學業分層測評(十六)(建議用時：45分鐘)[學業達標]一、選擇題1．函數f(x)的定義域為開區間(a，b)，導函數f′(x)在(a，b)內的圖像如圖4-1-5所示，則函數f(x)在開區間(a，b)內極值點有()圖4-1-5A．1個 B．2個C．3個 D．4個【解析】y＝f′(x)的變號零點為極值點，不變號零點不是極值點，∴f(x)在開區間(a，b)內有3個極值點．【答案】C2．函數f(x)＝1＋3x－x3()A．有極小值，無極大值 B．無極小值，有極大值C．無極小值，無極大值 D．有極小值，有極大值【解析】∵f′(x)＝－3x2＋3，由f′(x)＝0得x＝±1.當x∈(－1,1)時f′(x)>0，∴f(x)的單調遞增區間為(－1,1)；同理，f(x)的單調遞減區間為(－∞，－1)和(1，＋∞)．∴當x＝－1時，函數有極小值－1，當x＝1時，函數有極大值3.【答案】D3．已知函數f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1沒有極值，則實數a的取值范圍是()A．(－3,6) B．[－3,6]C．(－∞，－3)∪(6，＋∞) D．(－∞，－3]∪[6，＋∞)【解析】f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，由題意可知f′(x)＝0沒有實根或有兩個相等實根，故Δ＝4a2－12(a＋6)≤0，解得－3≤a≤6，故選B.【答案】B4．函數f(x)＝ax3＋bx2＋cx的圖像如圖4-1-6所示，且f(x)在x＝x0與x＝2處取得極值，則f(1)＋f(－1)的值一定()圖4-1-6A．等于0 B．大于0C．小于0 D．小于或等于0【解析】f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由題意知，x＝x0與x＝2是方程3ax2＋2bx＋c＝0的兩根，由圖像知，a＞0且x0＋2＜0，∴－eq\f(2b,6a)＜0，∴b＞0.又f(1)＋f(－1)＝2b，∴f(1)＋f(－1)＞0.【答案】B5．三次函數當x＝1時有極大值4，當x＝3時有極小值0，則此函數的解析式是()A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9xC．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x【解析】設f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，則f(x)＝3ax2＋2bx＋c，由題意得f′(1)＝f′(3)＝0，f(1)＝4，f(3)＝0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a＋2b＋c＝0，,27a＋6b＋c＝0，,a＋b＋c＋d＝4，,27a＋9b＋3c＋d＝0，))解得：a＝1，b＝－6，c＝9，d＝0.【答案】B二、填空題6．(2023·湛江高二檢測)函數f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________處取得極小值．【解析】f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2；由f′(x)＞0，得x＜0或x＞2；由f′(x)＜0，得0＜x＜2，∴f(x)在x＝2處取得極小值．【答案】27．函數f(x)＝2x3－3x2＋a的極大值為6，那么a＝________.【導學號：63470083】【解析】由f′(x)＝6x2－6x，知函數f(x)的單調遞增區間為(－∞，0)和(1，＋∞)，單調遞減區間為(0,1)，故f(x)在x＝0處取得極大值6，故a＝6.【答案】68．已知函數f(x)＝－eq\f(1,2)x2＋4x－3lnx在[t，t＋1]上不單調，則t的取值范圍是________．【解析】由題意知f′(x)＝－x＋4－eq\f(3,x)＝eq\f(－x2＋4x－3,x)＝－eq\f(x－1x－3,x)，由f′(x)＝0得函數f(x)的兩個極值點為1,3，則只要這兩個極值點有一個在區間(t，t＋1)內，函數f(x)在區間[t，t＋1]上就不單調，由t<1<t＋1或t<3<t＋1，得0<t<1或2<t<3.【答案】(0,1)∪(2,3)三、解答題9．求下列函數的極值：(1)f(x)＝x3－2x2＋x＋1；(2)f(x)＝eq\f(x2,ex).【解】(1)函數的定義域為R，f′(x)＝3x2－4x＋1＝3(x－1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,3))).令f′(0)>0，可得x>1或x<eq\f(1,3)；令f′(x)<0，可得eq\f(1,3)<x<1.∴函數f(x)＝x3－2x2＋x＋1的單調遞增區間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))和(1，＋∞)，單調遞減區間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)).∴當x＝eq\f(1,3)時，函數有極大值，且為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\f(43,27)，當x＝1時，函數有極小值，且為f(1)＝1，(2)函數的定義域為R，f′(x)＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)04e－2由上表可以看出，當x＝0時，函數有極小值，且為f(0)＝0；當x＝2時，函數有極大值，且為f(2)＝4e－2.10．是否存在實數a，使函數f(x)＝eq\f(1,3)x3＋x2＋ax＋1在x＝1處取極值？若存在，求出a的值，并判斷f(1)是極大值還是極小值；若不存在，請說明理由．【解】假設存在實數a使函數f(x)＝eq\f(1,3)x3＋x2＋ax＋1在x＝1處取極值．又f′(x)＝x2＋2x＋a，∴f′(1)＝0，即1＋2＋a＝0，∴a＝－3當a＝－3時，f′(x)＝x2＋2x－3，令f′(x)＝0得x＝1或x＝－3.當x>1時，f′(x)>0，當－3<x<1時，f′(x)<0，故函數f(x)在x＝1處取極小值．故存在實數a＝－3使函數f(x)＝eq\f(1,3)x3＋x2＋ax＋1在x＝1處取極小值．[能力提升]1．設函數f(x)在R上可導，其導函數為f′(x)，且函數f(x)在x＝－2處取得極小值，則函數y＝xf′(x)的圖像可能是()【解析】∵f(x)在x＝－2處取得極小值，∴當x＜－2時，f(x)單調遞減，即f′(x)＜0；當x＞－2時，f(x)單調遞增，即f′(x)＞0.∴當x＜－2時，y＝xf′(x)＞0；當x＝－2時，y＝xf′(x)＝0；當－2＜x＜0時，y＝xf′(x)＜0；當x＝0時，y＝xf′(x)＝0；當x＞0時，y＝xf′(x)＞0.結合選項中圖像知，選C.【答案】C2．已知e為自然對數的底數，設函數f(x)＝(ex－1)·(x－1)k(k＝1,2)，則()A．當k＝1時，f(x)在x＝1處取到極小值B．當k＝1時，f(x)在x＝1處取到極大值C．當k＝2時，f(x)在x＝1處取到極小值D．當k＝2時，f(x)在x＝1處取到極大值【解析】當k＝1時，f′(x)＝ex·x－1，f′(1)≠0.∴x＝1不是f(x)的極值點．當k＝2時，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)顯然f′(1)＝0，且x在1的左邊附近f′(x)<0，x在1的右邊附近f′(x)>0，∴f(x)在x＝1處取到極小值．故選C.【答案】C3．設函數f(x)＝x3－eq\f(9,2)x2＋6x－a.(1)對于任意實數x，f′(x)≥m恒成立，求m的最大值；(2)若方程f(x)＝0有且僅有一個實根，求a的取值范圍．【解】(1)f′(x)＝3x2－9x＋6.∵x∈(－∞，＋∞)，f′(x)≥m恒成立，即3x2－9x＋(6－m)≥0恒成立，∴Δ＝81－12(6－m)≤0，得m≤－eq\f(3,4).即m的