(省懷寧縣江學sinγin則sinθ2 一般符合某種條件的定點都具有兩個性質

又AB=S△PAB=sinγ 一是存在性;二是唯一性.也就是說,它既 S AR=S△GAR=sin S 通過研究定值,尋找定點的位 定點問題與定值問題關系密切,前者 BC=RC2,即RC BC究定值來尋找定點的位置,無疑是一種有 由于ABBC皆為定長線段,

的方法例 已知直線上的三個定點依次ABC,Γ為過AC且圓心不在AC

由于QPAC內部,由塞瓦定理的三sinγsinβsinβ圓.AC兩點作與圓Γ

=于點P,PB交圓Γ于點Q.證明∠AQC的平分AC的交點是定點.講解:如圖1∠AQC的平分線交AC于點R,延長QR交圓Γ于點G,聯結AG、CG易知AG=CGPA=APQ 其余相等的角用αβ表示

收稿日期:2005-12-定值,AR為定值因此,點R的位置固定不變,即不論圓Γ的大小怎樣變化,∠AQC的平分線與AC的交點R恒為定點.思考:若點Q在優弧AC,仍然作∠AQC的平分線交AC于點R.此時,?2ABOQ是OBPQ⊥AB,PO上,MNO上,

=∠PQNMN∩AB=S.證明O⊙O延長NQM,OMOM.因為∠=∠PQNPQ⊥AB,QM.ABO∠MQM的公共對稱軸,從而,AM,AOM.1

EO·BD·AC=OBDA∠AOM

DA2 ·2 A=∠MNM=∠MNQMOQN四點共圓.,∠BQN=∠OMN.OROQ=aRa均為OQM=∠BQN=∠OMN=∠OMS

△DB △CAQEOBQ AD AB∠QOM=∠MOS

··

·OBQF

BDAC AD △OQM△OMSOQ=OM OS=OM2 OSAB,O為定點,故S是一個定點.思考:PO的切線是否通過定線與直線MN的交點是定點”,你看如何?通過研究動點的規律,不離.研究動點的活動規律,對于尋找定點的例3已知銳角△ABC是一個定三角,兩個動點DE分別在邊ABAC又DF⊥BC,EG⊥BC,FG是垂足.設BE∩CD=OFE∩GD=P證明:OP

=ABDFCE=ABAQAC=· ·ACBD· ·OP注:OPBC點Q,然后設法證明AQ⊥BC.感的讀者例 已知定直線l與定⊙O相離,⊥lD.過l上的動點PPA、PB⊙OAB,DMPAMDNN證明:MN恒過某一個定點.(1994塞浦路斯數學競賽)講解:如圖4OPOAOB、DB,ABODQ,DL⊥AB于L=∠OB一定點

= = 高AQ,則垂足Q是一個定點下面證明:OPQ,OPQ三點共線 圖

所以,PAOBD五點共圓即點D△PAB的外接圓上MNL三點共線MNODGOP⊥AB∠GLD=∠NLD==∠PBD=∠POD故GL=GD.由于QDRt△QDL的斜邊,易得下面只須證明QD的長度為定值.O半徑為ROD=d,Rd均為定長PAOBDAOBDODB=∠OAB=∠OBA=∠OBQ所以, OQ=OD=d

定點(46講解:這是一個饒有趣味且頗費思考的競賽題ACBD中垂線的交點S.5,BX∥AC∥DY,XY都在直線EF上.聯結SASBSCSDSQSR.易得 △EXBQD=d

d2-d

DF=BEAF=CE,QB=BX,AR=AF=CE=CRQD,MNOD的交點即QD中點G當然是定點.

DYRC=BX

B 注:OPD,∠OPAβ,=α+∠NDGαβ.可利用三角法本文所涉及的定點問題可分為兩條直線的交點

,QB=RC QB= 1故RC=AC=2 =CN 1 2一條直線與一條圓弧的交點兩條圓弧的交點無論屬于哪一種情況應該說難度都很大難就難在:定點到底在哪里?從何下手?5ABCDBC=AD,且BC不平行于ADEF分別在邊BC、AD,BE=DFACBD相交于點P,直線BDEFQ,直線

EFACR.證明:當點EF△PQRP外=CN-RC=NRBM- ,NR=AC SA=SCSD=SBAD=BC, △SCBASD=

=因此, △BSD SN=AC 所以,Rt SRN=∠SQM=外接圓通過定點S.

=∠L=∠MLNE=BN+BE=AM+AC+=AM+AC+CL=ML 注:本例中的BC=AD和BC不平行 sin∠N sin∠NAD是十分必要的.否則,若BC∥AD,則四 形ABCD為平行四邊形.這時,ACBD的 sin∠ML sin∠MP分別ACBD的中而符合條件的EFP.,△PQR就蛻化為一個例 在△ABC中,D是AB的中點,EBCAC=BE-ECCACBMNAMBN,ED交MNF求證:過FMN的直線講解:這又是一個頗費思考且饒有趣味的幾何題.其定點是AB的中垂線與△外接圓的交點G,它是優弧ACB的中點 △GBNGM=GN△GMN為等腰三角形.欲證過點F且垂直于MNG,FMN的中點即可,延長BCK使CK=AC.AK,再延長FEAC得交點LBE-EC=AC,BE=EC+AC=EC+CK=故DEBAK的中位線.

∠NEF∠K=∠CA,得NF1NF=FGMNMN的中,GF必是底MN的中垂,即過F作MN的垂線通過定點G.注:本題的關鍵是證明FMN的中點,這得益于一道早先就流傳過的幾何題:“凸四邊形的一組對邊相等且不平行,則另一組對邊中點的連線與相等的那一組對邊延長線夾等角”77,△ABC是一個定三角形,動點P在邊BC上,PM∥AC,∥AB,點MN分別在邊ABAC上今有一定點Q,滿AMQN四點共圓Q的幾

探索這個定點Q是這樣確定的:AB⊙O1使AC⊙O1相切(作?想想看),ACO2ABO2相切.此時AQBQCQMQNQ∠ABQ=∠CAQ,∠BAQ=∠ACQ所以, △CAQBQ=AB (省高級中學,解題又離不開閱讀已有的解答.

na1

≤a1+a2+?+ann掘和吸收問題解決所蘊含的營養,取得長足平均值不等式的證明這一側面,來談談個人a1a2?an∈R+,n∈N收稿日期:2006-01-BM=BM=AB, BQ=BM △ANQ=AMQN四點共圓思考⊙O1O2為什么一定相交?擔心是多余的O1、⊙O2外切于點A,A作兩圓的公切線XY,易證XYAC在了.這就是說,⊙O1、⊙O2非相交不可.ABO,⊙C是一個動圓它⊙O內切于P且與ABQ求證:恒通過某定點(提示:PQOROCP三點共線.聯結ORCQ.設法證OR∥CQ.)ABCAB=AC,⊙OABAC皆相XAB上的切點CYOY(Y在

當且僅當a1=a2=?=an,立此不等式通常稱為平均值不等式,是應證法1是最常見的一種.形內求證:O的大小怎樣變,XY恒(提示:OBX△OCY.XYBC于點M,進而可證OXBM四點共圓.)AB上有一定DAD>DB⊥ABD為垂足動點Cl,AE⊥CBE、BF⊥CA于F.證明:直線FE恒過一定點.(提示:AB的中M,AD=aDB=babFE∩AB=PBP=xMDEF四點共九點圓定義)已知正方ABCD,動點EF分別AB,滿足EF=BE+DF.作EG⊥CDGFHH證明:直線