章末分層突破[自我校對]①－1②a＝c，b＝d③z＝a－bi④Z(a，b)⑤eq\o(OZ,\s\up8(→))⑥a＋c⑦(b＋d)i⑧(a－c)＋(b－d)i復數的概念正確確定復數的實、虛部是準確理解復數的有關概念(如實數、虛數、純虛數、相等復數、共軛復數、復數的模)的前提.兩復數相等的充要條件是復數問題轉化為實數問題的依據.求字母的范圍時一定要關注實部與虛部自身有意義.復數z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，當x為何實數時，(1)z∈R；(2)z為虛數.【精彩點撥】根據復數的分類列方程求解.【規范解答】(1)因為一個復數是實數的充要條件是虛部為0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－3x－3>0，①,log2（x－3）＝0，②,x－3>0，③))由②得x＝4，經驗證滿足①③式.所以當x＝4時，z∈R.(2)因為一個復數是虛數的充要條件是虛部不為0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－3x－3>0，①,log2（x－3）≠0，②,x－3>0，③))由①得x>eq\f(3＋\r(21),2)或x<eq\f(3－\r(21),2).由②得x≠4，由③得x>3.所以當x>eq\f(3＋\r(21),2)且x≠4時，z為虛數.[再練一題]1.(1)設i是虛數單位，若復數a－eq\f(10,3－i)(a∈R)是純虛數，則a的值為()A.－3 B.－1 (2)設復數z滿足i(z＋1)＝－3＋2i(i是虛數單位)，則復數z的實部是__________.【解析】(1)因為a－eq\f(10,3－i)＝a－eq\f(10（3＋i）,（3－i）（3＋i）)＝a－eq\f(10（3＋i）,10)＝(a－3)－i，由純虛數的定義，知a－3＝0，所以a＝3.(2)法一：設z＝a＋bi(a，b∈R)，則i(z＋1)＝i(a＋bi＋1)＝－b＋(a＋1)i＝－3＋2i.由復數相等的充要條件，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－b＝－3，,a＋1＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝3.))故復數z的實部是1.法二：由i(z＋1)＝－3＋2i，得z＋1＝eq\f(－3＋2i,i)＝2＋3i，故z＝1＋3i，即復數z的實部是1.【答案】(1)D(2)1復數的四則運算復數加減乘運算可類比多項式的加減乘運算，注意把i看作一個字母(i2＝－1)，除法運算注意應用共軛的性質z·eq\o(z,\s\up8(－))為實數.(1)設i是虛數單位，eq\o(z,\s\up8(－))表示復數z的共軛復數.若z＝1＋i，則eq\f(z,i)＋i·eq\o(z,\s\up8(－))＝()A.－2 B.－2i (2)設復數z滿足(z－2i)(2－i)＝5，則z＝()＋3i －3i＋2i －2i【精彩點撥】(1)先求出eq\o(z,\s\up8(－))及eq\f(z,i)，結合復數運算法則求解.(2)利用方程思想求解并化簡.【規范解答】(1)∵z＝1＋i，∴eq\o(z,\s\up8(－))＝1－i，eq\f(z,i)＝eq\f(1＋i,i)＝eq\f(－i2＋i,i)＝1－i，∴eq\f(z,i)＋i·eq\o(z,\s\up8(－))＝1－i＋i(1－i)＝(1－i)(1＋i)＝2.故選C.(2)由(z－2i)(2－i)＝5，得z＝2i＋eq\f(5,2－i)＝2i＋eq\f(5（2＋i）,（2－i）（2＋i）)＝2i＋2＋i＝2＋3i.【答案】(1)C(2)A[再練一題]2.已知(1＋2i)eq\o(z,\s\up8(－))＝4＋3i，則eq\f(z,\o(\s\up5(-),z))的值為()\f(3,5)＋eq\f(4,5)i \f(3,5)－eq\f(4,5)iC.－eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)i D.－eq\f(3,5)－eq\f(4,5)i【解析】因為(1＋2i)eq\o(z,\s\up8(－))＝4＋3i，所以eq\o(z,\s\up8(－))＝eq\f(4＋3i,1＋2i)＝eq\f(（4＋3i）（1－2i）,5)＝2－i，所以z＝2＋i，所以eq\f(z,\o(\s\up5(-),z))＝eq\f(2＋i,2－i)＝eq\f(（2＋i）2,5)＝eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)i.【答案】A復數的幾何意義1.復數的幾何表示法：即復數z＝a＋bi(a，b∈R)可以用復平面內的點Z(a，b)來表示.此類問題可建立復數的實部與虛部應滿足的條件，通過解方程(組)或不等式(組)求解.2.復數的向量表示：以原點為起點的向量表示的復數等于它的終點對應的復數；向量平移后，此向量表示的復數不變，但平移前后起點、終點對應的復數要改變.(1)在復平面內，復數eq\f(i,1＋i)對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限(2)在復平面內，復數eq\f(1－2i,2＋i)對應的點的坐標為()A.(0，－1) B.(0，1)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5))) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，\f(3,5)))【精彩點撥】先把復數z化為復數的標準形式，再寫出其對應坐標.【規范解答】(1)復數eq\f(i,1＋i)＝eq\f(i（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝eq\f(1＋i,2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i.∴復數對應點的坐標是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2))).∴復數eq\f(i,1＋i)在復平面內對應的點位于第一象限.故選A.(2)∵eq\f(1－2i,2＋i)＝eq\f(（1－2i）（2－i）,（2＋i）（2－i）)＝eq\f(－5i,5)＝－i，其對應的點為(0，－1)，故選A.【答案】(1)A(2)A[再練一題]3.(1)已知復數z對應的向量如圖5-1所示，則復數z＋1所對應的向量正確的是()圖5-1(2)若i為虛數單位，圖5-2中復平面內點Z表示復數z，則表示復數eq\f(z,1＋i)的點是()圖5-2【解析】(1)由題圖知，z＝－2＋i，∴z＋1＝－2＋i＋1＝－1＋i，故z＋1對應的向量應為選項A.(2)由題圖可得z＝3＋i，所以eq\f(z,1＋i)＝eq\f(3＋i,1＋i)＝eq\f(（3＋i）（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝eq\f(4－2i,2)＝2－i，則其在復平面上對應的點為H(2，－1).【答案】(1)A(2)D轉化與化歸思想一般設出復數z的代數形式，即z＝x＋yi(x，y∈R)，則涉及復數的分類、幾何意義、模的運算、四則運算、共軛復數等問題，都可以轉化為實數x，y應滿足的條件，即復數問題實數化的思想是本章的主要思想方法.設z∈C，滿足z＋eq\f(1,z)∈R，且z－eq\f(1,4)是純虛數，求z.【精彩點撥】本題關鍵是設出z代入題中條件進而求出z.【規范解答】設z＝x＋yi(x，y∈R)，則z＋eq\f(1,z)＝x＋yi＋eq\f(1,x＋yi)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(x,x2＋y2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(y,x2＋y2)))i，∵z＋eq\f(1,z)∈R，∴y－eq\f(y,x2＋y2)＝0，解得y＝0或x2＋y2＝1，又∵z－eq\f(1,4)＝x＋yi－eq\f(1,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))＋yi是純虛數.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)＝0，,y≠0，))∴x＝eq\f(1,4)，代入x2＋y2＝1中，求出y＝±eq\f(\r(15),4)，∴復數z＝eq\f(1,4)±eq\f(\r(15),4)i.[再練一題]4.滿足z＋eq\f(5,z)是實數，且z＋3的實部與虛部是相反數的虛數z是否存在？若存在，求出虛數z；若不存在，請說明理由.【解】設虛數z＝x＋yi(x，y∈R，且y≠0)，則z＋eq\f(5,z)＝x＋yi＋eq\f(5,x＋yi)＝x＋eq\f(5x,x2＋y2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(5y,x2＋y2)))i，z＋3＝x＋3＋yi.由已知，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－\f(5y,x2＋y2)＝0，,x＋3＝－y，))因為y≠0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝5，,x＋y＝－3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝－1.))所以存在虛數z＝－1－2i或z＝－2－i滿足題設條件.1.(2023·全國卷Ⅱ)設復數z滿足z＋i＝3－i，則eq\o(z,\s\up8(－))＝()A.－1＋2i －2i＋2i －2i【解析】由z＋i＝3－i得z＝3－2i，∴eq\o(z,\s\up8(－))＝3＋2i，故選C.【答案】C2.(2023·廣東高考)若復數z＝i(3－2i)(i是虛數單位)，則eq\o(z,\s\up8(－))＝()－3i ＋3i＋2i －2i【解析】∵z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，∴eq\o(z,\s\up8(－))＝2－3i.【答案】A3.(2023·安徽高考)設i是虛數單位，則復數eq\f(2i,1－i)在復平面內所對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】eq\f(2i,1－i)＝eq\f(2i（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝eq\f(2（i－1）,2)＝－1＋i，由復數的幾何意義知－1＋i在復平面內的對應點為(－1，1)，該點位于第二象限，故選B.【答案】B4.(2023·山東高考)若復數z滿足eq\f(\o(\s\up5(-),z),1－i)＝i，其中i為虛數單位，則z＝()－i ＋iC.－1－i D.－1＋i【解析】由已知得eq\o(z,\s\up8(－))＝i(1－i)＝i＋1，則z＝1－i，故選A.【答案】A5.(2023·全國卷Ⅰ)設(1＋2i)(a＋i)的實部與虛部相等，其中a為實數，則a＝()A.－3 B.－2 【解析】(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(1＋2a)i，由題意知a－2＝1＋2a，解得a＝－3，故選A.【答案】A章末綜合測評(五)數系的擴充與復數的引入(時間120分鐘，滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1.已知a，b∈C，下列命題正確的是()<5i ＝0?|a|＝0C.若|a|＝|b|，則a＝±b ≥0【解析】A選項中，虛數不能比較大小；B選項正確；C選項中，當a，b∈R時，結論成立，但在復數集中不一定成立，如|i|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))，但i≠－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i或eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i；D選項中，當a∈R時結論成立，但在復數集中不一定成立，如i2＝－1<0.【答案】B是虛數單位，則eq\f(i,1＋i)的虛部是()\f(1,2)i B.－eq\f(1,2)i\f(1,2) D.－eq\f(1,2)【解析】eq\f(i,1＋i)＝eq\f(i（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝eq\f(1＋i,2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i.【答案】C\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,1＋i)))＝()\r(2) \r(2) 【解析】由eq\f(2,1＋i)＝eq\f(2（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝eq\f(2－2i,2)＝1－i，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,1＋i)))＝|1－i|＝eq\r(2).故選C.【答案】C4.eq\o(z,\s\up12(-))是z的共軛復數.若z＋eq\o(z,\s\up12(-))＝2，(z－eq\o(z,\s\up12(-)))i＝2(i為虛數單位)，則z＝()＋i B.－1－iC.－1＋i －i【解析】法一：設z＝a＋bi，a，b為實數，則eq\o(z,\s\up12(－))＝a－bi，∵z＋eq\o(z,\s\up12(－))＝2a＝2，∴a＝1.又(z－eq\o(z,\s\up12(－)))i＝2bi2＝－2b＝2，∴b＝－1.故z＝1－i.法二：∵(z－eq\o(z,\s\up12(－)))i＝2，∴z－eq\o(z,\s\up12(－))＝eq\f(2,i)＝－2i.又z＋eq\o(z,\s\up12(－))＝2，∴(z－eq\o(z,\s\up12(－)))＋(z＋eq\o(z,\s\up12(－)))＝－2i＋2，∴2z＝－2i＋2，∴z＝1－i.【答案】D5.復數eq\f(i,1－i)的共軛復數為()【導學號：94210087】A.－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i \f(1,2)＋eq\f(1,2)i\f(1,2)－eq\f(1,2)i D.－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i【解析】∵eq\f(i,1－i)＝eq\f(i（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝eq\f(－1＋i,2)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i，∴其共軛復數為－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i.故選D.【答案】D6.下面是關于復數z＝eq\f(2,－1＋i)的四個命題：p1：|z|＝2；p2：z2＝2i；p3：z的共軛復數為1＋i；p4：z的虛部為－1.其中的真命題為()，p3 ，p2，p4 ，p4【解析】∵z＝eq\f(2,－1＋i)＝－1－i，∴|z|＝eq\r(（－1）2＋（－1）2)＝eq\r(2)，∴p1是假命題；∵z2＝(－1－i)2＝2i，∴p2是真命題；∵z＝－1＋i，∴p3是假命題；∵z的虛部為－1，∴p4是真命題.其中的真命題為p2，p4.【答案】C7.復平面上平行四邊形ABCD的四個頂點中，A，B，C所對應的復數分別為2＋3i，3＋2i，－2－3i，則D點對應的復數是()A.－2＋3i B.－3－2i－3i －2i【解析】設D(x，y)，由平行四邊形對角線互相平分得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(2＋（－2）,2)＝\f(3＋x,2)，,\f(3＋（－3）,2)＝\f(2＋y,2)，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－2，))∴D(－3，－2)，∴對應復數為－3－2i.【答案】B8.若復數(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是純虛數，則()＝－1 ≠－1且a≠2≠－1 ≠2【解析】要使復數不是純虛數，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－a－2≠0，,|a－1|－1≠0，))解得a≠－1.【答案】C9.若a，b∈R，則復數(a2－6a＋10)＋(－b2＋4b－5)i對應的點在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】復數對應點的坐標為(a2－6a＋10，－b2＋4b－5)，又∵a2－6a＋10＝(a－3)2＋1>0，－b2＋4b－5＝－(b－2)2－1<0.∴復數對應的點在第四象限.故選D.【答案】D10.如果復數z＝3＋ai滿足條件|z－2|<2，那么實數a的取值范圍是()A.(－2eq\r(2)，2eq\r(2)) B.(－2，2)C.(－1，1) D.(－eq\r(3)，eq\r(3))【解析】因為|z－2|＝|3＋ai－2|＝|1＋ai|＝eq\r(1＋a2)<2，所以a2＋1<4，所以a2<3，即－eq\r(3)<a<eq\r(3).【答案】D11.若1＋eq\r(2)i是關于x的實系數方程x2＋bx＋c＝0的一個復數根，則()＝2，c＝3 ＝－2，c＝3＝－2，c＝－1 ＝2，c＝－1【解析】因為1＋eq\r(2)i是實系數方程的一個復數根，所以1－eq\r(2)i也是方程的根，則1＋eq\r(2)i＋1－eq\r(2)i＝2＝－b，(1＋eq\r(2)i)(1－eq\r(2)i)＝3＝c，解得b＝－2，c＝3.【答案】B12.設z是復數，則下列命題中的假命題是()A.若z2≥0，則z是實數B.若z2<0，則z是虛數C.若z是虛數，則z2≥0D.若z是純虛數，則z2<0【解析】設z＝a＋bi(a，b∈R)，選項A，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi≥0，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ab＝0，,a2≥b2，))故b＝0或a，b都為0，即z為實數，正確.選項B，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi<0，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ab＝0，,a2<b2，))則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b≠0，))故z一定為虛數，正確.選項C，若z為虛數，則b≠0，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，由于a的值不確定，故z2無法與0比較大小，錯誤.選項D，若z為純虛數，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b≠0，))則z2＝－b2<0，正確.【答案】C二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.將答案填在題中的橫線上)13.(2023·重慶高考)設復數a＋bi(a，b∈R)的模為eq\r(3)，則(a＋bi)(a－bi)＝________.【解析】∵|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(3)，∴(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝3.【答案】3為正實數，i為虛數單位，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a＋i,i)))＝2，則a＝__________.【解析】eq\f(a＋i,i)＝eq\f(（a＋i）·（－i）,i·（－i）)＝1－ai，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a＋i,i)))＝|1－ai|＝eq\r(a2＋1)＝2，所以a2＝3.又a為正實數，所以a＝eq\r(3).【答案】eq\r(3)15.設a，b∈R，a＋bi＝eq\f(11－7i,1－2i)(i為虛數單位)，則a＋b的值為__________.【導學號：94210088】【解析】a＋bi＝eq\f(11－7i,1－2i)＝eq\f(（11－7i）（1＋2i）,（1－2i）（1＋2i）)＝eq\f(25＋15i,5)＝5＋3i，依據復數相等的充要條件可得a＝5，b＝3.從而a＋b＝8.【答案】816.若復數z滿足|z－i|≤eq\r(2)(i為虛數單位)，則z在復平面內所對應的圖形的面積為________.【解析】設z＝x＋yi(x，y∈R)，則由|z－i|≤eq\r(2)可得eq\r(x2＋（y－1）2)≤eq\r(2)，即x2＋(y－1)2≤2，它表示以點(0，1)為圓心，eq\r(2)為半徑的圓及其內部，所以z在復平面內所對應的圖形的面積為2π.【答案】2π三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分10分)計算：(1)(eq\r(2)＋eq\r(2)i)2(4＋5i)；(2)eq\f(2＋2i,（1－i）2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),1＋i)))eq\s\up12(2016).【解】(1)(eq\r(2)＋eq\r(2)i)2(4＋5i)＝2(1＋i)2(4＋5i)＝4i(4＋5i)＝－20＋16i.(2)eq\f(2＋2i,（1－i）2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),1＋i)))eq\s\up12(2023)＝eq\f(2＋2i,－2i)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2i)))eq\s\up12(1008)＝i(1＋i)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,i)))eq\s\up12(1008)＝－1＋i＋(－i)1008＝－1＋i＋1＝i.18.(本小題滿分12分)已知關于x，y的方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（2x－1）＋i＝y－（3－y）i，①,（2x＋ay）－（4x－y＋b）i＝9－8i，②))有實數解，求實數a，b的值.【解】由①得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1＝y，,y－3＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,2)，,y＝4，))將x，y代入②得(5＋4a)－(6＋b)i＝9－8i，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5＋4a＝9，,－（6＋b）＝－8，))所以a＝1，b＝2.19.(本小題滿分12分)實數k為何值時，復數z＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i是：(1)實數；(2)虛數；(3)純虛數；(4)0.【解】(1)當k2－5k－6＝0，即k＝6或k＝－1時，z是實數.(2)當k2－5k－6≠0，即k≠6且k≠－1時，z是虛數.(3)當eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2－3k－4＝0，,k2－5k－6≠0，))即k＝4時，z是純虛數.(4)當eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2－3k－4＝0，,k2－5k－6＝0，))即k＝－1時，z是0.20.(本小題滿分12分)已知復數z滿足|z|＝eq\r(2)，z2的虛部是2.(1)求復數z；(2)設z，z2，z－z2在復平面上的對應點分別為A，B，C，求△ABC的面積.【解】(1)設z＝a＋bi(a，b∈R)，則z2＝a2－b2＋2abi，由題意得a2＋b2＝2且2ab＝2，解得a＝b＝1或a＝b＝－1，所以z＝1＋i或z＝－1－i.(2)當z＝1＋i時，z2＝2i，z－z2＝1－i，所以A(1，1)，B(0，2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1.當z＝－1－i時，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，所以A(－1，－1)，B(0，2)，C(－1，－3)，所以S△ABC＝1.21.(本小題滿分12分)已知復數z1＝eq\r(5)i，z2＝eq\r(2)－eq\r(3)i，z3＝2－i，z4＝－eq\r(5)在復平面上對應的點分別是A，B，C，D.(1)求證：A，B，C，D四點共圓；(2)已知eq\o(AB,\s\up12(→))＝2eq\o(AP,\s\up12(→))，求點P對應的復數.【解】(1)證明：∵|z1|＝|z2|＝|z3|＝|z4|＝eq\r(5)，即|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OD|，∴A，B，C，D四點都在圓x2＋y2＝5上，即A，B，C，D四