nn學習奧數的優點1、激發學對數學學習的興趣，更容易讓學生體驗成功，樹立自信。2、訓練學良好的數學思維習慣和思維品質。要

奧生思維更敏捷，考慮問題比別人更深層次。3、鍛煉學優良的意志品質。可以培養持之以恒的耐心和克服困難的信心，以及戰勝難題的勇氣。可以養成堅韌不拔的毅力4、獲得扎實的數學基本功，發揮創新精神和創造力的最大空間。6.2排列與組知梳一、排列、排列數從不同元素中取出≤n個元素的所___列____的個數，叫作從n個同元素中取出個素的排列數用符號表示為：m、排列相同的條件兩個排列相同，當且僅當兩個排列的元_完相，且元素的排列順____也相同．、排列數的公式：

Am

()

(

，其中

m,

且

m、把個不同的元素全部取出的一個排列，叫做個素的一個全排列，即：

n

(n)也就是說將n個不同的元素全部取出的排列數于整數1n的乘積做n的乘用

!

表示即

A!

。規定：

!、排列數公式也可以寫成：

Amn

n()!

，其中

m,

且

m二、組合、組合：從個同元素中取出

mm)

個元素作為一組，叫做從n個同元素中取個素的一個組合、組合數：從n個不同元素中取出m≤n)個元素的__有組合_____的個數，叫作從個不同元素中取出m個元素的組合數，用符號表示為：

、組合數公式：

Cm

A(n)Amm

n!(

，其中

m,

*

且

m規定：

C、組合數的性質：1

C

；（）

C

知典題型一排列念例

判斷下列問題是否為排列問題．(1)北京、上海、天津三個民航站間的直達航線的飛機票的價(假設來回的票價相同；(2)選2個小組分別去植樹和種菜；(3)選2個小組去種菜；(4)選人組成一個學習小組；(5)選3個人分別擔任班長、學習委員、活委員；(6)某班名學生在假期相互通信．【精彩點撥】

【自主解答】(2)(3)(4)(5)(6)AB鞏練

9A6－A5n910109991010n－Amn寫出下列問題的所有排列．9A6－A5n910109991010n－Amn(1)從四數字中任取兩個數字組成兩位，共有多少個不同的兩位數？(2)寫出從元素，b，c，d任取元素的所有排列．【精彩點撥】(1)(2)【自主解答】(1)12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43(2)adcdacdbcdcb

題型二排列式計算A5＋例(1)算：；證明：m－AmAm.nnn1010【精彩點撥】(1)2)Am【自主解答】(1)：

A5A4A6A5

4A45150A410A450

9A5A44×996：A6A510510×

(2)∵Am

1

＝

n－－m！＋＝－－！＝＋1－m＝m

！－m＝Am

1

n1nnn∴Amn1nnn

－Am＝mAm

1

鞏練給出下列四個關系式：①

!

(

②A

③

mn

n!(1)!④A(n)!(m)!其中正確的個數為（）A1個

B．2個

C．

D．個【答案】C【分析】①根據階乘公式判斷.②根據排列數公式判斷③根據排列公式判④根據排列數公判.【詳解】①因為

(

，故正②

!n()!(n)!

，故正③

mn

n!(n)!

，正確④因為

mn

n!(1)!，所以A(n)!(n)!

，故不正確.故選：題型三組合例

判斷下列各事件是排列問題還是組合問題．支隊以單循環進行比(兩隊比賽一次)這次比賽需要進行多少場次？支隊以單循環進行比賽，這次比賽冠、亞軍獲得者有多少種可能？(3)從個人里選3個表去開會，有多少種選法？(4)從個人里選出3個同學科的課代表，有多少種選法？【精彩點撥】【自主解答】(1)(2)(3)

n100n100n100n100n1(4)n100n100n100n100n1鞏練甲、乙、丙、丁4支足球隊舉行循環賽（1）列出所有各場比賽的雙方（2）列出所有冠、亞軍的可能況解題型四組合公式計算例式子可示為()！AA100C．

B．C100D．101C101(2)求值：5＋C9

【精彩點撥】【自主解答】(1)101nn

101C101n

【答案】D(2)

n145≤n≤5nNn14545.n4C5n

n

C9n

C1C55n

n

C

n1

C

C16.鞏練（多選）下列等式中，成立的有（）A

An

n!m!

B．

mmnC．

Cn

D．A

【答案】BCD【分析】根據排列數公式和組合數性質判斷．【詳解】A(n(nn

n!(n)!

，A錯；根據組合數性質知

正確；Amn

n!()!

n1)![(nm

nAn

，正確．故選：．題型五排列式應用例同學合影，其中男生，女生，站成了一排，要求3位生不相鄰的排法有（

）A12

B種

C．種

D．種【答案】A【分析】首先排女生，再排男生，然后再根據插空法以及排列式即可求【詳解】首先排女生，再排男生，然后再根據插空法可得：A2122

故選：A鞏練把2?4五個數字組成無重復數字的五位數，并把它們按由小到大的順序排成一個數.（1是個數列的第幾項？（2這個數列的第71項多少？（3求這個數列的各項.【答案】（1）第；）第71項3頭的五位數中第二大的數；）

【分析】（1先考慮大于的數，分為兩類：第一類開的五位數，第二類頭的五位數，求出對應的個數，即可得出不大于的數的個數，進而可到結果；（2分別求出開的五位數，2開的五位數，開的五位數，對應的個數總和為7，進而可得出結果；（3根據個位，十位，百位，千位，萬位上的數字的取值情況，分組求和，即可得出結.【詳解】（1先考慮大于的，分為以下兩類：第一類開頭的五位數有：

4

24第二類開頭的五位數有：一個∴不大于的數有：

A4120955

個)即是數中第95項（2）頭的五位數有：

4

24頭的五位數有：

4

24頭的五位數有：

424共有24

(個)所以第71項是3開的五位數中第二大的數，即35412.（3因為1，2，，4，5各萬位上時都有

424

個五位數，所以萬位數上的數字之和為

4同理，它們在千位，百位，十位，個位上也都有(1所以這個數列的各項和為4

24個位數，432

0

11111

題型六組合式應用例從3名醫生和名女生中，選派組成醫療小分隊，要求女生都有，則不同的選取方法種數為用字作答)【答案】

45【分析】根據題意分為兩類：男1女和，結合分類計數原理和組合數的計算公式，即可求.【詳解】由題意，從男醫生和名女醫中，選派人成醫療小分隊，要求女生都有，可分為兩類：第一類，若2男1女，共有

23

種不同的選取方法；第二類，若1男2女，共有

23

種不同的選取方法，由分類計數原理，可得不同的選取方法種數15故答案為：45.

種鞏練從進入決賽的9名手中決出2一等獎3名等獎4名等獎可能的決賽結果共有________種用數字作答）【答案】【分析】根據分步計數原理計算可得答【詳解】第一步，決出三等獎，有

C49

126

種；第二步，決出二等獎，有C種第三步，決出一等獎，有

C

種，根據分步計數原理可得，共有1261260

種故答案為：

1260鞏提

1、若A5

A42n

，則）B67D．【答案】B【分析】根據排列數與組合數公式列方程計算即.【詳解】解：由

A

得：5

n

2

，解得：

或n舍去.故選：2、下列等式不正確的是（）An

m

Cn

B．A

AC．

D．【答案】A【分析】根據排列組合數公式依次對選項，整理變形，分析可得答案．【詳解】A根據組合數公式，

n!(1)!m!()!(1)!()!

，A不正確；B

A

，n

故A

A

A

B確；C，

故

C正；D，

故D正；故選：A．3、若

A2

42

，則

n!3!(

的值為（）A60【答案】D【分析】

B

C．120D先由

A2

42

可求出，再代入式子即可求【詳解】

..

n

222

n2

42

，解得

或

（舍去），

n!7!71403!(3!3!3

故選：4、某校從5名學中選擇3人別參加數學、物理、化學競賽，則不同選法種數是（）A10

BD．125【答案】C【分析】先從名同學選擇分別參加數學、物理、化學競賽，再根據學科的不同排列求【詳解】根據題意，某校從5名學中選擇分別參加數學、物理、化學競賽，選出的人順序的區別，則有

3

種選法；故選：C.5、某小組共有5名同學，4名同現從該小組中選出同學分別到A，BC三進行社會調查，每地1名若選出的同學中男女均有，則不同的安排方法有（）A70

B種

C．840

D．420種【答案】D【分析】先按“男女2

”或“男2

女”出

名同學，再排到三個地方，由此計算出不同的方法.【詳解】如果按“男1女

”選出

名同學，則方法數有

5

24

種，如果按“男2

女1”選

名同學，則方法數有

C240

種，再將選出的3名學安排到個方，則總的方法數有

3

種故選：D6、三名男生和三名女生站成一照相，男生甲與男生乙相鄰，且三名女生中恰好有兩名女生相鄰，則不同的站法共有()A72

B種

C．種

D．144種【答案】D【分析】

【詳解】男甲與男生乙種法，再與另一個男生排列，則有種方法，

2

3AA144D

2

7、以長方體

AC111

的任意三個頂點為頂點作三角形，從中隨機取出三角形，則這三角形不共面的情兄有（）A【答案】B【分析】

B．D．1492根據平行六面體的幾何特征，可以求出以平行六面體

ABD1

的任意三個頂點為頂點作三角形的總個數及從中隨機取出2個角形的情況總數，再求出這兩個三角形共面情況數，即可得到這兩個三角形不共面的情況數，即可得到答案．【詳解】因為平行六面體

D111

的8頂點任意三個均不共線，故從個頂點任取三個均可構成一個三角形共有

3=56

個三角形，從中任選兩個，共有

C

種情況，因為平行六面體有六個面,六個角面，

從頂點中4點共面共有12種情況，每個面的四個頂點共確定個不同三角形，故任取出2三角形，則這三角形不共面共有-×61468，故選：、男同學和女同學站成一排（1）女同學必須站在一起，有多少種不同的排法？（2任何兩個女同學彼此不相鄰，有多少種不同的排法？（3其中甲、乙兩同學之間必須有人，有多少種不同的排法？（4男生和女生相間排列方法有多少種？【答案】（1）17280；）；（3；（4）.【分析】（1捆綁法求解即可；（2插空法求解即可；（3特殊位置法求解即可；（4插空法求解即.【詳解】（1）女同學必須站在一起，則視4女生為以整體，可得排法為

A464

；（2先排5個男同學，再插入女同學即可，所排法為：5

43200

；（3根據題意可得排法為：

C

A3

2

A

；（4）5男生中間有4個，插入女生即可故有排法

A5

.9、現有

本書和

位同學，將書全部分給這三位同（1若5本完全相同，每個同學至少有一本書，共有多少種分法？（2若5本都不相同，共有多少種分法？（3若

本書都不相同，每個同學至少有一本書，共有多少種分法？【答案】（1）

種；（2）

種；（3種【分析】

（1用擋板法求解；（2每本書都有三種分配方法，求冪便可得到答案；（3用分組分配問題的求解方法求解，①將本書分成3，②將分好的三組全排列，對應3名學生，由分步計數原理計算可得答案.【詳解】解：（1）據題意，若

本書完全相同，將

本書排成一排，中間有個位可用，在4空位中任選2個插入擋板，有C

種況，即有

種不同的分法；（2根據題意，若

本書都不相同，每本書可以分給

人中任意，都有分法，則不同的書有35（3根據題意，分進行分析：

243種①將

本書分成

組，若分成、、三組，有

C15102

種分組方法，若分成、、三組，有

C54152

種分組方法，025則有種分組方法；②將分好的三組全排列，對應3名生，有則有25種分法

A3

種情況，10、現有編號為A，B，

，D，F，

G

的7個不同的小球．（1若將這些小球排成一排，且要求，，

三個球相鄰，則有多少種不同的排法？（2若將這些小球排成一排，要求A球排在中間，且B，，各相鄰，則有多少種不同的排法？（3若將這些小球排成一排，要求A，B，C，四球按從左到右排（可以相也可以不相鄰），則有多少種不同的排法？（4若將這些小球放入甲，乙，丙三個不同的盒子，每個盒子至少一個球，至多3個球，則有多少種不同的放法？【答案】（1）