山西省忻州市走馬嶺中學高三數學理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若集合A={x|（x+1）（3﹣x）＞0}，集合B={x|1﹣x＞0}，則A∩B等于（）A．（1，3） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣1，3） D．（﹣1，1）參考答案：D【考點】交集及其運算．【分析】求出集合的等價條件，利用集合的基本運算進行求解即可．【解答】解：A={x|（x+1）（3﹣x）＞0}={x|﹣1＜x＜3}，B={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，則A∩B={x|﹣1＜x＜1}=（﹣1，1）．故選：D．2.在中，，則的面積為_______.參考答案：3.若等比數列{an}的前項和為Sn，且S2=3，S6=63，則S5=（）A．﹣33 B．15 C．31 D．﹣33或31參考答案：D【考點】等比數列的前n項和．【分析】利用等比數列的通項公式與求和公式即可得出．【解答】解：設等比數列{an}的公比為q≠1，∵S2=3，S6=63，∴a1（1+q）=3，=63，消去a1，化為q4+q2﹣20=0，解得q=±2．q=2時，a1=1；q=﹣2，a1=﹣3．則S5==31，或S5==﹣33．故選：D．4.函數的最小正周期為，且．當時，那么在區間上，函數的零點個數是

（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：B略5.設偶函數f(x)對任意x∈R都有f(x+3)=－，且當x∈時，f(x)=4x,則f(107.5)=

(

)A.10

B. C.－10 D.—參考答案：B6.如圖是一個幾何體的三視圖，根據圖中的數據，計算該幾何體的表面積為A.B.C.D.參考答案：C7.《九章算術》“竹九節”問題：現有一根9節的竹子，自上而下各節的容積成等差數列，上面4節的容積共3升，下面3節的容積共4升，則第5節的容積為（

）A.1升

B.升

C.升

D.升參考答案：B設竹子自上而下各節的容積分別為：a1，a2，…，a9，且為等差數列，

根據題意得：a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4，

即4a1+6d=3①，

3a1+21d=4②，

②×4-①×3得：66d=7，解得d=，代入①得：a1=，則a5=+（5－1）×=．8.學校計劃利用周五下午第一、二、三節課舉辦語文、數學、英語、理綜4科的專題講座，每科一節課，每節至少有一科，且數學、理綜不安排在同一節，則不同的安排方法共有（）A．36種 B．30種 C．24種 D．6種參考答案：B【考點】排列、組合及簡單計數問題．【分析】間接法：先從4個中任選2個看作整體，然后做3個元素的全排列，從中排除數學、理綜安排在同一節的情形，可得結論．【解答】解：由于每科一節課，每節至少有一科，必有兩科在同一節，先從4個中任選2個看作整體，然后做3個元素的全排列，共=36種方法，再從中排除數學、理綜安排在同一節的情形，共=6種方法，故總的方法種數為：36﹣6=30故選：B．9.執行如圖所示的程序框圖，若輸入a，b，c分別為1，2，0.3，則輸出的結果為（）A．1.125 B．1.25 C．1.3125 D．1.375參考答案：D【考點】程序框圖．【分析】模擬程序的運行，依次寫出每次循環得到的a，b的值，當a=1.25，b=1.5時滿足條件|a﹣b|＜0.3，退出循環，輸出的值為1.375．【解答】解：模擬程序的運行，可得a=1，b=2，c=0.3執行循環體，m=，不滿足條件f（m）=0，滿足條件f（a）f（m）＜0，b=1.5，不滿足條件|a﹣b|＜c，m=1.25，不滿足條件f（m）=0，不滿足條件f（a）f（m）＜0，a=1.25，滿足條件|a﹣b|＜c，退出循環，輸出的值為1.375．故選：D．【點評】本題考查了程序框圖的應用，模擬程序的運行，正確依次寫出每次循環得到的a，b的值是解題的關鍵，屬于基礎題．10.將函數y=sin2x﹣cos2x的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數g（x）(

) A．由最大值，最大值為 B．對稱軸方程是 C．是周期函數，周期 D．在區間上單調遞增參考答案：D考點：兩角和與差的正弦函數；函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．專題：計算題；三角函數的圖像與性質．分析：由兩角差的正弦公式化簡函數，再由圖象平移的規律得到，易得最大值是2，周期是π，故A，C均錯；由，求出x，即可判斷B；再由正弦函數的增區間，即可得到g（x）的增區間，即可判斷D．解答： 解：化簡函數得，所以將函數y=sin2x﹣cos2x的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數g（x）=2sin，即，易得最大值是2，周期是π，故A，C均錯；由，得對稱軸方程是，故B錯；由，令k=0，故D正確．故選D．點評：本題考查三角函數的化簡和圖象變換，考查三角函數的最值和周期、以及對稱性和單調性，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數的反函數參考答案：答案：

解析：由12.函數的定義域為R,則實數的范圍

．參考答案：略13.已知集合，則

▲

．參考答案：14.函數（為常數，A＞0，＞0）的部分圖象如圖所示，則的值是

.參考答案：由圖象可知，，所以,,所以，，所以，所以，所以，.15.若x，y滿足約束條件則的最小值為__________．參考答案：2【分析】先由約束條件作出可行域，再由目標函數可化，因此當直線在軸上截距最小時，取最小，結合圖像即可求出結果.【詳解】由約束條件作出可行域如下：因為目標函數可化為，因此當直線在軸上截距最小時，取最小.由圖像易得，當直線過點時，在軸上截距最小，即.故答案為2【點睛】本題主要考查簡單的線性規劃，只需由約束條件作出可行域，分析目標函數的幾何意義，結合圖像即可求解，屬于常考題型.16.將三項式展開，當時，得到如下左圖所示的展開式，右圖所示的廣義楊輝三角形：

第0行

1

第1行

111

第2行

12321

第3行

1367631

第4行

14101619161041……觀察多項式系數之間的關系，可以仿照楊輝三角構造如圖所示的廣義楊輝三角形，其構造方法：第0行為1，以下各行每個數是它頭上與左右兩肩上3數（不足3數的，缺少的數計為0）之和，第行共有個數．若在的展開式中，項的系數為75，則實數的值為___________．參考答案：2試題分析：展開式中系數為151530455145301551，所以在的展開式中，項的系數為考點：新定義17.已知函數與，它們的圖像有一個橫坐標為的交點，則的值是

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知向量，其中函數的最小正周期為.（1）求的值.（2）求函數在上的最大值.參考答案：【知識點】向量的坐標運算;三角函數的化簡求值.

F2

C7【答案解析】(1)(2)

解析：(1)2m·n-1

=．

………………6分由題意知：，即，解得．……7分(2)由(Ⅰ)知，∵≤x≤，得≤≤，又函數y=sinx在[，]上是減函數，∴…………10分

=．…………………12分【思路點撥】由向量的坐標運算可以列出關系式，求出的值，再根據解析式在定義域內求出函數的最大值.19.對于數集，其中，，定義向量集.若對于任意，存在，使得，則稱X具有性質P.例如具有性質P.（I）若，且具有性質，求的值；（II）若X具有性質P，且x1=1，x2=q（q為常數），求有窮數列的通項公式.參考答案：（1）選取，Y中與垂直的元素必有形式.

……2分

所以x=2b，從而x=4.

……4分（2）[解法一]猜測，i=1,2,…,n.

``

記，k=2,3,…,n.

先證明：若具有性質P，則也具有性質P.

任取，、?.當、中出現-1時，顯然有滿足；

當且時，、≥1.

因為具有性質P，所以有，、?，使得，從而和中有一個是-1，不妨設=-1.假設?且?，則.由，得，與?矛盾.所以?.從而也具有性質P.

……6分現用數學歸納法證明：，i=1,2,…,n.當n=2時，結論顯然成立；

假設n=k時，有性質P，則，i=1,2,…,k；

當n=k+1時，若有性質P，則

也有性質P，所以.

取，并設滿足，即.由此可得s=-1或t=-1.

若，則不可能；

所以，，又，所以.

綜上所述，，i=1,2,…,n.

……10分

[解法二]設，，則等價于.

記，則數集X具有性質P當且僅當數集B關于原點對稱.注意到-1是X中的唯一負數，共有n-1個數，所以也只有n-1個數.由于，已有n-1個數，對以下三角數陣

……

注意到，所以，從而數列的通項公式為

，k=1,2,…,n.20.(本小題滿分14分)已知函數的減區間是．⑴試求m、n的值；⑵求過點且與曲線相切的切線方程；⑶過點A（1，t）是否存在與曲線相切的3條切線，若存在求實數t的取值范圍；若不存在，請說明理由．參考答案：解：⑴由題意知：的解集為，

所以，-2和2為方程的根，

………………2分由韋達定理知

，即m=1，n=0．

………………4分⑵∵，∴，∵

當A為切點時，切線的斜率，∴切線為，即；

………………6分

當A不為切點時，設切點為，這時切線的斜率是，切線方程為，即

因為過點A（1，-11），

，∴，∴或，而為A點，即另一個切點為，∴，切線方程為，即………………8分所以，過點的切線為或．

…………9分⑶存在滿足條件的三條切線．

…………10分設點是曲線的切點，則在P點處的切線的方程為

即因為其過點A（1，t），所以，，

由于有三條切線，所以方程應有3個實根，

…………11分設，只要使曲線有3個零點即可．設=0，∴分別為的極值點，當時，在和上單增，當時，在上單減，所以，為極大值點，為極小值點.所以要使曲線與x軸有3個交點，當且僅當即，解得

.

…………14分略21.設點M是x軸上的一個定點，其橫坐標為a（a∈R），已知當a=1時，動圓N過點M且與直線x=﹣1相切，記動圓N的圓心N的軌跡為C．（Ⅰ）求曲線C的方程；（Ⅱ）當a＞2時，若直線l與曲線C相切于點P（x0，y0）（y0＞0），且l與以定點M為圓心的動圓M也相切，當動圓M的面積最小時，證明：M、P兩點的橫坐標之差為定值．參考答案：【考點】直線與拋物線的位置關系．【分析】（Ⅰ）通過圓N與直線x=﹣1相切，推出點N到直線x=﹣1的距離等于圓N的半徑，說明點N的軌跡為以點M（1，0）為焦點，直線x=﹣1為準線的拋物線，求出軌跡方程．（Ⅱ）設直線l的方程為y﹣y0=k（x﹣x0），聯立得，利用相切關系，推出k，求解直線l的方程為．通過動圓M的半徑即為點M（a，0）到直線l的距離．利用動圓M的面積最小時，即d最小，然后求解即可．【解答】解：（Ⅰ）因為圓N與直線x=﹣1相切，所以點N到直線x=﹣1的距離等于圓N的半徑，所以，點N到點M（1，0）的距離與到直線x=﹣1的距離相等．所以，點N的軌跡為以點M（1，0）為焦點，直線x=﹣1為準線的拋物線，所以圓心N的軌跡方程，即曲線C的方程為y2=4x．（Ⅱ）由題意，直線l的斜率存在，設直線l的方程為y﹣y0=k（x﹣x0），由得，又，所以，因為直線l與曲線C相切，所以，解得．所以，直線l的方程為．動圓M的半徑即為點M（a，0）到直線l的距離．當動圓M的面積最小時，即d最小，而當a＞2時；==．當且僅當，即x0=a﹣2時取等號，所以當動圓M的面積最小時，a﹣x0=2，即當動圓M的面積最小時，M、P兩點的橫坐標之差為定值．22.已知函數f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0且a≠1）（1）求函數f（x）單調遞增區間；（2）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然對數的底數），求實數a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數研究函數的單調性；絕對值不等式的解法．【分析】（1）求導數，利用導數的正負，可求函數f（x）單調區間；（2）f（x）的最大值減去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由單調性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的單調性，判斷f（1）與f（﹣1）的大小關系，再由f（x）的最大值減去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范圍．【解答】解：（1）函數f（x）的定義域為R，f'（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna．令h（x）=f'（x）=2x+（ax﹣1）lna，h'（x）=2+axln2a，當a＞0，a≠1時，h'（x）＞0，所以h（x）在R上是增函數，…（2分）又h（0）=f'（0）=0，所以，f'（x）＞0的解集為（0，+∞）