學業分層測評(十二)函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖象與性質(建議用時：45分鐘)[學業達標]一、填空題1．已知f(x)＝sin(3x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|＜\f(π,2)))的圖象的一個對稱中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7π,12)，0))，則φ＝________.【解析】把x＝－eq\f(7,12)π代入sin(3x＋φ)＝0，得sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,12)π))＋φ))＝0，∴φ－eq\f(7,4)π＝kπ，又|φ|＜eq\f(π,2)，所以令k＝－2，得φ＝－2π＋eq\f(7,4)π＝－eq\f(π,4).【答案】－eq\f(π,4)2．三角函數式：①y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(5π,6)))；②y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(7π,6)))；③y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(5π,12)))；④y＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3))).其中在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上的圖象如圖1-3-11所示的函數是________．圖1-3-11【解析】代入eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，－3))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)π，3))檢驗．【答案】①②④3．函數f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω＞0，－\f(π,2)＜φ＜\f(π,2)))的部分圖象如圖1-3-12所示，則ω＝________；φ＝________.圖1-3-12【解析】eq\f(3,4)T＝eq\f(5π,12)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝eq\f(3π,4)，∴T＝eq\f(2π,ω)＝π，∴ω＝2.當x＝eq\f(5π,12)時，2×eq\f(5π,12)＋φ＝eq\f(π,2)，∴φ＝－eq\f(π,3).【答案】2－eq\f(π,3)4．點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，2))是函數f(x)＝sin(ωx＋φ)＋m(ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2))的圖象的一個對稱中心，且點P到該圖象的對稱軸的距離的最小值為eq\f(π,2)，則正確的序號有________.【導學號：48582058】①f(x)的最小正周期是π；②f(x)的值域為[0，4]；③f(x)的初相φ＝eq\f(π,3)；④f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)，2π))上單調遞增．【解析】由題意，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)ω＋φ＝kπk∈Z①，m＝2，))且函數的最小正周期為T＝4×eq\f(π,2)＝2π，故ω＝eq\f(2π,T)＝1.代入①式得φ＝kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z)，又|φ|＜eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,6)，所以f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋2.故函數f(x)的值域為[1，3]，初相為eq\f(π,6)，排除①②③項，選④項．【答案】④5.已知函數f(x)＝Acos(ωx＋φ)的圖象如圖1-3-13所示，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－eq\f(2,3)，則f(0)＝________.圖1-3-13【解析】由圖象可得最小正周期為eq\f(2,3)π，于是f(0)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))，注意到eq\f(2,3)π與eq\f(π,2)關于eq\f(7π,12)對稱，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝eq\f(2,3).【答案】eq\f(2,3)6．設函數f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x＋\f(π,5))).若對任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，則|x1－x2|的最小值為________．【解析】f(x)的周期T＝4，|x1－x2|的最小值為2.【答案】27．若函數f(x)＝3sin(ωx＋φ)對任意x都有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋x))＝f(－x)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝________.【解析】由于函數f(x)＝3sin(ωx＋φ)對任意x都有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋x))＝f(－x)，則函數f(x)的圖象關于直線x＝eq\f(π,6)對稱，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))是函數f(x)的最大值或最小值，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝－3或3.【答案】±38．設函數y＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω＞0，φ∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))))的最小正周期為π，且其圖象關于直線x＝eq\f(π,12)對稱，則在下面四個結論：①圖象關于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))對稱；②圖象關于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))對稱；③在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))上是增函數；④在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))上是增函數，所有正確結論的編號為________．【解析】∵T＝π，∴ω＝2.又2×eq\f(π,12)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，∴φ＝kπ＋eq\f(π,3).∵φ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴φ＝eq\f(π,3)，∴y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).由圖象及性質可知②④正確．【答案】②④二、解答題9．已知函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈Req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜\f(π,2)))的周期為π，且圖象上一個最低點為Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2)).(1)求f(x)的解析式；(2)當x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,12)))時，求f(x)的最值．【導學號：48582059】【解】(1)由最低點為Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2))得A＝2.由T＝π，得ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,π)＝2.由點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2))是圖象的一個最低點，得2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)＋φ))＝－2，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)＋φ))＝－1，eq\f(4π,3)＋φ＝2kπ－eq\f(π,2)(k∈Z)，φ＝2kπ－eq\f(11π,6)(k∈Z)．又φ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴φ＝eq\f(π,6)，∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).(2)∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,12)))，∴2x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))，∴當2x＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,6)，即x＝0時，f(x)取得最小值1；當2x＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,3)，即x＝eq\f(π,12)時，f(x)取得最大值eq\r(3).[能力提升]1．方程2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＋2a－1＝0在[0，π]上有兩個不相等的實數根，則實數a的取值范圍是________．【解析】∵x∈[0，π]，x＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(4π,3)))，2sinx＋eq\f(π,3)∈[－eq\r(3)，2]．畫出函數圖象可知，當eq\r(3)≤1－2a＜2時，原方程有兩個不相等的實數根，故－eq\f(1,2)＜a≤eq\f(1－\r(3),2).【答案】eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1－\r(3),2)))2．函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的一段圖象如圖1-3-14所示．圖1-3-14(1)求f(x)的解析式；(2)把f(x)的圖象向左至少平移多少個單位長度，才能使得到的圖象對應的函數為偶函數？【導學號：48582060】【解】(1)A＝3，eq\f(2π,ω)＝eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π－\f(π,4)))＝5π，故ω＝eq\f(2,5).由f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)x＋φ))的圖象過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,10)＋φ))＝0，又|φ|＜eq\f(π,2)，故φ＝－eq\f(π,10)，∴f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)x－\f(π,10))).(2)設把f(x)的圖象向左至少平移m(m＞0)個單位長度，才能使得到的圖象對應的函數為偶函數．由f(x＋m)＝3sineq\b\lc\