2023學年山西省運城市高二（上）期末數學試卷（文科）一、選擇題（本大題12小題，沒小題5分，滿分60分）1．已知命題p：存在x∈R，使得ex＞x，則￢p為（）A．￢p：存在x∈R，使得ex＜xB．￢p：任意x∈R，總有ex＜xC．￢p：存在x∈R，使得ex≤xD．￢p：任意x∈R，總有ex≤x2．雙曲線x2﹣=1的漸近線方程為（）A．y=±4xB．y=±2xC．y=±D．y=±x3．下列求導正確的是（）A．（）′=B．（log2x）′=C．（3x+1）′=x?3x﹣1+1D．（cosx）′=sinx4．命題“若a＞b，則ac2＞bc2（a，b∈R）”與它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數為（）A．4B．3C．2D．05．“a=﹣2”是“直線ax+2y=0垂直于直線x+y=1”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．既不充分也不必要條件D．充要條件6．過M（1，2）作直線與拋物線y2=8x，有且只有一個公共點，這樣的直線有（）條．A．1B．2C．3D．47．當x=2時，函數f（x）=ax3﹣bx+4有極值﹣，則函數的解析式為（）A．f（x）=x3﹣4x+4B．f（x）=x2+4C．f（x）=3x3+4x+4D．f（x）=3x3﹣4x+48．若θ是任意實數，則方程x2﹣4y2cosθ=1所表示的曲線一定不是（）A．拋物線B．雙曲線C．橢圓D．圓9．已知函數y=﹣xf′（x）的圖象如圖（其中f′（x）是函數f（x）的導函數），下面四個圖象中，y=f（x）的圖象可能是（）A．B．C．D．10．已知拋物線x2=2py（p＞0），斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點，若線段AB中點的橫坐標為2，則該拋物線的準線方程為（）A．y=﹣1B．y=1C．y=﹣2D．y=211．P為橢圓上一點，F1、F2為該橢圓的兩個焦點，若∠F1PF2=60°，則?等于（）A．3B．C．2D．212．已知f（x）=，若直線y=kx﹣與f（x）的圖象有三個公共點，則實數k的取值范圍是（）A．（﹣，+∞）B．（0，+∞）C．（﹣，+∞）D．（﹣3，﹣）∪（﹣，+∞）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．橢圓+=1上一點P到它的一個焦點的距離等于3，那么點P到另一個焦點的距離等于．14．已知p：x≤1，q：x≤2a﹣1，若p是q的充分條件，則實數a的取值范圍是．15．若函數f（x）=2x2﹣klnx在（1，+∞）上是增函數，則實數k的取值范圍是．16．如圖，F1和F2分別是雙曲線的兩個焦點，A和B是以O為圓心，以|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且△F2AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為．三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．已知p：“方程﹣=1”表示雙曲線；q：“關于x的方程x2﹣mx+1=0沒有實數根”．若“￢p”和“p∨q”都是真命題，求m的取值范圍．18．已知函數f（x）=（x2+x﹣1）ex（x∈R）．（1）求曲線f（x）在（1，f（1））處的切線方程；（2）求函數f（x）的極值．19．已知圓P與直線x=﹣1相切，且經過（1，0），設點P的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）點A的坐標為（2，1），點B在曲線C上運動，求線段AB中點的軌跡方程．20．某物理實驗室做實驗，需要一個體積為72m3的長方體封閉紙盒．若紙盒底面一邊的長是另一邊長的2倍，S表示紙盒的表面積，x表示紙盒底面上較短的邊長．（1）試寫出S與x間的函數關系式；（2）當x取什么值時，做一個這樣的長方體紙盒用紙盒最少？（值得厚度忽略不計）21．已知橢圓M：+=1（a＞b＞0）的左焦點為F1（﹣1，0），且長軸長是短軸長的倍．（1）求橢圓M的方程；（2）若斜率為的直線l與橢圓M位于x軸上方的部分交于C，D兩點，過C，D兩點分別做CE，DF垂直x軸于E，F兩點，若四邊形CEFD的面積為，求直線l的方程．22．已知函數f（x）=2（a+1）lnx﹣ax，g（x）=x2﹣x．（1）若a≥0，試判斷f（x）在定義域內的單調性；（2）證明：若﹣1＜a＜7，則對任意x1，x2∈（1，+∞），且x1＞x2，有＞﹣1．

2023學年山西省運城市高二（上）期末數學試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題（本大題12小題，沒小題5分，滿分60分）1．已知命題p：存在x∈R，使得ex＞x，則￢p為（）A．￢p：存在x∈R，使得ex＜xB．￢p：任意x∈R，總有ex＜xC．￢p：存在x∈R，使得ex≤xD．￢p：任意x∈R，總有ex≤x【分析】根據已知中原命題，結合特稱命題否定的方法，可得答案．【解答】解：∵命題p：存在x∈R，使得ex＞x，則￢p為：任意x∈R，總有ex≤x．故選：D【點評】本題考查的知識點特稱命題的命題，難度不大，屬于基礎題．2．雙曲線x2﹣=1的漸近線方程為（）A．y=±4xB．y=±2xC．y=±D．y=±x【分析】由雙曲線﹣=1（a，b＞0），可得漸近線方程y=±x，求得雙曲線的a，b，即可得到所求漸近線方程．【解答】解：由雙曲線﹣=1（a，b＞0），可得漸近線方程y=±x，雙曲線x2﹣=1的a=1，b=2，可得漸近線方程為y=±2x．故選：B．【點評】本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，注意運用雙曲線的方程和漸近線方程的關系，考查運算能力，屬于基礎題．3．下列求導正確的是（）A．（）′=B．（log2x）′=C．（3x+1）′=x?3x﹣1+1D．（cosx）′=sinx【分析】根據函數的導數公式進行判斷即可．【解答】解：（）′=﹣，故A錯誤，（log2x）′=，故B正確，（3x+1）′=3xln3，故C錯誤，（cosx）′=﹣sinx，故D錯誤，故選：B．【點評】本題主要考查函數導數公式的判斷，要求熟練掌握掌握常見函數的導數公式，比較基礎．4．命題“若a＞b，則ac2＞bc2（a，b∈R）”與它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數為（）A．4B．3C．2D．0【分析】根據逆否命題的等價關系，只需要判斷原命題與逆命題的真假即可．【解答】解：若a＞b，c=0，則ac2=bc2．∴原命題為假；∵逆否命題與原命題等價，∴逆否命題也為假；若ac2＞bc2，則c2≠0且c2＞0，則a＞b．∴逆命題為真；又∵逆命題與否命題等價，∴否命題也為真；綜上，四個命題中，真命題的個數為2．故選：C．【點評】根據命題的等價關系，四個命題中，真（假）命題的個數必為偶數個．5．“a=﹣2”是“直線ax+2y=0垂直于直線x+y=1”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．既不充分也不必要條件D．充要條件【分析】直線ax+2y=0垂直于直線x+y=1，可得﹣×（﹣1）=﹣1，解出即可得出．【解答】解：∵直線ax+2y=0垂直于直線x+y=1，∴﹣×（﹣1）=﹣1，解得a=﹣2．∴“a=﹣2”是“直線ax+2y=0垂直于直線x+y=1”的充要條件，故選：D．【點評】本題考查了充要條件的意義、直線垂直與斜率的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．6．過M（1，2）作直線與拋物線y2=8x，有且只有一個公共點，這樣的直線有（）條．A．1B．2C．3D．4【分析】先驗證點M（1，2）在拋物線y2=8x上，進而根據拋物線的圖象和性質可得到答案．【解答】解：由題意可知M（1，2）在拋物線y2=8x上，故過點M（1，2）且與拋物線y2=8x只有一個公共點時只能是i）過M（1，2）且與拋物線y2=8x相切；ii）過M（1，2）且平行與對稱軸．∴過M（1，2）且與拋物線y2=8x有且只有一個公共點的直線有1+1=2條．故選：B．【點評】本題主要考查拋物線的基本性質，屬基礎題．解題時要認真審題，仔細解答7．當x=2時，函數f（x）=ax3﹣bx+4有極值﹣，則函數的解析式為（）A．f（x）=x3﹣4x+4B．f（x）=x2+4C．f（x）=3x3+4x+4D．f（x）=3x3﹣4x+4【分析】先對函數進行求導，然后根據f（2）=﹣．f′（2）=0可求出a，b的值，進而確定函數的解析式．【解答】解：f（x）=ax3﹣bx+4，f′（x）=3ax﹣b，在x=2處取極值，∴f′（2）=0，4a﹣b=0，①f（2）=﹣，8a﹣2b+4=﹣②聯立①②解得：f（x）=x3﹣4x+4，故答案選：A．【點評】本題主要考查函數的極值與其導函數之間的關系，是高考的熱點問題，每年必考，要給予充分重視，屬于中檔題．8．若θ是任意實數，則方程x2﹣4y2cosθ=1所表示的曲線一定不是（）A．拋物線B．雙曲線C．橢圓D．圓【分析】由θ的范圍可得﹣4cosθ的取值范圍，然后對其分類可得方程x2﹣4y2cosθ=1所表示的曲線．【解答】解：∵θ是任意實數，∴﹣4cosθ∈[﹣4，4]，當﹣4cosθ=1時，方程x2﹣4y2cosθ=1所表示的曲線是圓；當﹣4cosθ＞0且不等于1時，方程x2﹣4y2cosθ=1所表示的曲線是橢圓；當﹣4cosθ＜0時，方程x2﹣4y2cosθ=1所表示的曲線是雙曲線；當﹣4cosθ=0時，方程x2﹣4y2cosθ=1所表示的曲線是兩條直線．∴方程x2﹣4y2cosθ=1所表示的曲線一定不是拋物線．故選：A．【點評】本題考查曲線與方程，考查了圓錐曲線的標準方程，體現了分類討論的數學思想方法，是基礎題．9．已知函數y=﹣xf′（x）的圖象如圖（其中f′（x）是函數f（x）的導函數），下面四個圖象中，y=f（x）的圖象可能是（）A．B．C．D．【分析】根據函數y=﹣xf′（x）的圖象，依次判斷f（x）在區間（﹣∞，﹣1），（﹣1，0），（0，1），（1，+∞）上的單調性即可．【解答】解：由函數y=﹣xf′（x）的圖象可知：當x＜﹣1時，﹣xf′（x）＞0，f′（x）＞0，此時f（x）增；當﹣1＜x＜0時，﹣xf′（x）＜0，f′（x）＜0，此時f（x）減；當0＜x＜1時，﹣xf′（x）＞0，f′（x）＜0，此時f（x）減；當x＞1時，﹣xf′（x）＜0，f′（x）＞0，此時f（x）增．綜上所述，y=f（x）的圖象可能是B，故選：B．【點評】本題主要考查了函數的單調性與導數的關系，同時考查了分類討論的思想，屬于基礎題．10．已知拋物線x2=2py（p＞0），斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點，若線段AB中點的橫坐標為2，則該拋物線的準線方程為（）A．y=﹣1B．y=1C．y=﹣2D．y=2【分析】設A（x1，y1），B（x2，y2）．由于直線斜率為1，可得方程為y=x+t．與拋物線的方程聯立，化為關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系和中點坐標公式可得p，即可得到拋物線的準線方程．【解答】解：設A（x1，y1），B（x2，y2）．由于直線斜率為1，可得方程為y=x+t，聯立，化為x2﹣2px﹣2pt=0，∴x1+x2=2p=2×2，解得p=2．∴拋物線的準線方程為y=﹣1．故選：A．【點評】本題考查了拋物線的標準方程及其性質、根與系數的關系和中點坐標公式，屬于中檔題．11．P為橢圓上一點，F1、F2為該橢圓的兩個焦點，若∠F1PF2=60°，則?等于（）A．3B．C．2D．2【分析】利用橢圓的定義、余弦定理和數量積運算即可得出．【解答】解：由橢圓的方程可得焦點F1（﹣1，0），F2（1，0），設|PF1|=m，|PF2|=n，由橢圓的定義可得m+n=4，由∠F1PF2=60°，利用余弦定理可得（2c）2=m2+n2﹣2mncos60°，∴m2+n2﹣mn=4，聯立，化為mn=4．∴?=mncos60°==2．故選：D．【點評】本題考查了橢圓的定義、余弦定理和數量積運算，屬于中檔題．12．已知f（x）=，若直線y=kx﹣與f（x）的圖象有三個公共點，則實數k的取值范圍是（）A．（﹣，+∞）B．（0，+∞）C．（﹣，+∞）D．（﹣3，﹣）∪（﹣，+∞）【分析】先畫出f（x）的圖象，由圖象可知，y=kx﹣過定點（﹣，0），當k≥0時，由圖象可知，有三個交點，當k＜0時，設直線y=kx﹣與f（x）=x3﹣3x的切點坐標為（x0，y0），利用導數的幾何意義求出k的值，再根據斜率公式求出k，繼而求出k的值，有圖象可知k的范圍．【解答】解：畫出f（x）=的圖象，如圖所示，∵y=kx﹣過定點（﹣，0），當k≥0時，由圖象可知，有三個交點，當k＜0時，設直線y=kx﹣與f（x）=x3﹣3x的切點坐標為（x0，y0），∴f′（x）=3x2﹣3，∴f′（x0）=3x02﹣3=k=，即3x03﹣3x0=y0+∵y0=x03﹣3x0，∴3x03﹣3x0=x03﹣3x0+，解得x0=，∴k=3x02﹣3=﹣，∴﹣＜k＜0時，也有三個交點，綜上所述，k的取值范圍為（﹣，+∞）．故選：A．【點評】本題主要考查函數的圖象的交點以及數形結合方法，數形結合是數學解題中常用的思想方法，本題由于使用了數形結合的方法，使得問題便迎刃而解，且解法簡捷，屬于中檔題．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．橢圓+=1上一點P到它的一個焦點的距離等于3，那么點P到另一個焦點的距離等于5．【分析】先根據條件求出a=4；再根據橢圓定義得到關于所求距離d的等式即可得到結論．【解答】解：設所求距離為d，由題得：a=4．根據橢圓的定義得：2a=3+d?d=2a﹣3=5．故答案為：5．【點評】本題主要考查了橢圓的性質，此類型的題目一般運用圓錐曲線的定義求解，會使得問題簡單化．屬基礎題．14．已知p：x≤1，q：x≤2a﹣1，若p是q的充分條件，則實數a的取值范圍是a≥1．【分析】由p是q的充分條件，可得1≤2a﹣1，解出即可得出．【解答】解：∵p是q的充分條件，∴1≤2a﹣1，解得a≥1．故答案為：a≥1．【點評】本題考查了充分條件的意義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．15．若函數f（x）=2x2﹣klnx在（1，+∞）上是增函數，則實數k的取值范圍是k≤4．【分析】求出函數的定義域，求出函數的導數，問題轉化為4x2﹣k≥0在[1，+∞）恒成立，求出k的范圍即可．【解答】解：f（x）=2x2﹣klnx的定義域是（0，+∞），f′（x）=4x﹣=，若函數f（x）=2x2﹣klnx在（1，+∞）上是增函數，只需4x2﹣k≥0在[1，+∞）恒成立，即k≤4x2在[1，+∞）恒成立，故k≤4，故答案為：k≤4．【點評】本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用，函數恒成立問題，是一道基礎題．16．如圖，F1和F2分別是雙曲線的兩個焦點，A和B是以O為圓心，以|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且△F2AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為．【分析】連接AF1，根據△F2AB是等邊三角形可知∠AF2B=30°，F1F2是圓的直徑可表示出|AF1|、|AF2|，再由雙曲線的定義可得c﹣c=2a，即可得到離心率的值．【解答】解：連接AF1，則∠F1AF2=90°，∠AF2B=30°∴|AF1|=，|AF2|=|F1F2|=c，∴c﹣c=2a，∴e==1+故答案為1+【點評】本題主要考查雙曲線的基本性質﹣﹣離心率的求法．考查基礎知識的靈活應用．三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．已知p：“方程﹣=1”表示雙曲線；q：“關于x的方程x2﹣mx+1=0沒有實數根”．若“￢p”和“p∨q”都是真命題，求m的取值范圍．【分析】分別判斷出p，q的真假，從而判斷出復合命題的真假即可．【解答】解：p：“方程﹣=1”表示雙曲線，∴m＞0；q：“關于x的方程x2﹣mx+1=0沒有實數根”，△=m2﹣4＜0，解得：﹣2＜m＜2，∴q：﹣2＜m＜2，又“￢p”和“p∨q”都是真命題，∴p是假命題且q是真命題，∴，解得：﹣2＜m≤0，∴m的范圍是（﹣2，0]．【點評】本題考查了復合命題的判斷，考查二次函數性質以及雙曲線問題，是一道基礎題．18．已知函數f（x）=（x2+x﹣1）ex（x∈R）．（1）求曲線f（x）在（1，f（1））處的切線方程；（2）求函數f（x）的極值．【分析】（1）求導，f′（1）=4e，直線斜率為4e，且過點（1，e），利用點斜式方程，求得切線方程；（2）先求出函數的單調區間，從而求出函數的極值．【解答】解：（1）∵f（x）=（x2+x﹣1）ex，（x∈R）∴f′（x）=（x2+3x）ex，∴f（1）=e，f′（1）=4e，∴曲線f（x）在（1，f（1））處的切線的方程為y﹣e=4e（x﹣1），即4ex﹣y﹣3e=0；（2）由（1）知f′（x）=（x2+3x）ex，令f′（x）=0，解得：x=﹣3或x=0，令f′（x）＞0，解得：x＜﹣3或x＞0；函數單調遞增；令f′（x）＜0，解得﹣3＜x＜0，函數單調遞遞減．x（﹣∞，﹣3）﹣3（﹣3，1）1（1，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）遞增極大值遞減極小值遞增當x=﹣3時取極大值，極大值為5e﹣3，當x=0取極小值為﹣1．【點評】本題考查利用導數法求曲線的切線方程及利用函數的單調性求極值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．19．已知圓P與直線x=﹣1相切，且經過（1，0），設點P的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）點A的坐標為（2，1），點B在曲線C上運動，求線段AB中點的軌跡方程．【分析】（1）由題意圓心P的軌跡是以（1，0）為焦點、開口向右的拋物線，可得圓心M的軌跡是以（1，0）為焦點的拋物線；（2）設線段AB中點M（x，y），B（x1，y1），由題意知：x1=2x﹣2，y1=2y﹣2，由點B在曲線C上運動，能求出點M的軌跡方程．【解答】解：（1）由題意圓心為P到點（1，0）的距離等于P直線x=﹣1相切，所以圓心P的軌跡是以（1，0）為焦點、開口向右的拋物線．所以曲線C的方程y2=4x；（2）設線段AB中點M（x，y），B（x1，y1），由題意知：x1=2x﹣2，y1=2y﹣2，∵點B在曲線C上運動，∴（2y﹣2）2=4（2x﹣2），整理，得（y﹣1）2=2x﹣2．【點評】本題考查動點的軌跡方程的求法，考查計算能力，考查代入法的運用，正確運用拋物線的定義是關鍵．20．某物理實驗室做實驗，需要一個體積為72m3的長方體封閉紙盒．若紙盒底面一邊的長是另一邊長的2倍，S表示紙盒的表面積，x表示紙盒底面上較短的邊長．（1）試寫出S與x間的函數關系式；（2）當x取什么值時，做一個這樣的長方體紙盒用紙盒最少？（值得厚度忽略不計）【分析】（1）由題意可表示出長方體的另外的邊長，由表面積公式可得；（2）變形可得S=4x2++，由基本不等式可得．【解答】解：（1）由題意可得紙盒底面上較長的邊長為2x，則由體積公式可得72=2x?x?h，（h為紙盒的高），則h=，故S=2?2x?x+2?2x?+2?x?=4x2+，x＞0；（2）∵S=4x2+，x＞0，∴S=4x2++≥3=108當且僅當4x2=即x=3時取等號．故當x=3時，做一個這樣的長方體紙盒用紙盒最少．【點評】本題考查函數的解析式的求解，涉及基本不等式解決最優化問題，屬中檔題．21．已知橢圓M：+=1（a＞b＞0）的左焦點為F1（﹣1，0），且長軸長是短軸長的倍．（1）求橢圓M的方程；（2）若斜率為的直線l與橢圓M位于x軸上方的部分交于C，D兩點，過C，D兩點分別做CE，DF垂直x軸于E，F兩點，若四邊形CEFD的面積為，求直線l的方程．【分析】（1）根據橢圓的性質分別求得a、b和c的值，即可寫出橢圓的方程；（2）設出C和D點坐標及直線方程，將直線方程代入橢圓方程，求得關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系，求得x1+x2和x1?x2，代入直線方程求得y1+y2，進而求得x1﹣x2，利用梯形的面積公式，即可求得m的值，寫出直線方程．【解答】解：（1）由橢圓的性質可知：c=1，2a=×2b，即a=b，∵a2=b2+c2，∴a=，b=1，c=1，∴橢圓M的方程：；（2）由題意可知：設C（x1，y1），D（x2，y2），且x1＞0，x2＜0，直線l的方程為：y=x+m，m＞0，∴，整理得：，由韋達定理可知：x1+x2=﹣，x1?x2=（m2﹣1），y1+y2=（x1+x2）+2m=，x1﹣x2==，四邊形CEFD的面