第三章函數的應用課時作業(二十三)方程的根與函數的零點一、選擇題1．若函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象為連續不斷的一條曲線，則下列說法正確的是()A．若f(a)·f(b)>0，不存在實數c∈(a，b)使得f(c)＝0B．若f(a)·f(b)<0，存在且只存在一個實數c∈(a，b)使得f(c)＝0C．若f(a)·f(b)>0，有可能存在實數c∈(a，b)使得f(c)＝0D．若f(a)·f(b)<0，有可能不存在實數c∈(a，b)使得f(c)＝0答案：C解析：根據函數零點存在定理可判斷，若f(a)·f(b)<0，則一定存在實數c∈(a，b)，使f(c)＝0，但c的個數不確定，故B，D錯誤．若f(a)·f(b)>0，有可能存在實數c∈(a，b)，使得f(c)＝0，如f(x)＝x2－1，f(－2)·f(2)>0，但f(x)＝x2－1在(－2,2)內有兩個零點，故A錯誤，C正確．2．函數y＝eq\f(4,x)－x的零點是()A．2 B．－2C．2，－2 D．(2，－2)答案：C3．已知函數f(x)＝log2x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x，若實數x0是方程f(x)＝0的解，且0＜x1＜x0，則f(x1)的值()A．恒為負 B．等于零C．恒為正 D．不小于零答案：A解析：因為x0是方程f(x)＝0的解，所以f(x0)＝0，又因為函數f(x)＝log2x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在(0，＋∞)上為增函數，且0＜x1＜x0，所以有f(x1)＜f(x0)＝0.4．函數f(x)＝ln(x＋1)－eq\f(2,x)的零點所在的大致區間是()A．(0,1) B．(1,2)C．(2，e) D．(3,4)答案：B解析：∵f(1)＝ln2－2<0，f(2)＝ln3－1>0，∴函數f(x)＝ln(x＋1)－eq\f(2,x)的零點所在的大致區間是(1,2)．5．已知三個函數f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零點依次為a，b，c，則()A．a＜b＜c B．a＜c＜bC．b＜a＜c D．c＜a＜b答案：B解析：由于f(－1)＝eq\f(1,2)－1＝－eq\f(1,2)＜0，f(0)＝1＞0，故f(x)＝2x＋x的零點a∈(－1,0)．∵g(2)＝0，故g(x)的零點b＝2.∵heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－1＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)＜0，h(1)＝1＞0，故h(x)的零點c∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，因此a＜c＜b.6．已知x0是函數f(x)＝eq\f(1,1－x)＋lnx的一個零點，若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，則()A．f(x1)＜0，f(x2)＜0B．f(x1)＞0，f(x2)＞0C．f(x1)＞0，f(x2)＜0D．f(x1)＜0，f(x2)＞0答案：D解析：令f(x)＝eq\f(1,1－x)＋lnx＝0，從而有lnx＝eq\f(1,x－1)，此方程的解即為函數f(x)的零點．在同一坐標系中作出函數y＝lnx與y＝eq\f(1,x－1)的圖象如圖所示．由圖象易知eq\f(1,x1－1)＞lnx1，從而lnx1－eq\f(1,x1－1)＜0，故lnx1＋eq\f(1,1－x1)＜0，即f(x1)＜0.同理f(x2)＞0.7．若函數f(x)＝|4x－x2|＋a有4個零點，則實數a的取值范圍是()A．[－4,0] B．(－4,0)C．[0,4] D．(0,4)答案：B解析：畫出函數y＝|4x－x2|的圖象，再畫出函數y＝－a的圖象，要使函數有4個零點，即兩個函數有4個不同的交點，所以0＜－a＜4，∴－4＜a＜0.二、填空題8．對于方程x3＋x2－2x－1＝0，有下列判斷：①在(－2，－1)內有實數根；②在(－1,0)內有實數根；③在(1,2)內有實數根；④在(－∞，＋∞)內沒有實數根．其中正確的有________．(填序號)答案：①②③9．根據下表，能夠判斷f(x)＝g(x)有實數解的區間是________．(填序號)x－10123f(x)－g(x)－①(－1,0)；②(0,1)；③(1,2)；④(2,3)．答案：②10．已知函數f(x)為奇函數，且該函數有三個零點，則三個零點之和等于________．答案：0解析：∵奇函數的圖象關于原點對稱，∴若f(x)有三個零點，則其和必為0.三、解答題11．求下列函數的零點．(1)f(x)＝－6x2＋5x＋1；(2)f(x)＝x3＋1；(3)f(x)＝eq\f(x2＋2x＋1,x－1).解：(1)∵f(x)＝－6x2＋5x＋1＝－(6x＋1)(x－1)，令－(6x＋1)(x－1)＝0，解得x＝－eq\f(1,6)或x＝1，∴f(x)＝－6x2＋5x＋1的零點是x＝－eq\f(1,6)和x＝1.(2)f(x)＝x3＋1＝(x＋1)(x2－x＋1)，令(x＋1)(x2－x＋1)＝0，解得x＝－1，∴f(x)＝x3＋1的零點是x＝－1.(3)∵f(x)＝eq\f(x2＋2x＋1,x－1)＝eq\f(x＋12,x－1)，令eq\f(x＋12,x－1)＝0，解得x＝－1，∴f(x)＝eq\f(x2＋2x＋1,x－1)的零點是x＝－1.12．若函數f(x)＝ax2－x－1僅有一個零點，求實數a的值．解：(1)若a＝0，則f(x)＝－x－1為一次函數，易知函數只有一個零點．(2)若a≠0，則函數f(x)為二次函數，若其只有一個零點，則方程ax2－x－1＝0僅有一個實數根．故判別式Δ＝1＋4a＝0，得a＝－eq\f(1,4).綜上所述，當a＝0或a＝－eq\f(1,4)時，函數僅有一個零點．13．求函數f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零點個數．解：解法一：因為f(0)＝1＋0－2＝－1＜0，f(2)＝4＋lg3－2≈＞0，所以由函數零點存在性定理，知f(x)在(0,2)上必定存在零點．又f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(0，＋∞)上為增函數，故f(x)＝0有且只有一個實根，即函數f(x)僅有一個零點．解法二：在同一坐標系中作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的圖象，如圖所示．由圖象可知h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)有且只有一個交點，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2與x軸有且只有一個交點，即函數f(x)僅有一個零點．尖子生題庫14．定義在R上的奇函數f(x)，當x∈(－∞，0)時，f(x)＝－x2＋mx－1.(1)當x∈(0，＋∞)時，求f(x)的解析式；(2)若方程y＝f(x)有五個零點，求實數m的取值范圍．解：(1)設x>0，則－x<0，∴f(－x)＝－x2－mx－1.又f(x)為奇函數，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝x2＋mx＋1(x>0)．又f(0)＝0，所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋mx＋1，x>0，,0，x＝0，,－x2＋mx－1，x<0.))(2)因為f(x)為奇函數，所以函數y＝f(x)的圖象關于原點對稱，即方程f(x)＝0有五個不相等的實數解，得y＝f(x)的圖象與x軸有五個不同的交點．又f(