第二章隨機變量(第六講)退出前一頁后一頁目錄§1

離散型隨機變量§2

隨機變量的分布函數§3

連續型隨機變量§4二維隨機變量的聯合分布§5多維隨機變量的邊緣分布與獨立性§6條件分布(不作要求)§7隨機變量函數的分布第二章隨機變量§1離散型隨機變量離散型隨機變量幾種常用的離散型隨機變量退出前一頁后一頁目錄隨機變量的概念第二章隨機變量例1

袋中有3只黑球，2只白球，從中任意取出3只球．我們將3只黑球分別記作1，2，3號，2只白球分別記作4，5號，則該試驗的樣本空間為§1離散型隨機變量考察取出的3只球中的黑球的個數。退出前一頁后一頁目錄一、隨機變量的概念我們記取出的黑球數為X，則X

的可能取值為1，2，3．因此，X

是一個變量．但是，

X取什么值依賴于試驗結果，即X的取值帶有隨機性，所以，我們稱X為隨機變量．X

的取值情況可由下表給出：第二章隨機變量退出前一頁后一頁目錄§1離散型隨機變量由上表可以看出，該隨機試驗的每一個結果都對應著變量X

的一個確定的取值，因此變量X

是樣本空間S上的函數：我們定義了隨機變量后，就可以用隨機變量的取值情況來刻劃隨機事件．例如表示至少取出2個黑球這一事件，等等．表示取出2個黑球這一事件；退出前一頁后一頁目錄第二章隨機變量§1離散型隨機變量例2

擲一顆骰子，令

X：出現的點數．則X就是一個隨機變量．表示擲出的點數不超過4這一隨機事件；表示擲出的點數為偶數這一隨機事件．它的取值為1,2,3,4,5,6．退出前一頁后一頁目錄第二章隨機變量§1離散型隨機變量例3

上午8:00～9:00在某路口觀察，令：

Y：該時間間隔內通過的汽車數．則Y就是一個隨機變量．表示通過的汽車數小于100輛這一隨機事件；表示通過的汽車數大于50輛但不超過100輛這一隨機事件．它的取值為0，1，…．注意Y

的取值是可列無窮個！退出前一頁后一頁目錄第二章隨機變量§1離散型隨機變量例4觀察某電子元件的壽命（單位：小時），令

Z：該電子元件的壽命．則Z就是一個隨機變量．它的取值為所有非負實數．表示該電子元件的壽命大于1000小時這一隨機事件．表示該電子元件的壽命不超過500小時這一隨機事件．注意Z

的取值是不可列無窮個！退出前一頁后一頁目錄第二章隨機變量§1離散型隨機變量例

5擲一枚硬幣，令：則X是一個隨機變量．說明：在同一個樣本空間上可以定義不同的隨機變量．退出前一頁后一頁目錄第二章隨機變量§1離散型隨機變量例

6擲一枚骰子，在例2中，我們定義了隨機變量X表示出現的點數．我們還可以定義其它的隨機變量，例如我們可以定義：等等．退出前一頁后一頁目錄第二章隨機變量§1離散型隨機變量二、離散型隨機變量1)離散型隨機變量的定義如果隨機變量X的取值是有限個或可列無窮個，則稱X

為離散型隨機變量．退出前一頁后一頁目錄第二章隨機變量§1離散型隨機變量2)離散型隨機變量的分布律設離散型隨機變量X

的所有可能取值為并設則稱上式或為離散型隨機變量X

的分布律．退出前一頁后一頁目錄第二章隨機變量§1離散型隨機變量3)離散型隨機變量分布律的性質:退出前一頁后一頁目錄第二章隨機變量§1離散型隨機變量例

1

從1～10這10個數字中隨機取出5個數字，令X：取出的5個數字中的最大值．試求X的分布律．具體寫出，即可得X

的分布律：解：X

的可能取值為5，6，7，8，9，10．并且=——求分布率一定要說明k

的取值范圍！退出前一頁后一頁目錄第二章隨機變量§1離散型隨機變量例

2將1

枚硬幣擲3

次，令X：出現的正面次數與反面次數之差．試求：（1）X

的分布律；解：X

的可能取值為-3，-1，1，3．并且分布率為退出前一頁后一頁目錄第二章隨機變量§1離散型隨機變量例

3設隨機變量X

的分布律為解：由分布率的性質，得該級數為等比級數，故有所以退出前一頁后一頁目錄第二章隨機變量§1離散型隨機變量設一汽車在開往目的地的道路上需經過四盞信號燈，

每盞信號燈以概率p禁止汽車通過.以X表示汽車首次停下時，它已通過的信號燈的盞數，求X

的分布律.(信號燈的工作是相互獨立的).P{X=3}可愛的家園例4=(1-p)3p退出前一頁后一頁目錄第二章隨機變量§1離散型隨機變量解：

以p

表示每盞信號燈禁止汽車通過的概率，則 X

的分布律為：Xpk

01234p或寫成

P{X=k}=(1-p)kp，k=0,1,2,3

P{X=4}=(1-p)4

例4(續)

(1-p)p(1-p)2p(1-p)3p(1-p)4

退出前一頁后一頁目錄第二章隨機變量§1離散型隨機變量以p=1/2代入得：Xpk

01234

0.50.250.1250.06250.0625例4(續)退出前一頁后一頁目錄第二章隨機變量§1離散型隨機變量二、幾種常用的離散型隨機變量1)(0-1)分布(Bernoulli分布)如果隨機變量X的分布律為或則稱隨機變量X

服從參數為p的Bernoulli分布．退出前一頁后一頁目錄第二章隨機變量§1離散型隨機變量Bernoulli分布也稱作0-1

分布或二點分布．Bernoulli分布的概率背景進行一次Bernoulli試驗，A是隨機事件。設：設X表示這次Bernoulli試驗中事件A發生的次數．或者設退出前一頁后一頁目錄第二章隨機變量§1離散型隨機變量2）二項分布如果隨機變量X的分布律為退出前一頁后一頁目錄第二章隨機變量§1離散型隨機變量分布律的驗證⑴由于以及n

為自然數，可知⑵又由二項式定理，可知所以是分布律．退出前一頁后一頁目錄第二章隨機變量§1離散型隨機變量說明顯然，當n=1

時退出前一頁后一頁目錄第二章隨機變量§1離散型隨機變量二項分布的概率背景進行n重Bernoulli試驗，A是隨機事件。設在每次試驗中令X表示這

n次

Bernoulli試驗中事件A發生的次數．退出前一頁后一頁目錄第二章隨機變量§1離散型隨機變量說明：所以退出前一頁后一頁目錄第二章隨機變量§1離散型隨機變量例5一大批產品的次品率為0.1，現從中取出15件．試求下列事件的概率：

B={取出的15件產品中恰有2件次品}

C={取出的15件產品中至少有2件次品}由于從一大批產品中取15件產品，故可近似看作是一15重Bernoulli試驗．解：所以，退出前一頁后一頁目錄第二章隨機變量§1離散型隨機變量例6一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個可能答案，其中只有一個答案是正確的．某學生靠猜測能答對4道題以上的概率是多少？則答5道題相當于做5重Bernoulli試驗．解：每答一道題相當于做一次Bernoulli試驗，退出前一頁后一頁目錄第二章隨機變量§1離散型隨機變量所以退出前一頁后一頁目錄第二章隨機變量§1離散型隨機變量二項分布的分布形態二項分布的分布形態由此可知，二項分布的分布率先是隨著

k的增大而增大，達到其最大值后再隨著k的增大而減少．這個使得退出前一頁后一頁目錄第二章隨機變量§1離散型隨機變量可以證明：退出前一頁后一頁目錄第二章隨機變量§1離散型隨機變量例7對同一目標進行300次獨立射擊，設每次射擊時的命中率均為0.44，試求300次射擊最可能命中幾次？其相應的概率是多少？則由題意解：對目標進行300次射擊相當于做300重Bernoulli

試驗．令：退出前一頁后一頁目錄第二章隨機變量§1離散型隨機變量因此，最可能射擊的命中次數為其相應的概率為退出前一頁后一頁目錄第二章隨機變量§1離散型隨機變量3）Poisson

分布如果隨機變量X

的分布律為則稱隨機變量X服從參數為λ的Poisson

分布．退出前一頁后一頁目錄第二章隨機變量§1離散型隨機變量分布律的驗證⑴由于可知對任意的自然數k，有⑵又由冪級數的展開式，可知所以是分布律．退出前一頁后一頁目錄第二章隨機變量§1離散型隨機變量Poisson分布的應用Poisson分布是概率論中重要的分布之一．自然界及工程技術中的許多隨機指標都服從Poisson分布．例如，可以證明，電話總機在某一時間間隔內收到的呼叫次數，放射物在某一時間間隔內發射的粒子數，容器在某一時間間隔內產生的細菌數，某一時間間隔內來到某服務臺要求服務的人數，等等，在一定條件下，都是服從Poisson分布的．退出前一頁后一頁目錄第二章隨機變量§1離散型隨機變量如果隨機變量X

的分布律為試確定未知常數c.例11由分布率的性質有解：退出前一頁后一頁目錄第二章隨機變量§1離散型隨機變量例12設隨機變量X

服從參數為λ的Poisson分布，且已知解：隨機變量X

的分布律為由已知退出前一頁后一頁目錄第二章隨機變量§1離散型隨機變量得由此得方程得解所以，退出前一頁后一頁目錄第二章隨機變量§1離散型隨機變量例13退出前一頁后一頁目錄第二章隨機變量§1離散型隨機變量解：設B={此人在一年中得3次感冒}則由Bayes公式，得____________________________________=退出前一頁后一頁目錄第二章隨機變量§1離散型隨機變量Poisson定理證明：退出前一頁后一頁目錄第二章隨機變量§1離散型隨機變量對于固定的

k，有所以，退出前一頁后一頁目錄第二章隨機變量§1離散型隨機變量Poisson定理的應用由Poisson

定理，可知退出前一頁后一頁目錄第二章隨機變量§1離散型隨機變量Poisson定理的應用例14設每次射擊命中目標的概率為0.012，現射擊600次，求至少命中3次目標的概率（用Poisson分布近似計算）．解：退出前一頁后一頁目錄第二章隨機變量§1離散型隨機變量例15某車間有100臺車床獨立地工作著，發生故障的概率都是0.01.在通常情況下，一臺車床的故障可由一個人來處理.問至少需配備多少工人，才能保證當車床發生故障但不能及時維修的概率不超過0.01

？

解：設需配備

N

人，記同一時刻發生故障的設備臺數為X，則X~b(100，0.01），取值，使得：需要確定最小的

N

的退出前一頁后一頁目錄第二章隨機變量§1離散型隨機變量查表可知，滿足上式的最小的

N是4

,因此至少需配備4

個工人。例15（續）退出前一頁后一頁目錄第二章隨機變量§1離散型隨機變量例16

保險公司售出某種壽險（一年）保單2500份.每單交保費100元，當被保人一年內死亡時，家屬可從保險公司獲得2萬元的賠償.若此類被保人一年內死亡的概率為0.001，求（1）保險公司虧本的概率；

（2）保險公司獲利不少于10萬元的概率.

解：設此類被保人一年內死亡的人數為X，則X~b(2500，0.001）.退出前一頁后一頁目錄第二章隨機變量§1離散型隨機變量例16（續）（1）P(保險公司虧本)（2）P(保險公司獲利不少于10萬元)退出前一頁后一頁目錄第二章隨機變量§1離散型隨機變量4）幾何分布若隨機變量X

的分布律為退出前一頁后一頁目錄第二章隨機變量§1離散型隨機變量分布律的驗證⑴由條件⑵由條件可知綜上所述，可知是一分布律．退出前一頁后一頁目錄第二章隨機變量§1離散型隨機變量幾何分布的概率背景在Bernoulli試驗中，試驗進行到A首次出現為止．即退出前一頁后一頁目錄第二章隨機變量§1離散型隨機變量例

17對同一目標進行射擊，設每次射擊時的命中率為0.64，射擊進行到擊中目標