山西省忻州市原平第四中學2021年高二數學理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.橢圓5x2﹣ky2=5的一個焦點是（0，2），那么k等于（）A．﹣1 B．1 C． D．參考答案：A【考點】K4：橢圓的簡單性質．【分析】把橢圓5x2﹣ky2=5化為標準方程x2=1，則c2=﹣﹣1=4，解得k，再進行判定即可．【解答】解：橢圓5x2﹣ky2=5化為標準方程x2=1，則c2=﹣﹣1=4，解得k=﹣1，故選：A．2.飛機的航線和山頂在同一個鉛垂直平面內，已知飛機的高度為海拔15000m，速度為1000km/h，飛行員先看到山頂的俯角為18°，經過108s后又看到山頂的俯角為78°，則山頂的海拔高度為（）A．（15﹣18sin18°cos78°）km B．（15﹣18sin18°sin78°）kmC．（15﹣20sin18°cos78°）km D．（15﹣20sin18°sin78°）km參考答案：D【考點】解三角形的實際應用．【分析】先求AB的長，在△ABC中，可求BC的長，進而由于CD⊥AD，所以CD=BCsin∠CBD，故可得山頂的海拔高度【解答】解：如圖，∠A=18°，∠ACB=60°，AB=1000×108×=30（km）∴在△ABC中，BC==20sin18°∵CD⊥AD，∴CD=BCsin∠CBD=BC×sin78°=20sin18°sin78°山頂的海拔高度=15﹣20sin18°sin78°km．故選D．3.極坐標系中，下列各點與點P（ρ，θ）（θ≠kπ，k∈Z）關于極軸所在直線對稱的是（

）A．（-ρ，θ）B．（-ρ，-θ）C．（ρ，2π-θ）

D．（ρ，2π+θ）參考答案：C4.拋物線的焦點為F，點A、B在此拋物線上，且90°，弦AB的中點M在其準線上的射影為,則的最大值為

（

）A.

.

B

C.1

D.參考答案：B略5.已知直線x=3與雙曲線C：的漸近線交于E1,E2兩點,記，任取雙曲線上的點P,若(a,b?R),則下列關于a,b的表述：①4ab=1

②

③

④

⑤ab=1其中正確的是

.參考答案：①④6.（1999?廣東）直線x+y﹣2=0截圓x2+y2=4得的劣弧所對的圓心角是(

)A． B． C． D．參考答案：C【考點】直線和圓的方程的應用．【分析】先求圓心到直線的距離，再求劣弧所對的圓心角．【解答】解：圓心到直線的距離：，圓的半徑是2，劣弧所對的圓心角為60°故選C．【點評】本題考查直線與圓的方程的應用，是基礎題．7.若封閉曲線x2+y2+2mx+2=0的面積不小于4π，則實數m的取值范圍為（）A．（﹣∞，﹣]∪[，+∞） B．[﹣，]C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） D．[﹣2，2]參考答案：A【考點】圓的一般方程．【分析】求出圓的標準方程，求出圓的半徑即可．【解答】解：圓的標準方程為（x+m）2+y2=m2﹣2，則圓的半徑R=，（m2﹣2＞0），若封閉曲線x2+y2+2mx+2=0的面積不小于4π，則πR2=π（m2﹣2）≥4π，即m2﹣2≥4，m2≥6，解得m≤﹣或m≥，故選：A【點評】本題主要考查圓的一般方程的應用，利用配方法求出圓的半徑是解決本題的關鍵．8.已知復數，是的共軛復數，則·=（

）

A、 B、 C、1 D、參考答案：B略9.復數在復平面對應的點在第幾象限

（

） A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限參考答案：D.試題分析：由題意得，復數在復平面對應的點的坐標為（-1，2），故其在第四象限，故選D.考點：復平面直角坐標系.10.在極坐標系中，點M（1，0）關于極點的對稱點為（）A．（1，0） B．（﹣1，π） C．（1，π） D．（1，2π）參考答案：C【考點】Q6：極坐標刻畫點的位置．【分析】（ρ，θ）關于極點的對稱點為（ρ，π+θ）．【解答】解：∵（ρ，θ）關于極點的對稱點為（ρ，π+θ），∴M（1，0）關于極點的對稱點為（1，π）．故選：C．【點評】本題考查一個點關于極點的對稱點的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意極坐標性質的合理運用．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在△ABC中，若a＝3，b＝，∠A＝，則∠C的大小為________．參考答案：12.已知命題p:函數在(0,1)內恰有一個零點；命題q:函數在(0,+∞)上是減函數，若為真命題，則實數a的取值范圍是

．參考答案：13.執行右邊的程序框圖,若，,則輸出的

▲

參考答案：14.設復數（為虛數單位），則的虛部是

．參考答案：-1

略15.關于x的方程有實根時，k的取值范圍是．參考答案：[0,1]【考點】根的存在性及根的個數判斷．【分析】可化為函數y=1﹣kx與函數y=的圖象有交點，作圖象求解【解答】解：關于x的方程有實根?函數y=1﹣kx與函數y=的圖象有交點，函數y=的圖象是圓（x﹣2）2+y2=1（y≥0）的部分，函數y=1﹣kx過定點（0，1），其圖象如下：結合圖象可得k的取值范圍是[0,1]．故答案為：[0,1]【點評】本題考查了函數與方程思想、數形結合的思想應用，屬于中檔題．16.若，則=

___________．參考答案：略17.如果函數y的圖像與曲線恰好有兩個不同的公共點,則實數的取值范圍為______________.參考答案：∪略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，已知四棱錐P﹣ABCD的底面為菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP=．（I）求證：AB⊥PC；（Ⅱ）求二面角B一PC﹣D的余弦值．參考答案：【考點】MT：二面角的平面角及求法；LO：空間中直線與直線之間的位置關系．【分析】（Ⅰ）取AB的中點O，連接PO，CO，AC，由已知條件推導出PO⊥AB，CO⊥AB，從而AB⊥平面PCO，由此能證明AB⊥PC．（Ⅱ）由已知得OP⊥OC，以O為原點，OC為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B一PC﹣D的余弦值．【解答】（Ⅰ）證明：取AB的中點O，連接PO，CO，AC，∵△APB為等腰三角形，∴PO⊥AB…又∵四邊形ABCD是菱形，∠BCD=120°，∴△ACB是等邊三角形，∴CO⊥AB…又CO∩PO=O，∴AB⊥平面PCO，又PC?平面PCO，∴AB⊥PC

…（Ⅱ）解：∵ABCD為菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP=，∴PO=1，CO=，∴OP2+OC2=PC2，∴OP⊥OC，以O為原點，OC為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，則A（0，﹣1，0），B（0，1，0），C（，0，0），P（0，0，1），D（，﹣2，0），=（，﹣1，0），=（），=（0，2，0），設平面DCP的法向量=（x，y，z），則，令x=1，得=（1，0，），設平面PCB的法向量=（a，b，c），，令a=1，得=（1，），cos＜＞==，∵二面角B一PC﹣D為鈍角，∴二面角B一PC﹣D的余弦值為﹣．19.設函數，已知是奇函數.（1）求、的值.

（2）求函數的單調區間與極值.參考答案：解（1），（2）單調增區間單調減區間當時，取極大值，當時，取極大值，略20.（15分）已知拋物線C：y2=2x，O為坐標原點，經過點M（2，0）的直線l交拋物線于A，B兩點，P為拋物線C上一點．（Ⅰ）若直線l垂直于x軸，求|﹣|的值；（Ⅱ）求三角形OAB的面積S的取值范圍．參考答案：（Ⅰ）不妨設A（2，2），B（2，﹣2），P（，t），則|﹣|=|﹣|=2；（Ⅱ）設l：x=ky+2，代入y2=2x中，可得y2﹣2ky﹣4=0設點A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2=2k，y1y2=﹣4，∴|AB|=?，∴三角形OAB的面積S=???=2≥4，∴三角形OAB的面積S的取值范圍為[4，+∞）．21.設命題P：“任意x∈R，x2﹣2x＞a”，命題Q“存在x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”；如果“P或Q”為真，“P且Q”為假，求a的取值范圍．參考答案：（﹣2，+∞）【考點】復合命題的真假． 【專題】函數的性質及應用． 【分析】由命題P成立，求得a＜﹣1，由命題Q成立，求得a≤﹣2，或a≥1．由題意可得p真Q假，或者p假Q真，故有，或．解這兩個不等式組，求得a的取值范圍． 【解答】解：由命題P：“任意x∈R，x2﹣2x＞a”，可得x2﹣2x﹣a＞0恒成立，故有△=4+4a＜0，a＜﹣1． 由命題Q：“存在x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”，可得△′=4a2﹣4（2﹣a）=4a2+4a﹣8≥0， 解得a≤﹣2，或a≥1． 再由“P或Q”為真，“P且Q”為假，可得p真Q假，或者p假Q真． 故有，或． 求得﹣2＜a＜﹣1，或a≥1，即a＞﹣2． 故a的取值范圍為（﹣2，+∞）． 【點評】本題主要考查命題真假的判斷，二次不函數的性質，函數的恒成立問題，體現了分類討論的數學思想，屬于基礎題． 22.（本小題滿分13分）如圖，在直角梯形中，，，，，為上一點，且，，現沿折疊使平面平面，為的中點．（1）求證：平面；（2）能否在邊上找到一點使平面與平面所成角的余弦值為？若存在，試確定點的位置，若不存在請說明理由．

參考答案：（1）證明：在直角梯形中易求得……2分

∴，故,且折疊后與位置關系不變……4分

又∵面面