路t=0時打開開關例52F2010100.5H50V+-uC+

-iL換路后運算電路0.5sUC(s)20-++1/2s25/s2.55IL(s)+--解返回目錄14.6拉普拉斯變換法分析電路步驟1.由換路前電路計算uC(0-),iL(0-)；2.畫運算電路模型；3.應用電路分析方法求出待求變量的象函數；4.反變換求原函數。t=0時閉合S，求iL，uL。例1200V300.1H10-uC+1000FiL+-uL+-S(2)畫運算電路200/s300.1s0.5101000/s100/sI1(s)I2(s)+++---解200/s300.1s0.5101000/s100/sI1(s)I2(s)+++---(4)反變換求原函數校核初值和終值要考慮初值思考：uL是哪兩端的電壓？200/s

300.1s0.5101000/s100/sI1(s)I2(s)+++---UL(s)+-例2求圖示電路的單位沖激響應uC(t)，iC(t)

。RCuC(t)iC+-R1/sCUC(s)1IC(s)+-tuC(V)0tiC返回目錄14.7

網絡函數(networkfunction)一、定義單個獨立源作用的線性網絡零狀態e(t)r(t)E(s)R(s)(轉移函數(transferfunction)RC+_+_uS例uCR1/sC+_+_US(s)UC(s)網絡函數是由網絡的結構和參數決定，與激勵無關；網絡函數是實系數的有理函數。1.驅動點函數驅動點阻抗驅動點導納2.轉移函數(傳遞函數)轉移導納轉移阻抗轉移電壓比轉移電流比二、網絡函數的具體形式U(s)I(s)+-U2(s)I2(s)U1(s)I1(s)+-+-三、單位沖激響應與網絡函數的關系零狀態(t)h(t)e(t)r(t)若單位沖激響應h(t)已知，則任意激勵e(t)產生的響應r(t)可求。單位沖激響應與網絡函數是一對拉氏變換對返回目錄14.8網絡函數的極點(pole)和零點(zero)一、復頻率平面j在復平面上用“”表示極點，用“?！北硎玖泓c。極點。零點j。2-3例繪出其極零點圖(pole-zerodiagram)-1j-j0二、極點分布與沖激響應的關系H(s)在s平面上極點位置不同，沖激響應波形不同。單位沖激響應與網絡函數是一對拉氏變換對j極點的位置決定沖激響應的波形極點和零點共同決定沖激響應的的幅值網絡函數極點的位置決定了系統的穩定性(stability)

全部極點在s

左半平面的電路動態響應是穩定的；有位于s