彈性桿件橫截面上的

切應力分析第4章哪些內力會產生切應力?靜力方程提供信息:內力和哪些應力關聯相依關系的量化

工程中承受切應力的構件

扭轉切應力

彎曲切應力

結論與討論(2)

第4章彈性桿件橫截面

上的切應力分析

結論與討論(1)

工程中承受切應力的構件第4章

彈性桿件橫截面上的

切應力分析扭轉彎曲

扭轉的實例攪拌器攪拌軸自行車有哪些扭轉構件?荷蘭人口:1600萬，但全國自行車擁有量1700萬輛，人均擁有量位居世界第一工程中承受切應力的構件請判斷哪一桿件將發生扭轉ABC扳手齒輪系傳遞功率AF發動機傳動軸工程中承受切應力的構件請判斷哪個截面將優先發生剪切破壞?兩類切應力扭轉切應力

彎曲切應力第4章

彈性桿件橫截面上的

切應力分析切應力的特征切應力互等定理ADCBxyzdxdydz

微元能不能平衡？怎樣才能平衡？哪些力互相平衡？EFGO切應力的特征ADCBxyzdxdydzEFGO根據z方向的力矩平衡切應力的特征ADCBxyzdxdydzEFGO根據z方向的力矩平衡可知切應力的特征切應力互等定理公式ADCBxyzdxdydz在微元體的兩個相互垂直的截面上,垂直于截面交線(棱邊)的切應力數值相等.切應力方向:共同指向交線（棱邊）,或共同離開交線（棱邊）

扭轉切應力第4章

彈性桿件橫截面上的

切應力分析圓軸扭轉時橫截面上的切應力分析扭轉切應力矩形截面桿扭轉切應力公式

應力分布應力公式變形協調應變分布物性關系靜力方程圓軸扭轉-橫截面切應力求解的總體思路平面假定扭轉切應力圓軸扭轉時的變形特征圓軸扭轉的變形特征實驗分析對稱性論證

圓軸扭轉時的應力變形特征扭轉切應力圓軸受扭轉后表面的矩形將發生什么變化？圓軸表面畫出圓周線和縱向平行線變形前圓周線和縱向平行線將發生什么變化？變形后圓周線:形狀、大小、間距沒變化縱向平行線：繞軸線轉水平傾斜實驗觀察到的結果圓軸受扭轉后表面的縱向線和圓周線交叉所得到的矩形將發生什么變化？ABCDABC'D't′t

圓軸扭轉時的應力變形特征扭轉切應力觀察到的現象:矩形變為平行四邊形此變形是何種應力引起的?ABC'D't′t為什么4個面上都存在切應力?如果認為：受扭轉的圓桿(軸)內部變形與表面變形一致平面假定：平面平面橫截面大小形狀不變半徑直線橫截面:繞軸線的剛性轉動反對稱分析論證，對稱面上同一圓周任意兩點CD變形后一定在原來平面上(對稱面)圓軸扭轉時橫截面上的切應力扭轉切應力反對稱分析論證反證:若變形后最大圓周任意兩點CD不在原來平面上對稱面最大圓周上CD兩點變形后保持在原來的平面內(對稱面內)而且在同一圓周上。反證法的證明對稱面內部的圓周:同一圓周上的任意兩點變形后保持在對稱面內而且在同一圓周上。問題:

對稱面各點變形后保持在原來的平面內(對稱面內),變形前同一圓周上的點變形后仍然還在同一圓周上.對稱面內不同圓周上的各點變形的步調怎樣?圓軸扭轉時橫截面上的切應力扭轉切應力反對稱分析論證:對稱面不同圓周上的各點變形步調是一致的假設平面不是剛性轉動，直徑將變成曲線，A端觀察者看到的情形。假設平面不是剛性轉動，直徑將變成曲線，B端觀察者看到的情形。AB兩側觀測結果相反，產生矛盾不同圓周上的各點變形若假定步調不一致對稱面各點變形后保持在原來的平面內(對稱面內)變形前同一圓周上的點變形后仍然還在同一圓周上.對稱面內不同圓周上的各點變形的步調保持一致總結論:圓軸扭轉時，橫截面保持平面，并且截面只發生剛性轉動。圓軸扭轉時橫截面上的切應力扭轉切應力分析了對稱面的情況,任意截面?對于任意截面:一定可以找到以這個截面為對稱面的一段扭轉軸,采取同樣方法,可證明圓軸扭轉時，橫截面保持平面，并且只能發生剛性轉動。圓軸扭轉變形前的截面，變形后仍保持為平面，截面形狀和大小不變，直徑仍保持為直線.圓軸扭轉的平面假定截面僅發生剛性轉動如何分析圓軸扭轉的變形協調條件?變形協調方程r圓軸扭轉時橫截面上的切應力扭轉切應力

假定m-m截面和n-n截面的相對轉角為dmmnn在扭矩作用下(切出桿微元)表面上觀察到的變形圓軸扭轉時橫截面上的切應力扭轉切應力變形協調方程選取半徑為的微圓柱單元在桿微元基礎上圓軸扭轉時橫截面上的切應力扭轉切應力與半徑成正比單位長度上的扭轉角應變形式的變形協調方程物性關系物性關系與應力分布剪切胡克定律圓軸扭轉時橫截面上的切應力扭轉切應力物性關系與應力分布圓軸扭轉時橫截面上的切應力扭轉切應力G為剪切彈性模量物性關系與應力分布圓軸扭轉時橫截面上的切應力扭轉切應力分析:作用于圓軸表面微元ABCD的四條邊上,半徑方向線與ABCD面垂直,也與垂直分布方向靜力學方程靜力學方程圓軸扭轉時橫截面上的切應力扭轉切應力在橫截面半徑為處取微元:dA合成的力（）dAMx把作用在微元上，對形心取矩圓軸扭轉時橫截面上的切應力扭轉切應力GIP—扭轉剛度極慣性矩圓軸扭轉時橫截面上的切應力扭轉切應力單位長度扭轉角﹗圓軸扭轉時橫截面上的切應力扭轉切應力結論:切應力沿橫截面半徑線性分布,方向:垂直于半徑特殊點的切應力:=0,

max圓軸扭轉時橫截面上的切應力扭轉切應力最大切應力Wp扭轉截面系數圓截面的極慣性矩與扭轉截面系數=d/D對于直徑為d

的實心圓截面對于內、外直徑分別為d

和

D

圓環截面圓軸扭轉時橫截面上的切應力扭轉切應力為什么設計空心截面?切應力哪些區域較大?節省材料研究外加力偶矩與功率P和轉速n的關系傳動軸的扭矩計算工程計算中,作用于傳動軸上的外力偶通常不直接給出給出軸傳遞功率P(KW)給出轉速n(轉/分)每秒鐘輸入功WW=PX1000(Nm)輸入功由扭矩作用在軸上完成:扭矩在每秒完成的功為:角位移外加力偶矩T與功率P和轉速n的關系外加力偶矩與功率P和轉速n的關系T=9549P(kW)

n(r/min)(N?m)

圓軸扭轉時的應力變形特征扭轉切應力已知：實心圓軸與空心圓軸通過牙嵌式離合器連接傳遞功率。P傳＝7.5kW,n=100r/min,最大切應力均為40MPa,空心圓軸的內外直徑之比=0.5。求:實心軸的直徑d1和空心軸的外直徑D2。圓軸扭轉時橫截面上的切應力扭轉切應力例題1兩軸上最大切應力均等于40MPa.nPMx=T=9549兩軸轉速相同,傳遞功率相同,故兩軸上作用的扭矩相同.解：例題1nPMx=T=95497.5=9549100=716.2N?mmax=WP116MxMx=d13=40MPa=0.045m=45mmd1=16716.2401063圓軸扭轉時橫截面上的切應力扭轉切應力實心軸解：例題1圓軸扭轉時橫截面上的切應力扭轉切應力對于空心軸，根據=40MPa算得＝0.046m＝46mmd2＝0.5D2=23mm解：例題1空心軸D2＝46mmd2＝23mm實心軸d1=45mm圓軸扭轉時橫截面上的切應力扭轉切應力二軸的橫截面面積之比為二軸的橫截面面積之比為實心空心結論:若軸的長度相同,在最大切應力相同的情況下,實心軸比空心軸所用材料多。空心軸可節省材料，降低成本。A1為實心軸，A2為空心軸扭轉切應力矩形截面桿扭轉切應力公式

變形特征

由平衡直接得到的結論

切應力分布特點

狹長矩形截面切應力分布矩形截面桿扭轉切應力扭轉切應力對于矩形截面是否平面保持平面?圓軸扭轉的變形特征:平面保持平面.矩形截面桿扭轉切應力扭轉切應力矩形截面桿的扭轉劃出與軸線平行和垂直的縱向線和橫向線變形特征－翹曲矩形截面桿扭轉切應力扭轉切應力橫截面的橫向線變為曲線,發生翹曲由此可見:平面保持平面不成立.由于翹曲,平面假定不成立，矩形截面桿扭轉時的切應力與圓截面桿有很大的差別。圓截面扭轉的切應力公式無法應用.如何分析矩形截面桿扭轉下的切應力?彈性力學理論介紹結論研究:矩形截面桿扭轉,截面角點切應力特點矩形截面桿扭轉,截面邊界上各點的切應力方向有哪些規律?由平衡直接得到的結論矩形截面桿扭轉切應力扭轉切應力角點微元注意微元各面與桿件的對應關系角點區域前表面上表面由平衡直接得到的結論矩形截面桿扭轉切應力扭轉切應力由剪應力互等定律角點切應力等于零研究A點的切應力?切幾刀的到微元?矩形截面桿扭轉切應力扭轉切應力由剪應力互等定律A邊緣各點切應力沿邊界的切線方向A研究邊界上的切應力注意微元各面與桿件的對應關系切應力分布(彈性力學理論分析結果)截面最大切應力發生在長邊中點.矩形截面桿扭轉切應力扭轉切應力切應力分布(彈性力學理論分析結果)角點切應力等于零;邊緣各點切應力沿切線方向;截面最大切應力發生在長邊中點.矩形截面桿扭轉切應力扭轉切應力切應力在特殊點的值長邊中點處短邊中點處矩形截面桿扭轉切應力扭轉切應力bC1、C1’見書上表4-1(表5-2,二版)高度h,寬度b,C1,C1’與高寬比有關h厚度max=3Mxh2狹長矩形截面:長短邊比矩形截面桿扭轉切應力扭轉切應力長邊中點處沿厚度方向近似線性分布

結論與討論第4章

彈性桿件橫截面上的

切應力分析ABl圓軸扭轉下兩截面相對轉角公式：MxMx扭轉剛度BA的正負號與Mx正負號相同.關于BA的正負號規定關于復合材料軸G2G1MxdD線彈性材料，彈性范圍內加載1.橫截面上的切應力怎樣分布；2.橫截面上兩種材料交界處的切應力是否連續；切應變是否連續3.橫截面上兩種材料的最大切應力。

結論與討論ABG2>G1已知固定的圓截面等直桿AB(剛度GIP),在截面C受到扭轉外力偶m的作用,試求支座反力偶矩.B討論：關于公式的應用條件－扭矩如使最大圓周達到s后的情況

結論與討論sO2RR/2AC點的切應力達到s時橫截面上的扭轉切應力怎樣分布；B點的切應力達到s時橫截面上的扭轉切應力怎樣分布；4.A點以內圓截面上的內力偶矩與橫截面上的總扭矩之間的關系3R/4BC3.B點的切應力達到s時A點的切應力怎樣確定；開口與閉口薄壁圓管的扭轉切應力

結論與討論哪個承載能力強?直徑壁厚直徑、壁厚相等的薄壁圓管，承受扭矩T題4-6設計中：避免用開口薄壁桿件承受扭矩本章作業(1)5-2，5-5，5-7，補4-1*4-2，4-5，4-6，4-9*

第一版教材第二版教材補4-1：直徑d=25mm的鋼軸上焊有兩凸臺，凸臺上套有外徑D=75mm、壁厚δ=1.25mm的薄壁管，當桿承受外扭轉力遇矩T=73.6N·m時，將薄壁管與凸臺焊在一起，然后再卸去外力偶。假定凸臺不變形，薄壁管與軸的材料相同，切變模量G=40MPa。試：1．分析卸載后軸和薄壁管的橫截面上有沒有內力，二者如何平衡？

2．確定軸和薄壁管橫截面上的最大切應力。

彎曲切應力第4章

彈性桿件橫截面上的

切應力分析兩類切應力:扭轉,彎曲關注:分析方法的差別

彎曲切應力

討論分析彎曲切應力前提

平衡對象及其受力

平衡方程與切應力表達式

切應力公式應用上述四點中平衡是研究彎曲切應力的關鍵問題

彎曲切應力

前提

在有剪力存在的情況下，彎曲正應力公式依然正確：

彎曲切應力前提

沿截面寬度（厚度）方向切應力均勻分布

對于細長桿l/h>4,誤差一般小于5%，在MZ作用下:截面的厚度方向:z軸過y軸上任一點作z軸平行線,各點切應力相等切應力函數僅與y坐標有關zMzy在上述前提下，可由平衡直接確定橫截面上的切應力，而無需應用“變形協調,物性關系和靜力方程”。

彎曲切應力前提與圓軸扭轉切應力的分析方法不同

彎曲切應力

平衡對象及其受力

彎曲切應力平衡對象及其受力確定梁的橫截面上任意點處的彎曲切應力薄鄙1122任意形狀開口薄壁截面梁壁厚<<截面中曲線曲率半徑截面中曲線不閉合當厚度不斷減少,截面收縮為截面的中曲線

彎曲切應力平衡對象及其受力薄鄙薄壁截面梁1122選取長為dx微段左側為橫截面1-1右側為橫截面2-21212薄壁截面梁ab可否求出切應力?思考:對微段進行平衡分析1212薄壁截面梁ab由左側右側截面內力(彎矩,剪力)平衡分析平衡方程中僅含彎矩,剪力微段進行平衡分析1212薄壁截面梁ab取1-1,2-2截面構成微元中的一個局部如畫圓圈部分,進行平衡分析目的:使切應力在平衡方程中出現1212薄壁截面梁ababc局部微元特點a,b為橫截面,c縱截面,d為自由表面d上下自由表面薄壁截面梁abc討論局部微元x方向的平衡:有貢獻的a,b,c面x分析微元各面受力對x方向平衡的貢獻:首先在a,b截面上哪些力參與x方向的平衡?d彎曲正應力yx彎曲正應力規律:分布規律?正負號(拉壓性質)?z需要考慮彎矩的正負!切出蘭色微元的左側和右側都是拉應力?左右截面彎矩均為負拉應力合成軸向力,誰大誰小?橫截面局部aba,b的面積均為A*正應力:作用在橫截面局部a,b都為拉應力薄壁截面梁abc正應力合成軸力,左側截面a:

FNx*,右側截面b:FNx*+dFNx*討論局部微元x方向的平衡x1122dabcx若局部微元平衡:c截面一定存在切應力’,且沿x軸反方向dabcx由切應力互等定理橫截面靠近BC中點附近一定存在切應力=’且與’共同指向BC是橫截面上BC中點的切應力切應力互等定理:兩個相互垂直的截面上,垂直于截面交線(棱邊)的切應力數值相等.切應力方向:共同指向一條棱邊,或共同離開一條棱邊.1212薄壁截面梁ababc內力按實際方向標出

彎曲切應力

平衡方程與切應力表達式Fx=0-

(dx)=0FNx*+dFNx*-FNx*

彎曲切應力平衡對象及其受力abc為壁厚。平衡方程與切應力表達式

彎曲切應力-

(dx)=0FNx*+dFNx*-FNx*abc由前提假設平衡方程與切應力表達式

彎曲切應力為A*對z軸的靜矩（一次矩）平衡方程與切應力表達式

彎曲切應力FQ為剪力，Iz為整個截面對z軸慣性矩，為A*對z軸的靜矩（一次矩）,為壁厚。希望大家關注：前提進行平衡分析的技巧公式的各參數的含義

彎曲切應力

切應力公式應用切應力公式應用－彎曲中心彎曲切應力研究開口薄壁圓管、角形截面桿、槽形截面桿在橫向載荷作用下的變形過形心作用在主軸平面的橫向載荷下開口薄壁桿件：直觀感覺如何變形?為什么向開口方向倒下去?切應力流問題:橫向載荷作用的開口薄壁桿件以槽型截面為例,確定橫彎截面中切應力方向切應力公式應用－彎曲中心彎曲切應力1122彎矩正負、哪邊大？應力拉壓,比較：正應力哪邊大?軸力?左右yz第三刀垂直于截面中曲線切應力公式應用－彎曲中心彎曲切應力實際（真實方向）1122軸力哪邊大,哪邊小?軸力是拉?是壓?xyz切應力公式應用－彎曲中心彎曲切應力思考：中間部分的切應力如何確定？槽型截面切應力方向的特征:翼緣:切應力與截面剪力方向不一致.腹板:切應力與截面剪力方向一致翼緣腹板頭尾相接,如管道流水---切應力流重要的結論:當薄壁截面的周邊或周邊的切線與剪力平行時,作用在該部分的切應力方向和剪力的方向是一致的.FQ切應力流是本書中的一個難點注意:確定切應力流時,平衡概念的靈活應用平衡的對象選取微元的切法?哪一刀最重要?切應力公式應用－彎曲中心彎曲切應力研究開口薄壁截面桿在橫向載荷作用下的變形過形心橫向載荷下開口薄壁桿件：開口薄壁桿件為什么向開口方向倒?如何加載?合力切應力公式應用－彎曲中心彎曲切應力向彎曲中心簡化結果向截面形心簡化結果槽形截面由彎曲中心的概念,我們可知開口薄壁桿件在橫彎載荷作用下平面保持平面(平面彎曲)的加載條件:過彎曲中心平行形心主軸開口薄壁桿件平面彎曲的加載條件實心截面和閉口薄壁截面:在橫力下發生平面彎曲(平面保持平面)的加載條件:比較:過形心平行于形心主軸

結論與討論(2)第4章

彈性桿件橫截面上的

切應力分析

實心截面梁的彎曲切應力

圓環截面梁的彎曲切應力

工字鋼截面梁的彎曲切應力

實心截面梁正應力與切應力比較

不同變形情況下切應力特點

力系簡化中心的選擇結論與討論

實心截面梁的彎曲切應力結論與討論矩形截面(寬為b,高為h)實心截面梁的彎曲切應力結論與討論Abh寬為b,高為hA*yIz整個面積對z軸(中性軸）慣性矩，為截面上距中性軸為y的橫線以外部分面積對中性軸的靜矩第三刀:垂直于截面中線切矩形截面Abh寬為b,高為hA*對中性軸的靜矩A*y注意:切應力沿高度的分布特點實心截面梁的彎曲切應力結論與討論Abhy=0,即在中性軸最大彎曲切應力，實心截面梁的彎曲切應力結論與討論切應力分布的特點最大切應力發生在哪?A圓截面(直徑為d)圓截面實心截面梁的彎曲切應力結論與討論A注意:切應力沿高度的分布特點最大切應力發生在中性軸上,y=0

圓環截面梁的彎曲切應力結論與討論求在FQ作用下截面最大切應力FQyz薄壁圓環的彎曲切應力若圓環壁厚為,平均直徑為d,圓環截面圓環截面梁的彎曲切應力結論與討論已知直徑為d0的半圓對Z軸的靜矩對半個圓環d0為半圓的直徑為圓環壁厚,d為平均直徑FQyz半圓環對z軸靜矩:結論：薄壁圓環截面最大切應力為平均切應力的兩倍

工字鋼截面梁的彎曲切應力結論與討論工字鋼截面工字鋼截面梁的彎曲切應力結論與討論Iz整個面積對z軸慣性矩，Sz為截面上距中性軸為y的橫線以外部分面積對中性軸的靜矩為半個工字截面對中性軸的靜矩工字鋼截面工字鋼截面梁的彎曲切應力結論與討論可由本書P491頁附錄B型鋼表3查得(第二版在385頁附錄A型鋼表3)不同實心截面梁正應力與切應力比較結論與討論實心截面梁正應力與切應力比較結論與討論懸