山西省太原市興安第一中學2021年高一數學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若=(cosα,sinα),=(cosβ,sinβ)，則

(

)A.⊥

B.∥

C.(+)⊥(-)

D.(+)∥(-)參考答案：C略2.在正四面體A－BCD中，棱長為4，M是BC的中點，點P在線段AM上運動(P不與A，M重合)，過點P作直線l⊥平面ABC，l與平面BCD交于點Q，給出下列命題：①BC⊥平面AMD；②Q點一定在直線DM上；③VC－AMD＝4．其中正確的是()

A．①②

B．①③C．②③

D．①②③參考答案：A3.若直線的傾斜角為，則(

)．A、0° B、60°? C、90° D、180°參考答案：B4.已知，，直線，若直線l過線段AB的中點，則a=（

）A.-5 B.5 C.-4 D.4參考答案：B【分析】根據題意先求出線段AB的中點，然后代入直線方程求出的值.【詳解】因為，，所以線段中點為，因為直線過線段的中點，所以，解得.故選5.已知向量，滿足?=0，||=1，||=2，則|2﹣|=（）A．0 B． C．4 D．8參考答案：B【考點】93：向量的模．【分析】利用題中條件，把所求|2|平方再開方即可【解答】解：∵=0，||=1，||=2，∴|2|====2故選B．6.下列函數中，不能用二分法求零點的是

（

）A

B

C

D

參考答案：D略7.設，若3是與的等比中項，則的最小值為（

）.A. B. C. D.參考答案：D【分析】先找到a,b的關系，再利用基本不等式求解.【詳解】因為3是與的等比中項，所以所以a+b=2.所以，當且僅當時取等.故選：D【點睛】本題主要考查利用基本不等式求最值和等比中項的應用，解題的關鍵是“配湊”，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.8.已知函數，則對該函數性質的描述中不正確的是(

)A．的定義域為

B．的最小正周期為2C． 的單調增區間為

D．沒有對稱軸參考答案：C9.如果，那么下列不等式中正確的是（

）. ..

.參考答案：由不等式的性質知：C為正確答案.10.已知是正三角形內部一點，，則的面積與的面積之比是(

)

（A）

（B）

（C）2

（D）參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設函數的部分圖象如圖所示，則的表達式______．參考答案：【分析】根據圖象的最高點得到，由圖象得到，故得，然后通過代入最高點的坐標或運用“五點法”得到，進而可得函數的解析式．【詳解】由圖象可得，∴，∴，∴．又點在函數的圖象上，∴，∴，∴．又，∴．∴．故答案為．【點睛】已知圖象確定函數解析式的方法（1）由圖象直接得到，即最高點的縱坐標．（2）由圖象得到函數的周期，進而得到的值．（3）的確定方法有兩種．①運用代點法求解，通過把圖象的最高點或最低點的坐標代入函數的解析式求出的值；②運用“五點法”求解，即由函數最開始與軸的交點(最靠近原點)的橫坐標為(即令，)確定．12.集合,集合且,則實數_________.參考答案：由，得，所以.13.已知扇形的圓心角為，半徑為，則扇形的面積是____________.參考答案：略14.要測量底部不能到達的電視塔AB的高度,在C點測得塔頂A的仰角是45°,在D點測得塔頂A的仰角是30°,并測得水平面上的∠BCD=120°,CD=40m,則電視塔的高度為

.

參考答案：40m略15.如圖執行右面的程序框圖，那么輸出的=

．參考答案：略16.平面向量中，若，=1，且，則向量=____。參考答案：

解析：方向相同，17.若點x，y滿足約束條件，則的最大值為________，以x，y為坐標的點所形成平面區域的面積等于________．參考答案：3

【分析】由約束條件可得可行域，將的最大值轉化為在軸截距的最大值，根據圖象平移可得過時最大，代入得到結果；平面區域為三角形區域，分別求出三個頂點坐標，從而可求得三角形的底和高，進而得到所求面積.【詳解】由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示：的最大值即為：直線在軸截距的最大值由平移可知，當過時，在軸截距最大由得：

由得：；由得：平面區域面積為：本題正確結果：；【點睛】本題考查線性規劃中求解最值、區域面積類的問題，屬于常考題型.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數是奇函數.（1）求的值；（2）求的反函數；（3）討論的單調性，并用定義證明；（4）當定義域區間為時，的值域為，求的值.參考答案：解：（1）----------1分

對定義域內的任意恒成立

解得，經檢驗---------------------------------------------------------1分

（2）-------------------------2分

----------------------------------------2分（3）由（1）可知函數的定義域為--------------------1分

設

所以，函數-----------------2分

所以當

當.------------------2分（其他方法證明適當給分）（4）

--------------------------------------1分

------2分

略19.（12分）已知函數，（1）判斷f（x）的奇偶性；（2）判斷并用定義證明f（x）在（﹣∞，+∞）上的單調性．參考答案：考點： 函數奇偶性的判斷；函數單調性的判斷與證明．專題： 證明題．分析： （1）由函數的解析式，易判斷其定義域為R，進而判斷f（﹣x）與f（x）的關系，進而根據函數奇偶性的定義，可得答案．（2）任取R上兩個實數x1，x2，且x1＜x2，作差判斷f（x1），f（x2）的大小，進而根據函數單調性的定義得到答案．解答： （1）∵函數的定義域為R，且==﹣f（x）∴函數為奇函數（2）任取（﹣∞，+∞）上兩個實數x1，x2，且x1＜x2，則x1﹣x2＜0，＞0，＞0，則f（x1）﹣f（x2）=﹣=＜0即f（x1）＜f（x2）∴f（x）是（﹣∞，+∞）上的增函數；點評： 本題考查的知識點是函數奇偶性的判斷，函數單調性的判斷與證明，熟練掌握函數奇偶性的證明步驟及單調性證明的方法和步驟是解答本題的關鍵．20.在中，，，分別是角，，的對邊，且，，．求：（1）的值．（2）的面積．參考答案：（） （）（）∵，，∴，又，，∴由正弦定理得：．（），，，，，，∴，，．21.已知數列｛｝的通項公式＝;數列｛｝的首項＝3，其前n項和為，且滿足關系式.

（1）求｛｝的通項公式；（2）求證：數列｛｝是一個等比數列；若它的前n項和>，求n的取值范圍.參考答案：解析：（1）∵（n∈N※）∴數列｛｝的前n項和（證明從略）

∴

∴由得（n∈N※）∴

當n≥2時，∴bn＝4n－1（n∈N※）

(2)證：設，則（常數）

∴數列｛｝是首項為2＝，公比為的等比數列

根據這一結論：

∴

由此得4（n－1）>1即n≥2

∴所求n的取值范圍為｛n|n≥2，n∈N※｝.

22.（12分）如圖，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中點．求證：（1）PA∥平面BDE；（2）BD⊥平面PAC．參考答案：考點： 直線與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．專題： 空間位置關系與距離．分析： （1）連接OE，根據三角形中位線定理，可得PA∥EO，進而根據線面平行的判定定理，得到PA∥平面BDE．（2）根據線面垂直的定義，可由PO⊥底面ABCD得到BD⊥PO，結合四邊形ABCD是正方形及線面垂直的判定定理可得BD⊥平面PAC解答： 證明（1）連接OE，在△CA