山西省大同市張西河中學2022年高二數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知既有極大值又有極小值，則的取值范圍為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D2.已知拋物線關于x軸對稱，它的頂點在坐標原點O，并且經過點M（2，y0）．若點M到該拋物線焦點的距離為3，則|OM|=（）A． B． C．4 D．參考答案：B【考點】拋物線的簡單性質．【分析】關鍵點M（2，y0）到該拋物線焦點的距離為3，利用拋物線的定義，可求拋物線方程，進而可得點M的坐標，由此可求|OM|．【解答】解：由題意，拋物線關于x軸對稱，開口向右，設方程為y2=2px（p＞0）∵點M（2，y0）到該拋物線焦點的距離為3，∴2+=3∴p=2∴拋物線方程為y2=4x∵M（2，y0）∴∴|OM|=故選B．3.已知f(x)=·sinx，則=(

)A.+cos1

B.sin1+cos1

C.sin1-cos1

D.sin1+cos1參考答案：B4.在△ABC中，（、b、c分別為角A、B、C的對邊），則△ABC的形狀為

（

）

A．正三角形

B．直角三角形

C．等腰三角形或直角三角形

D．等腰直角三角形參考答案：B略5.在3和9之間插入兩個正數,使前三個數成等比數列,后三個數成等差數列,則插入的這兩個正數之和為

A.

B.

C.

D.參考答案：B略6.兩封信隨機投入A，B，C三個空郵箱，則A郵箱的信件數的數學期望（

）A

B

C

D參考答案：B略7.設，則（

）A．0.16

B．0.32

C．0.84

D．0.64參考答案：A8.曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形面積為（

）Ａ、

Ｂ、

Ｃ、

Ｄ、

參考答案：A9.不論k為何值，直線y=kx+1與橢圓+=1有公共點，則實數m的范圍是(

)A.(0，1)

B.

C.

D.(0，7)參考答案：C略10.設為等比數列的前n項和，已知，，則公比q=（A）3

（B）4

（C）5

（D）6參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.觀察下列不等式

，，

……照此規律，第五個不等式為

；參考答案：由已知中的不等式，，

……得出式子左邊是連續正整數平方的倒數和，最后一個數的分母是不等式序號n+1的平方，右邊分式中的分子與不等式序號n的關系是2n+1，分母是不等式的序號n+1，故可以歸納出第五個不等式是

。12.如果的展開式中各項系數之和為128，則開式中的系數是（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：C略13.設的內角所對的邊為;則下列命題正確的是

。①若;則

②若;則

③若;則

④若;則⑤若;則參考答案：①②③14.已知，且，若恒成立,則實數ｍ的取值范圍是________.參考答案：-4<m<2

略15.如下圖所示的數陣中，第10行第2個數字是________．參考答案：16.一個大型噴水池的中央有一個強力噴水柱，為了測量噴水柱噴水的高度，某人在噴水柱正西方向的點A測的水柱頂端的仰角為45°，沿點A向北偏東30°前進100m到達點B．在B點測得水柱頂端的仰角為30°，則水柱的高度是．參考答案：50m【考點】解三角形的實際應用．【分析】如圖所示，設水柱CD的高度為h．在Rt△ACD中，由∠DAC=45°，可得AC=h．由∠BAE=30°，可得∠CAB=60°．在Rt△BCD中，∠CBD=30°，可得．在△ABC中，由余弦定理可得：BC2=AC2+AB2﹣2AC?ABcos60°．代入即可得出．【解答】解：如圖所示，設水柱CD的高度為h．在Rt△ACD中，∵∠DAC=45°，∴AC=h．∵∠BAE=30°，∴∠CAB=60°．在Rt△BCD中，∠CBD=30°，∴．在△ABC中，由余弦定理可得：BC2=AC2+AB2﹣2AC?ABcos60°．∴=h2+1002﹣，化為h2+50h﹣5000=0，解得h=50．故答案為：50m．17.設x，y∈R，a＞1，b＞1.若ax＝by＝5，a＋b＝10，則的最大值為________．參考答案：2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某車間20名工人年齡數據如下表：年齡（歲）19242630343540合計工人數（人）133543120（1）求這20名工人年齡的眾數與平均數；（2）以十位數為莖，個位數為葉，作出這20名工人年齡的莖葉圖；（3）從年齡在24和26的工人中隨機抽取2人，求這2人均是24歲的概率.參考答案：（1）30,30；（2）詳見解析；（3）.【詳解】試題分析：（1）利用車間名工人年齡數據表能求出這名工人年齡的眾數和平均數．

（2）利用車間名工人年齡數據表能作出莖葉圖．

（3）記年齡為歲的三個人為；年齡為歲的三個人為，利用列舉法能求出這人均是歲的概率．試題解析：（1）由題意可知，這名工人年齡的眾數是，這名工人年齡的平均數為：.（2）這名工人年齡的莖葉圖如圖所示：（3）記年齡為歲的三個人為；年齡為歲的三個人為，則從這人中隨機抽取人的所有可能為：，，共種.滿足題意的有種，故所求的概率為.點睛：古典概型中基本事件數的探求方法(1)列舉法.(2)樹狀圖法：適合于較為復雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區別的題目，常采用樹狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復雜的題目簡單化、抽象的題目具體化.(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素數目較多的題目.19.已知二次函數在上有且只有一個零點，求實數的取值范圍．參考答案：解：⑴當方程在上有兩個相等實根時，且，此時無解．⑵當方程有兩個不相等的實根時，①

有且只有一根在上時，有，即，解得②

當時，＝０，，解得，合題意．③

時，，方程可化為，解得合題意．綜上所述，實數的取值范圍為20.在數列{an}中，a1=1，當n≥2時，滿足an﹣an﹣1+2an?an﹣1=0．（Ⅰ）求證：數列{}是等差數列，并求數列{an}的通項公式；（Ⅱ）令bn=，數列{bn}的前n項和為Tn，求使得2Tn（2n+1）≤m（n2+3）對所有n∈N*都成立的實數m的取值范圍．參考答案：【考點】數列的求和；數列遞推式．【專題】等差數列與等比數列．【分析】（I）當n≥2時，滿足an﹣an﹣1+2an?an﹣1=0．可得=2，利用等差數列的通項公式即可得出．（II）bn===，利用“裂項求和”可得數列{bn}的前n項和Tn=．2Tn（2n+1）≤m（n2+3）化為2n≤m（n2+3），化為．再利用函數與數列的單調性即可得出．【解答】（I）證明：∵當n≥2時，滿足an﹣an﹣1+2an?an﹣1=0．∴=2，∴數列{}是等差數列，首項為=1，公差d=2．∴=2n﹣1．（II）解：bn===，∴數列{bn}的前n項和為Tn=+…+==．∴2Tn（2n+1）≤m（n2+3）化為2n≤m（n2+3），化為．令f（n）==，函數g（x）=（x＞0），g′（x）==，令g′（x）＞0，解得，此時函數g（x）單調遞增；令g′（x）＜0，解得，此時函數g（x）單調遞減．∴當x=時，函數g（x）取得最小值．∴當n=1，2時，f（n）單調遞增；當n≥2時，f（n）單調遞減．∴當n=2時，f（n）取得最大值，∴．【點評】本題考查了等差數列的通項公式、“裂項求和”、函數與數列的單調性，考查了恒成立問題的等價轉化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．21.已知數列{an}滿足a1+a2+…+an=an+1（n∈N*），數列{bn}為等比數列，a1=b1=2，a2=b2（Ⅰ）求{an}、{bn}的通項公式．（Ⅱ）若對每個正整數k，在bk和bk+1之間插入ak個2，得到一個新數列{cn}．設Tn是數列{cn}的前n項和，試求滿足Tm=2cm+1的所有正整數m．參考答案：【考點】數列的求和；數列遞推式．【專題】等差數列與等比數列．【分析】（Ⅰ）由式子求出a2，由題意求出公比，根據等比數列的通項公式求出bn，利用遞推公式和累積法求出an；（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=2n，ak=2k，由已知寫出c1=a1=2，c2=c3=2，c4=a2=4，c5=c6=c7=c8=2，c9=a3=8，…，討論m=1、2，m≥3，求出Tm、2cm+1，列出方程并整理，討論方程的解，從而得到結論．【解答】解：（Ⅰ）由題意知，a1=2，a1+a2+…+an=an+1（n∈N*），所以a1=a2，解得a2=4，因為數列{bn}為等比數列，a1=b1=2，a2=b2，所以數列{bn}的公比是2，即bn=2?2n﹣1=2n，由a1+a2+…+an=an+1（n∈N*）得，當n≥2時，a1+a2+…+an﹣1=an（n∈N*），兩個式子相減得，an=an+1﹣an，即，當n=1時，=2符合上式，當n≥2時，，，，…，，以上n﹣1個式子相乘得，，所以an=2n；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn=2n，ak=2k，由題意知，c1=b1=2，c2=c3=2，c4=b2=4，c5=c6=c7=c8=2，c9=b3=8，…，則當m=1時，T1≠2c2，不合題意，當m=2時，T2=2c3，適合題意．當m≥3時，若cm+1=2，則Tm≠2cm+1一定不適合題意，從而cm+1必是數列{bn}中的某一項bk+1，則Tm=b1+2+2+b2+2+2+2+2+b3+2+…+2+b4+2+…+b5+2+…+b6+…+bk﹣1+2+…+bk，=（2+22+23+…+2k）+2（2+4+…+2k）=2×（2k﹣1）+k（2+2k）=2k+1+2k2+2k﹣2，又2cm+1=2bk+1=2×2k+1，∴2k+1+2k2+2k﹣2=2×2k+1，即2k﹣k2﹣k+1=0，∴2k+1=k2+k，∵2k+1為奇數，k2+k=k（k+1）為偶數，∴上式無解．即當m≥3時，Tm≠2cm+1，綜上知，滿足題意的正整數只有m=2．【點評】本題考查等比數列的通項公式，累積法求出數列的通項公式，等差、等比數列的前n項和公式，數列的求和方法：分組求和，同時考查邏輯推理能力，屬于綜合題．22.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的一個長軸頂點為A（2，0），離心率為，直線y=k（x﹣1）與橢圓C交于不同的兩點M，N，（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）當△AMN的面積為時，求k的值．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標準方程．【分析】（Ⅰ）根據橢圓一個頂點為A（2，0），離心率為，可建立方程組，從而可求橢圓C的方程；（Ⅱ）直線y=k（x﹣1）與橢圓C聯立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，從而可求|MN|，A（2，0）到