人教版高中數學選修4-5第四講用數學歸納法證明不等式課題1數學歸納法（1）朱修龍教學目標1.知識與技能①理解數學歸納法的概念；②掌握數學歸納法的證題步驟。2.過程與方法經歷與感受數學歸納法原理發現和提出的過程，體會其中蘊含的化無限問題為有限問題的思路與方法3.情感態度與價值觀通過數學歸納法的學習，開拓數學視野，體會數學歸納法使有限和無限間實現了平衡的科學意義。教學重難點重點:了解數學歸納法原理，能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題．難點:運用數學歸納法時，在“歸納遞推”的步驟中發現具體問題的遞推關系教學過程【課前預習】閱讀教材92-95，并思考如下問題.（1）通過歸納推理猜想的結論是不是都正確？請舉例說明.（2）教材上說數學歸納法是一種特殊的證明方法，其“特殊”體現在哪？（3）在多米諾骨牌游戲中，能使所有的骨牌全部倒下的條件是什么？（4）你認為證明數列的通過公式是與多米諾骨牌游戲有哪些相似性？請類比多米諾骨牌游戲證明這個問題.(5)總結數學歸納法的證明步驟，并思考用數學歸納法證明的關鍵點和難點分別是什么？（6）有人說:“數學歸納法使無限與有限間實現了平衡”,請談談你對這句話的理解.一、釋疑解惑，導入新知1、（1）歐拉（Euler）證明了當n=5時，=4294967297=6700417×641，從而否定了費馬的推測．這說明了什么？2、閱讀下面兩個推理，并思考用什么方法對猜想進行證明？①有一盒沒有用完的粉筆，我拿出一支，發現時白色的，然后我又拿出兩支，發現還是白色的，于是我猜想這個盒子里剩下的粉筆都是白色的.②對于數列，已知，通過對前4項歸納，我們猜想其通項公式是.師生小結：否定猜想，只要舉出反例即可以，若要證明猜想成立，當n較小時，可以用一一驗證的方法，當n較大或證明n取任意正整數都成立，這種想法價值不大.我們需要探求一種方法：二、合作探究，展示成果探究1.教材上說數學歸納法是一種特殊的證明方法，其“特殊”體現在哪？探究2.在多米諾骨牌游戲這個游戲中，能使所有的骨牌全部倒下的條件是什么？師生小結：只要滿足以下兩條件，所有多米諾骨牌就都能倒下：（1）第一塊骨牌倒下；（2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導致后一塊倒下。可以看出，條件（2）事實上給出了一個遞推關系：當第k塊倒下時，相鄰的第k+1塊也倒下。這樣，要使所有的骨牌全部倒下，只要保證（1）（2）成立。探究3.類比多米諾骨牌原理解決數學猜想已知數列，，你認為證明數列的通過公式是，這個猜想與上述多米諾骨牌游戲有相似性嗎？你能類比多米諾骨牌游戲解決這個問題嗎？分析：多米諾骨牌游戲原理通項公式的證明方法（1）第一塊骨牌倒下。（1）當n=1時a1=1，猜想成立（2）若第k塊倒下時，則相鄰的第k+1塊也倒下。（2）若當n=k時猜想成立，即

，則當n=k+1時猜想也成立，即。根據（1）和

（2），可知不論有多少塊骨牌，都能全部倒下。根據（1）和（2），可知對任意的正整數n，猜想都成立。【知識提煉】數學歸納法的原理一般地，證明一個與正整數n有關的命題，可按下列步驟進行：（1）（歸納奠基）證明當n取第一個值n0時命題成立；（2）（歸納遞推）假設n=k()時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立。上述證明方法叫做數學歸納法注意：（1）這兩步步驟缺一不可。（2）用數學歸納法證明命題時，難點和關鍵都在第二步，而在這一步主要在于合理運用歸納假設，結合已知條件和其他數學知識，證明“當n=k+1時命題成立”。三、知識應用、拓展延伸1、錯例剖析下面用數學歸納法證明的過程是否正確？指出錯誤，并糾正。①證明,某同學證明如下：證明：（1）假設當時等式成立，那么，當時，左邊=即當時等式也成立.（2）故原等式對任意成立.所以上面等式對一切正整數都成立.②證明：,某同學證明如下：證明：⑴當時，左邊=1，右邊=1，所以等式成立.⑵假設當時等式成立，即：那么，當時，即當時等式也成立.綜合(1)(2)知，原等式對任意都成立.2．典例講評例1.用數學歸納法證明：當時，．證：（1）當時，，，結論成立．（2）假設時，結論成立，即，那么．所以當時，命題也成立．根據（1）和（2），可知結論當時都成立．點評：應用數學歸納法證明時，第一步驗證是基礎，第二步推證是證明的關鍵，二者缺一不可，且在推證時，必須使用時的結論，否則就不是數學歸納法.例2．已知數列,計算,根據計算結果,猜想的表達式,并用數學歸納法進行證明．證：；；；.可以看出,上面表示四個結果的分數中,分子與項數一致,分母可用項數表示為.于是可以猜想.下面用數學歸納法證明這個猜想.（1）當時，左邊=,右邊=,猜想成立．（2）假設()時，猜想成立,即,那么．所以當時，猜想也成立．根據（1）和（2），可知猜想對任何時都成立．點評：探索性問題未給出問題的結論，需要由特殊情況入手，猜想、證明一般結論.它的解題思路是：從給出的條件出發，通過觀察、試驗、歸納、猜想、探索出結論，然后再對歸納猜想的結論進行證明.3.鞏固提升（1）用數學歸納法證明：“1+a+a2+…+an+1=(a≠1)”，在驗證n=1時，左端計算所得的項為（）A．1 B．1+a C．1+a+a2 D．1+a+a2+a3答案：C（2）某個命題當n=k(k∈N)時成立，可證得當n=k+1時也成立。現在已知當n=5時該命題不成立，那么可推得（）A.n=6時該命題不成立B.n=6時該命題成立C.n=4時該命題不成立D.n=4時該命題成立答案：C（3）用數學歸納法證明等式:的過程中，由n＝k到n＝k＋1左邊增加的代數式為答案：四、感悟小結、布置作業1.數學歸納法是一種證明與自然數有關的數學命題的重要方法。其格式主要有兩個步驟、一個結論；2.有人說:“數學歸納法使無限與有限間實現了平衡”,請談談你對這句話的理解.3.作業布置：（1）必做練習P96A組