第1章矢量分析一、矢量和標量的定義二、矢量的運算法則三、矢量微分元：線元，面元，體元四、標量場的梯度六、矢量場的旋度五、矢量場的散度七、重要的場論公式一、矢量和標量的定義1.標量：只有大小，沒有方向的物理量。矢量表示為：所以：一個矢量就表示成矢量的模與單位矢量的乘積。其中：為矢量的模，表示該矢量的大小。為單位矢量，表示矢量的方向，其大小為1。2.矢量：不僅有大小，而且有方向的物理量。如:力、速度、電場等如：溫度T、長度L等例1：在直角坐標系中，

x方向的大小為6的矢量如何表示？圖示法：力的圖示法：二、矢量的運算法則1.加法:

矢量加法是矢量的幾何和,服從平行四邊形規則。a.滿足交換律：b.滿足結合律：三個方向的單位矢量用表示。根據矢量加法運算：所以：在直角坐標系下的矢量表示:其中：矢量：模的計算：單位矢量：方向角與方向余弦：在直角坐標系中三個矢量加法運算：

2.減法：換成加法運算逆矢量：

和的模相等，方向相反，互為逆矢量。在直角坐標系中兩矢量的減法運算：推論：任意多個矢量首尾相連組成閉合多邊形，其矢量和必為零。3.乘法：（1）標量與矢量的乘積：方向不變，大小為|k|倍方向相反，大小為|k|倍（2）矢量與矢量乘積分兩種定義a.標量積（點積）：兩矢量的點積含義：

一矢量在另一矢量方向上的投影與另一矢量模的乘積，其結果是一標量。在直角坐標系中，已知三個坐標軸是相互正交的，即有兩矢量點積：結論:兩矢量點積等于對應分量的乘積之和。推論1：滿足交換律推論2：滿足分配律推論3：當兩個非零矢量點積為零,則這兩個矢量必正交。推論1：不服從交換律：推論2：服從分配律：推論3：不服從結合律：推論4：當兩個非零矢量叉積為零，則這兩個矢量必平行。b.矢量積（叉積）：含義：兩矢量叉積，結果得一新矢量，其大小為這兩個矢量組成的平行四邊形的面積，方向為該面的法線方向，且三者符合右手螺旋法則。在直角坐標系中，兩矢量的叉積運算如下：兩矢量的叉積又可表示為：xyzo（3）三重積：三個矢量相乘有以下幾種形式：矢量，標量與矢量相乘。標量，標量三重積。矢量，矢量三重積。a.標量三重積法則：在矢量運算中,先算叉積,后算點積。定義：含義：

標量三重積結果為三矢量構成的平行六面體的體積。注意：先后輪換次序。推論：三個非零矢量共面的條件。在直角坐標系中：b.矢量三重積：例2：求：中的標量a、b、c。解：則：設例3：

已知求：確定垂直于、所在平面的單位矢量。解：已知所得矢量垂直于、所在平面。已知A點和B點對于原點的位置矢量為和，求：通過A點和B點的直線方程。例4：

其中：k

為任意實數。xyzCAB解：在通過A點和B點的直線方程上，任取一點C，對于原點的位置矢量為，則三、矢量微分元：線元、面元、體元例：其中：和稱為微分元。1.直角坐標系在直角坐標系中，坐標變量為(x,y,z)，如圖，做一微分體元。線元：面元：體元：2.圓柱坐標系在圓柱坐標系中，坐標變量為，如圖，做一微分體元。線元：面元：體元：3.球坐標系在球坐標系中，坐標變量為，如圖，做一微分體元。線元：面元：體元：a.在直角坐標系中，x,y,z

均為長度量，其拉梅系數均為1，即：b.在柱坐標系中，坐標變量為,其中為角度，其對應的線元，可見拉梅系數為：在球坐標系中，坐標變量為，其中均為角度，其拉梅系數為：注意：四、標量場的梯度1.標量場的等值面可以看出：標量場的函數是單值函數，各等值面是互不相交的。以溫度場為例：熱源等溫面2.方向導數：設有標量場，為場中任意一點,從如圖，

為緊靠點的另向的方向導數定義為點向任意方向引射線，一點,則在

點沿方

u

沿什么方向增加率最大？這個最大的增加率等于多少？

設

,則，，，這說明。沿方向的增加率為，沿方向的增加率為,沿表示標量場

沿

方向的增加率（單位長度的增量）當

時，說明

沿

方向增加；當時，說明

沿

方向減小；當

時，說明

沿

方向不變。方向不變。

在標量場中一定存在著這樣一個矢量，它的方向指向增加率最大的方向，其大小等于這個最大的增加率，該矢量稱為標量的梯度，用表示。即梯度的概念2.方向導數等于梯度在該方向上的分量。即

說明:1.為哈密爾頓算符，即梯度在直角系中的表達式

例：設u=2x+y,求u的梯度，并計算它的大小和方向（其方向用單位矢量表示），并求該函數u沿單位矢量方向的方向導數。大小方向梯度解：方向導數練習題：已知標量函數，求在點處的梯度，并求該梯度沿指定方向的方向導數。在柱坐標系中：在球坐標系中：在不同的坐標系中，梯度的計算公式：在直角坐標系中：五、矢量場的散度1.矢線（場線）：

在矢量場中，若一條曲線上每一點的切線方向與場矢量在該點的方向重合，則該曲線稱為矢線。2.通量：定義：如果在該矢量場中取一曲面S，通過該曲面的矢線量稱為通量。表達式：若曲面為閉合曲面：+-討論：a.

如果閉合曲面上的總通量

說明穿出閉合面的通量大于穿入曲面的通量，意味著閉合面內存在正的通量源。b.

如果閉合曲面上的總通量

說明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些矢線在曲面內終止了，意味著閉合面內存在負源或稱溝。c.

如果閉合曲面上的總通量說明穿入的通量等于穿出的通量。3.散度：a.定義：矢量場中某點的通量密度稱為該點的散度。b.表達式：c.散度的計算：

在直角坐標系中，如圖做一封閉曲面，該封閉曲面由六個平面組成。矢量場表示為：在x方向上：計算穿過和面的通量為因為：則：在x

方向上的總通量：在z

方向上,穿過和面的總通量：整個封閉曲面的總通量：同理：在y方向上,穿過和面的總通量：該閉合曲面所包圍的體積：通常散度表示為：4.散度定理：物理含義：穿過一封閉曲面的總通量等于矢量散度的體積分。柱坐標系中：球坐標系中：直角坐標系中：常用坐標系中，散度的計算公式散度在直角坐標系中的表達式

設有矢量，求矢量在點解：處的散度。

矢量在任意閉合曲面上的面積分等于該矢量的散度定理散度在閉合面所限定的體積中的體積分，即

解：

設矢量，為由；

；所限定的平行六面體的表面積。求和。練習題：

例：在半徑為的球體區域中，設。求：①在半徑為的球面上的面積分；②的散度；③在半徑為的球形區域中的體積分。

解：①②③六、矢量場的旋度1.環量：

在矢量場中，任意取一閉合曲線，將矢量沿該曲線積分稱之為環量。可見：環量的大小與環面的方向有關。2.旋度:定義：一矢量其大小等于某點最大環量密度，方向為該環的法線方向，那么該矢量稱為該點矢量場的旋度。表達式：旋度計算：以直角坐標系為例，一旋度矢量可表示為：場矢量：其中：為x方向的環量密度。旋度可用符號表示：其中：可得：同理：所以：旋度公式：為了便于記憶，將旋度的計算公式寫成下列形式:類似地，可以推導出在廣義正交坐標系中旋度的計算公式：

對于柱坐標、球坐標，已知其拉梅系數，代入公式即可寫出旋度的計算公式。3.斯托克斯定理：物理含義：

一個矢量場旋度的面積分等于該矢量沿此曲面周界的曲線積分。例：設有矢量，求矢量在點處的旋度。解：

在矢量場中，矢量沿任一閉合曲線l的線積分，等于矢量的旋度在

l所限面積上的面積分，即斯托克斯定理

設矢量，求該矢量沿圖示閉合回路的線積分。練習題：

解：

或由于

則

求：①矢量沿圖

例：設有矢量