山西省太原市三十二中學高三數學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知雙曲線+=1，焦點在y軸上，若焦距為4，則a等于（）A． B．5 C．7 D．參考答案：D【考點】KC：雙曲線的簡單性質．【分析】根據題意，由雙曲線焦點的位置可得，解可得a的范圍，又由其焦距為4，即c=2，由雙曲線的幾何性質可得c2=（2﹣a）+（3﹣a）=4，解可得a的值．【解答】解：根據題意，雙曲線+=1，焦點在y軸上，則有，解可得a＜2，又由其焦距為4，即c=2，則有c2=（2﹣a）+（3﹣a）=4，解可得a=；故選：D．2.若向量，且，則銳角等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C3.已知集合，，則（

）A．[1,+∞)

B.(0,1)

C.(?-∞,0)

D.(0,+∞)參考答案：B4.已知為虛數單位，則復數的模等于A．

B．

C．

D．參考答案：D略5.若,則（

）A．1

B．

C．

D．參考答案：C

6.若圓與直線交于不同的兩點，則實數的取值范圍為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C7.的值為

A. B. C. D.參考答案：C8.函數的部分圖象如圖所示,則(

)A.4

B.

C.2

D.參考答案：A9.如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，其中曲線部分是圓弧，則此幾何體的表面積為（）A．10+2π B．12+3π C．20+4π D．16+5π參考答案：B【考點】由三視圖求面積、體積．【分析】由三視圖知幾何體是上部為半圓柱體，下部為長方體的組合體，結合圖中數據求出它的表面積．【解答】解：由三視圖知，該幾何體是上部為半圓柱體，下部為長方體的組合體，其表面積為S=S長方體+S半圓柱=（1×2×2+2×1×2+22）+（π?12+π?1?2）=12+3π．故選：B．10.若（i為虛數單位）的共軛復數為（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i參考答案：D【考點】A5：復數代數形式的乘除運算．【分析】直接由復數代數形式的乘除運算化簡復數z得答案．【解答】解：=，則z的共軛復數為：i．故選：D．【點評】本題考查了復數代數形式的乘除運算，考查了復數的基本概念，是基礎題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若m＞1，則函數f（m）=（1﹣）dx的最小值為．參考答案：﹣1【考點】定積分．【分析】根據微積分基本定理和基本不等式，計算即可．【解答】解：f（m）=（1﹣）dx=（x+|）=m+﹣5≥2=4﹣5=﹣1，當且僅當m=2時等號成立．故答案為：﹣1．12.函數，其中，對，恒有，若，則的取值范圍是

．參考答案：13.

參考答案：150°14.已知圓直線（1）圓的圓心到直線的距離為

．(2)圓上任意一點到直線的距離小于2的概率為

．參考答案：（1）5（2）本題考查點到直線的距離公式、幾何概型問題，難度較大。（1）由點到直線的距離公式得；（2）圓上到直線L距離為2的點所在的弦長為，此弦所對的圓心角為，所以所求概率為。15.函數處取得極值，則的值為

參考答案：答案：016.在平面幾何里有射影定理：設△ABC的兩邊AB⊥AC，D是A點在BC上的射影，則AB2＝BD·BC．拓展到空間，在四面體A—BCD中，DA⊥面ABC，點O是A在面BCD內的射影，且O在面BCD內，類比平面三角形射影定理，△ABC，△BOC，△BDC三者面積之間關系為

．參考答案：17.函數的單調增區間為

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在平面四邊形ABCD中，已知,,現將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC，設點F為棱AD的中點．（1）求證：DC平面ABC；（2）求直線與平面ACD所成角的余弦值．參考答案：（1）證明：在圖甲中∵且∴,即在圖乙中，∵平面ABD平面BDC，且平面ABD平面BDC＝BD∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD．又，∴DC⊥BC,且∴DC平面ABC．

（2）解：作BE⊥AC，垂足為E。由（1）知平面ABC⊥平面ACD，又平面ABC平面ACD=AC，∴BF⊥平面ADC，∴即為直線與平面ACD所成角設得AB=，AC=∴，，

∴∴直線與平面ACD所成角的余弦值為。略19.在平面直角坐標系x0y中，已知點A（﹣，0），B（），E為動點，且直線EA與直線EB的斜率之積為﹣．（Ⅰ）求動點E的軌跡C的方程；（Ⅱ）設過點F（1，0）的直線l與曲線C相交于不同的兩點M，N．若點P在y軸上，且|PM|=|PN|，求點P的縱坐標的取值范圍．參考答案：考點：圓錐曲線的軌跡問題；直線與圓錐曲線的綜合問題．專題：綜合題；圓錐曲線中的最值與范圍問題．分析：（Ⅰ）設動點E的坐標為（x，y），由點A（﹣，0），B（），E為動點，且直線EA與直線EB的斜率之積為﹣，知，由此能求出動點E的軌跡C的方程．（Ⅱ）設直線l的方程為y=k（x﹣1），將y=k（x﹣1）代入，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，由題設條件能推導出直線MN的垂直平分線的方程為y+=﹣，由此能求出點P縱坐標的取值范圍．解答： 解：（Ⅰ）設動點E的坐標為（x，y），∵點A（﹣，0），B（），E為動點，且直線EA與直線EB的斜率之積為﹣，∴，整理，得，x≠，∴動點E的軌跡C的方程為，x．（Ⅱ）當直線l的斜率不存在時，滿足條件的點P的縱坐標為0，當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x﹣1），將y=k（x﹣1）代入，并整理，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，△=8k2+8＞0，設M（x1，y1），N（x2，y2），則，x1x2=，設MN的中點為Q，則，，∴Q（，﹣），由題意知k≠0，又直線MN的垂直平分線的方程為y+=﹣，令x=0，得yP=，當k＞0時，∵2k+，∴0＜；當k＜0時，因為2k+≤﹣2，所以0＞yP≥﹣=﹣．綜上所述，點P縱坐標的取值范圍是[﹣]．點評：本題考查動點的軌跡方程的求法，考查點的縱坐標的取值范圍的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意直線與橢圓位置的綜合運用．20.（12分）

數列的前項和記為，，．（1）當為何值時，數列是等比數列？（2）在（1）的條件下，若等差數列的前項和有最大值，且，又

成等比數列，求．參考答案：解析：（1）由，可得，兩式相減得，∴當時，是等比數列，…………………3分要使時，是等比數列，則只需，從而．

……6分（2）設的公差為d，由得，于是，

…………………8分故可設，又，由題意可得，解得，∵等差數列的前項和有最大值，∴，

…………10分∴．

………………12分21.(本題滿分14分)設公差為（）的等差數列與公比為（）的等比數列有如下關系：，，．（Ⅰ）求和的通項公式；（Ⅱ）記，，，求集合中的各元素之和。參考答案：解：（I）由已知Ks5u

得或

又

，

（Ⅱ）集合與集合的相同元素和為：

略22.已知f（x）=sinx+﹣mx（m≥0）．（1）若f（x）在[0，+∞）上單調遞增，求實數m的取值范圍；（2）當a≥1時，?x∈[0，+∞）不等式sinx﹣cosx≤eax﹣2是否恒成立？請說明理由．參考答案：【考點】利用導數研究函數的單調性；函數恒成立問題．【分析】（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；（2）問題轉化為不等式eax﹣﹣x﹣1≥0對x∈[0，+∞）恒成立，構造函數M（x）=ex﹣﹣x﹣1，根據函數的單調性判斷即可．【解答】解：（1）由題意得f′（x）=cosx+﹣m，設g（x）=cosx+﹣m，則g′（x）=﹣sinx+x，令h（x）=﹣sinx+x，則h′（x）=﹣cosx+1≥0，故h（x）在[0，+∞）遞增，故g′（x）≥g′（0）=0，故g（x）在[0，+∞）遞增，即g（x）≥g（0）=1﹣m，故要使f（x）在[0，+∞）遞增，則1﹣m≥0，即m≤1，故m的范圍是m≤1；（2）由（1）可得，x∈[0，+∞）時，sinx≤x且cosx+﹣m≥1﹣m，即cosx≥1﹣，故sinx﹣cosx≤x﹣（1﹣），故若?x∈[0，+∞），不等式x﹣（1﹣）≤eax﹣2恒成立，則不等式sinx﹣cosx≤eax﹣2，?x∈[0，+∞）恒成立，要使不等式x﹣（1﹣）≤eax﹣2，?x∈[0，+∞）恒成立，即使不等式eax﹣﹣x﹣1≥0對x∈[0，+∞）恒成立，構造函數M（x）=ex﹣﹣x﹣1，則M′（x