圓的相關計算相關的計算公式類型之一正多邊形的有關計算

[2013·南昌]如圖所示，正六邊形ABCDEF中，AB＝2，點P是ED的中點，連結AP，則AP的長為(

)【解析】連結AE，求出正六邊形的∠F＝120°，再求出∠AEF＝∠EAF＝30°，然后求出∠AEP＝90°并求出AE的長，再求出PE的長，最后在Rt△AEP中，利用勾股定理列式進行計算即可得解．如圖，連結AE.[2012·安徽]為增加綠化面積，某小區將原來正方形地磚更換為如圖33－4所示的正八邊形植草磚，更換后，圖中陰影部分為植草區域，設正八邊形與其內部小正方形的邊長都為a，則陰影部分的面積為 ()A．2a2 B．3a2C．4a2 D．5a2A【解析】∵某小區將原來正方形地磚更換為如題圖所示的正八邊形植草磚，設正八邊形與其內部小正方形的邊長都為a，∴AB＝a，且∠CAB＝∠CBA＝45°，又∵正八邊形中間是邊長為a的正方形，∴陰影部分的面積為a2＋a2＝2a2.【點悟】正多邊形的有關計算通常放在由半徑、邊心距、邊的一半組成的直角三角形中去解決，畫圖時圖形不必完整畫出來，只需畫出一條邊和連結圓心與它的兩端點的半徑，組成三角形，然后作出邊心距即可．類型之二弧長計算

[2013·宜賓]如圖33－5，△ABC是正三角形，曲線CDEF…叫做“正三角形的漸開線”，其中

，…的圓心按點A，B，C循環．如果AB＝1，那么曲線CDEF的長是______(結果保留π)．4π【解析】弧CD，弧DE，弧EF的圓心角都是120度，半徑分別是1，2，3，利用弧長的計算公式可以求得三條弧長，三條弧長的和就是所求曲線的長．[2012·湛江]一個扇形的圓心角為60°，它所對的弧長為2πcm，則這個扇形的半徑為(

)A．6cmB．12cm【解析】扇形的圓心角為60°，它所對的孤長為2πcm，即n＝60°，l＝2π.即R＝6cm，故選A.A類型之三扇形的面積計算

[2013·山西]如圖33－6，四邊形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝2，扇形BEF的半徑為2，圓心角為60°，則圖中陰影部分的面積是(

)B【解析】設BE與AD交于點G，BF與CD交于點H，易證△ABG≌△DBH，∴S四邊形GBHD＝S△ABD，D【解析】∵AB＝4，AC＝2，2．[2013·荊州]如圖33－8，將含60°角的直角三角板ABC繞頂點A順時針旋轉45°后得到△AB′C′，點B經過的路徑為弧BB′，若∠BAC＝60°，AC＝1，則圖中陰影部分的面積是 (

)A【解析】圖中S陰影＝S扇形ABB′＋S△AB′C′－S△ABC∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝1，根據旋轉的性質知∠BAB′＝45°，△ABC≌△AB′C′，則S△ABC＝S△AB′C′，【點悟】求不規則圖形的面積，常轉化為易解決問題的基本圖形，然后求出各圖形的面積，通過面積的和差求出結果．3．[2013·寧波]如圖，AE是半圓O的直徑，弦AB＝BC＝4，弦CD＝DE＝4，連結OB，OD，則圖中兩個陰影部分的面積和為______．10π【解析】根據弦AB＝BC，弦CD＝DE，可得∠BOD＝90°，過點O作OF⊥BC于點F，OG⊥CD于點G，在四邊形OFCG中可得∠FOG＝45°，∠FCG＝135°，延長FC，OG交于點H，則△OFH和△CGH是等腰直角三角形．由FGH類型之四圓錐(柱)側面展開圖和全面積的計算

[2012·成都]一個幾何體由圓錐和圓柱組成，其尺寸如圖33－9所示，則該幾何體的全面積(即表面積)為_____(結果保留π)．圖33－968π圓柱的側面積是8π×4＝32π，該幾何體的下底面面積是π×42＝16π，∴該幾何體的全面積(即表面積)為20π＋32π＋16π＝68π.[2011·寧波]如圖33－10，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，若把Rt△ABC繞邊AB所在直線旋轉一周，則所得的幾何體的表面積為_____．D類型之五平面圖形的滾動問題

[2013·黃岡]如圖33－11，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，邊CD在直線l上，將矩形ABCD沿直線l作無滑動翻滾，當點A第一次翻滾到點A1位置時，則點A經過的路線長為______．圖33－116π【解析】如圖，根據旋轉的性質知，點A經過的路線長是三段：①以90°為圓心角，AD長為半徑的扇形的弧長；②以90°為圓心角，AB長為半徑的扇形的弧長；③以90°為圓心角，矩形ABCD的對角線長為半徑的扇形的弧長．例5答圖∵四邊形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝3，∴BC＝AD＝3，∠ADC＝90°，對角線AC(BD)＝5.∵根據旋轉的性質知，∠ADA′＝90°，AD＝A′D＝BC＝3，1．[2013·廣安]如圖33－12，Rt△ABC的邊BC位于直線l上，AC＝，∠ACB＝90°，∠A＝30°，若由現在的位置向右無滑動翻轉，當點A第3次落在直線l上時，點A所經過的路線的長為____________(結果用含根號和π的式子表示)．

圖33－12 2．[2013·內江]如圖33－13，正六邊形硬紙片ABCDEF在桌面上由圖(1)的起始位置沿直線l不滑行地翻滾一周后到圖(2)位置．若正六邊形的邊長為2cm，則正六邊形的中心O運動的路程為_______cm.圖33－134π【解析】根據題意得每次滾動正六邊形的中心就以正六邊形的半徑為半徑繞正六邊形的某一個頂點旋轉60°.∵正六邊形的邊長為2cm，∴每次滾動正六邊形的中心運動的路徑長為∵從圖(1)運動到圖(2)共重復進行了六次上述的滾動，∴正六邊形的中心O運動的路程為已知圓錐的側面展開圖的圓心角是180°，底面積為15cm2，則圓錐的側面積為________．【錯因】把圓錐底面圓的半徑當成展開圖的扇形半徑，混淆了對應關系．易錯警示【點悟】圓錐的側面積等于圓錐的側面展開后所得扇形的面積，扇形的半徑為圓錐的母線長，弧長為圓錐的底面圓的周長．1．[2013·天津]正六邊形的邊心距與邊長之比為

(

)2．[2013·徐州]已知扇形的圓心角為120°