廣州大學(xué)物理與電子工程學(xué)院1.3離散時(shí)間信號(hào)的頻域分析第一章離散信號(hào)與系統(tǒng)分析主要內(nèi)容

一、離散Fourier級(jí)數(shù)（DFS）二、離散Fourier級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)三、離散時(shí)間Fourier變換（DTFT）四、離散時(shí)間Fourier變換的性質(zhì)五、頻域抽樣定理重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)1、DFS的定義與性質(zhì)2、DTFT的定義與性質(zhì)難點(diǎn)1、周期序列的周期卷積2、離散非周期序列與其DTFT的對(duì)稱特性3、頻域抽樣定理一、離散Fourier級(jí)數(shù)1、離散Fourier級(jí)數(shù)的定義：

稱為周期序列的離散Fourier級(jí)數(shù)(DFS)，也稱為周期序列的頻譜。一、離散Fourier級(jí)數(shù)周期為N的序列的頻譜也是周期為N的序列2、離散Fourier級(jí)數(shù)的周期性：例1：求周期為4序列的頻譜解：解：矩陣形式表示：={2，2，-2，2}例1：求周期為4序列的頻譜二、離散Fourier級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)1.線性特性二、離散Fourier級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)2.位移特性周期序列的位移2.位移特性(a)時(shí)域位移特性

序列在時(shí)域的位移，對(duì)應(yīng)其頻域的相移。二、離散Fourier級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)(b)頻域位移特性

序列在時(shí)域的相移，對(duì)應(yīng)其頻域的位移3.對(duì)稱特性若為實(shí)序列，即，則有：二、離散Fourier級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)4.周期卷積特性周期卷積的定義：

周期卷積是兩個(gè)等周期的周期序列的卷積運(yùn)算。周期卷積的結(jié)果仍為相同周期的周期序列。二、離散Fourier級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)例3：周期N=3的序列如圖所示，試求012k121

周期卷積與線性卷積類似，只是在一個(gè)周期內(nèi)求和。周期卷積的矩陣表示：例：N=4二、離散Fourier級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)4.周期卷積特性

時(shí)域周期卷積定理：

頻域周期卷積定理：

時(shí)域的周期卷積對(duì)應(yīng)頻域的乘積。二、離散Fourier級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)

時(shí)域的乘積對(duì)應(yīng)頻域的周期卷積。5.Parseval定理

時(shí)域周期序列的功率等于頻域周期序列的功率。二、離散Fourier級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)X(ejW

)是W的連續(xù)函數(shù)

X(ejW)是周期為2p的周期函數(shù)IDTFT：DTFT:序列的DTFT定義三、離散時(shí)間Fourier變換(DTFT)例4：

試求序列x[k]=aku[k]的DTFT。

當(dāng)|a|>1時(shí)，求和不收斂，序列的DTFT不存在。

當(dāng)|a|<1時(shí)，解：DTFT的收斂性

定義X(ejW)的部分和為：即x[k]絕對(duì)可和。一致收斂平方可和，即能量有限均方收斂

若序列滿足絕對(duì)可和，則序列存在DTFT。（充分條件）

若序列滿足平方可和(能量有限)，存在DTFT。（充分條件）三、離散時(shí)間Fourier變換(DTFT)1.線性特性若：則有：四、離散時(shí)間Fourier變換的性質(zhì)若則

序列的時(shí)域位移對(duì)應(yīng)頻域的相移2.時(shí)移特性四、離散時(shí)間Fourier變換的性質(zhì)若則

序列的頻域的頻移對(duì)應(yīng)時(shí)域相移3.頻移特性四、離散時(shí)間Fourier變換的性質(zhì)例6：已知x[k]的頻譜如圖所示，試求y[k]=x[k]cos(pk)的頻譜。解：若：則：4.對(duì)稱特性四、離散時(shí)間Fourier變換的性質(zhì)4.對(duì)稱特性當(dāng)x[k]是實(shí)序列時(shí)，有：四、離散時(shí)間Fourier變換的性質(zhì)證明：由于x[k]為實(shí)序列，所以有x[k]=x*[k]，從而有：當(dāng)x[k]為實(shí)偶序列時(shí)，即x[k]=x*[k]

，x[k]=x[-k]，有

所以，X(ejW)是W的虛奇函數(shù)。當(dāng)x[k]為實(shí)奇序列時(shí)，即x[k]=x*[k]

，x[k]=-x[-k]

，四、離散時(shí)間Fourier變換的性質(zhì)所以，X(ejW)是W的實(shí)偶函數(shù)。4.對(duì)稱特性x[k]為虛偶序列，

x[k]為虛奇序列，

思考題：例5：已知x[k]是實(shí)奇序列，且x[k]的DTFT是X(eiΩ)。證明X(eiΩ)

是虛奇函數(shù)。例7：試求序列y[k]的DTFT。5.卷積特性

序列時(shí)域的卷積對(duì)應(yīng)頻域的乘積序列時(shí)域的乘積對(duì)應(yīng)頻域的卷積四、離散時(shí)間Fourier變換的性質(zhì)6.頻域微分四、離散時(shí)間Fourier變換的性質(zhì)序列時(shí)域的能量等于頻域的能量！證:7.Parseval定理四、離散時(shí)間Fourier變換的性質(zhì)例8：已知x[k]為一有限長(zhǎng)序列且不計(jì)算x[k]的DTFTX(ejW)，試直接確定下列表達(dá)式的值。

解：(1)(2)(3)(4)(5)

(1)(2)(3)(4)(5)是連續(xù)的周期函數(shù)。頻域抽樣定理的引出：

五、頻域抽樣定理問題1：如何用計(jì)算機(jī)處理x[k]的頻譜？解決方法：?jiǎn)栴}2：頻譜離散化之后對(duì)應(yīng)序列的與原來的序列有什么關(guān)系？——頻域抽樣定理序列頻譜的離散化，對(duì)應(yīng)其時(shí)域序列的周期化。頻率抽樣定理：

五、頻域抽樣定理問題3：時(shí)域序列x[k]如何周期化？

結(jié)論1：當(dāng)周期化后的周期N小于序列長(zhǎng)度時(shí)，周期化后的序列會(huì)出現(xiàn)混疊(aliasing)。序列的周期化

結(jié)論2：當(dāng)周期化后的周期N大于等于序列長(zhǎng)度時(shí),周期化后的序列與原序列一個(gè)周期內(nèi)的值相同。X(ejW)在頻域的離散化導(dǎo)致對(duì)應(yīng)的時(shí)域序列x[k]的周期化。x(t)在時(shí)域的離散化導(dǎo)致對(duì)應(yīng)的頻譜函數(shù)X(jw)的周期化。時(shí)域抽樣頻域抽樣CTFTDTFTIDTFTIDFS

五、頻域抽樣定理頻域抽樣定理例9：已知有限序列x[k]={-1,-1,4,3；k=0,1,2,3}，序列x[k]的DTFT為X(ejW)。記X(ejW)在{W=2p

m/3;m=0,1,2}的取樣值為X[m]，求IDFS{X[m]}

。IDFS{X[m]}=x[k]+x[k+3]+x[k-3]={2,-1,4;k=0,1,2}解：

X(ejW)在頻域的離散化導(dǎo)致對(duì)應(yīng)的時(shí)域序列x[k]的周期化。利用頻域抽樣定理1、離散Fourier級(jí)數(shù)六、小結(jié)1)DFS的定義：2)DFS的周期性：六、小結(jié)2、離散Fourier級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)1)線性特性2)位移特性(a)時(shí)域位移特性:(b)頻域位移特性:3)對(duì)稱特性4)周期卷積時(shí)域周期卷積定理：頻域周期卷積定理：5)Parseval定理六、小結(jié)3、離散時(shí)間Fourier變換（DTFT）IDTFT：DTFT:1)DTFT的定義2)DTFT的收斂性即x[k]絕對(duì)可和。則x[k]平方可和。

若序列滿足絕對(duì)可和，則序列存在DTFT。（充分條件）

若序列滿足平方可和，