山西省呂梁市石口中學2023年高三數學理聯考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若集合，，則A∩B=（▲）A．

B.

C.

D.參考答案：C化簡集合

2.已知，，則（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C3.（07年寧夏、海南卷理）一個四棱錐和一個三棱錐恰好可以拼接成一個三棱柱.這個四棱錐的底面為正方形，且底面邊長與各側棱長相等，這個三棱錐的底面邊長與各側棱長也都相等．設四棱錐、三棱錐、三棱柱的高分別為，，，則（）Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．參考答案：答案：B解析：如圖，設正三棱錐的各棱長為，則四棱錐的各棱長也為，

于是

4.若為銳角三角形，則下列不等式中一定能成立的是（

）（A）

（B）

（C）（D）參考答案：D略5.奇函數是定義在上的減函數，滿足不等式，，為坐標原點，則當時，的取值范圍為（

）A．

B.

C.

D.參考答案：D6.若雙曲線x2+ky2=1的離心率是2，則實數k的值是（

）

A．-3

B．

C．3

D．參考答案：B7.函數

的定義域是

（

）A．

B.

C.

D.參考答案：C略8.直線截圓得到的劣弧所對圓心角等于（

）A．

B．

C．

D． 參考答案：C9.如圖，長方體中，.設長方體的截面四邊形的內切圓為O，圓O的正視圖是橢圓，則橢圓的離心率等于A. B. C. D.參考答案：B

【知識點】橢圓的性質H5由題意得橢圓內切與邊長為2，的矩形，易知橢圓的長軸長為2，短軸長為，所以a=1，c=，故，故選B。【思路點撥】由題意得橢圓內切與邊長為2，的矩形，易知橢圓的長軸長為2，短軸長為，所以a=1，c=，故。10.數列{an}滿足,且．記數列{an}的前n項和為Sn,則當Sn取最大值時n為（

）A.11 B.12 C.11或13 D.12或13參考答案：C【分析】分的奇偶討論數列的奇偶性分別滿足的條件,再分析的最大值即可.【詳解】由題,當為奇數時,,.故.故奇數項為公差為1的等差數列.同理當為偶數時,.故偶數項為公差為-3的等差數列.又即.又.所以.綜上可知,奇數項均為正數,偶數項隨著的增大由正變負.故當取最大值時n為奇數.故n為奇數且此時有,解得.故或.故選：C【點睛】本題主要考查了奇偶數列的應用,需要根據題意推導奇偶項數列的遞推公式,再根據題意分析相鄰兩項之和與0的大小關系列不等式求解.屬于難題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.直線y=e2，y軸以及曲線y=ex圍成的圖形的面積為．參考答案：e2+1【考點】定積分．【專題】計算題．【分析】先求出兩曲線y=e2，曲線y=ex的交點坐標（2，e2），再由面積與積分的關系將面積用積分表示出來，由公式求出積分，即可得到面積值．【解答】解：由題意令解得交點坐標是（2，e2）故由直線y=e2，y軸以及曲線y=ex圍成的圖形的面積為：∫02（e2﹣ex）dx=（e2x﹣ex）=e2+1．故答案為：e2+1．【點評】本題考查定積分在求面積中的應用，解答本題關鍵是根據題設中的條件建立起面積的積分表達式，再根據相關的公式求出積分的值，用定積分求面積是其重要運用，掌握住一些常用函數的導數的求法是解題的知識保證．12.設是等比數列的前n項和，若S1，2S2，3S3成等差數列，則公比q等于

。參考答案：略13.已知an=n（n+1），則a1+a2+…+a9=．參考答案：330【考點】數列的求和．【分析】方法一、直接法，計算即可得到所求和；方法二、由數列的求和方法：分組求和，結合n個正整數的平方和公式和等差數列的求和公式，化簡整理，計算即可得到所求和．【解答】解法一、由an=n（n+1），直接計算可得：a1+a2+…+a9=1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6×7+7×8+8×9+9×10=330．解法二、（公式法）由an=n（n+1）=n2+n，可得Sn=（12+22+…+n2）+（1+2+…+n）=+=，可得a1+a2+…+a9=S9==330．故答案為：330．14.當x∈（0，1）時，函數f（x）=ex﹣1的圖象不在函數g（x）=x2﹣ax的下方，則實數a的取值范圍是．參考答案：[2﹣e，+∞）【考點】利用導數求閉區間上函數的最值．【分析】由已知得f（x）﹣g（x）=ex﹣x2+ax﹣1≥0對x∈（0，1）恒成立，從而=h（x）對于x∈（0，1）恒成立，進而a≥h（x）max，=（）（ex﹣x﹣1），由導數性質得h（x）是增函數，由此能求出實數a的取值范圍．【解答】解：∵當x∈（0，1）時，函數f（x）=ex﹣1的圖象不在函數g（x）=x2﹣ax的下方，∴f（x）﹣g（x）=ex﹣x2+ax﹣1≥0對x∈（0，1）恒成立，∴ex﹣x2+ax﹣1≥0，∴=h（x）對于x∈（0，1）恒成立，∴a≥h（x）max，=（）（ex﹣x﹣1），令t（x）=ex﹣x﹣1，x∈（0，1），t′（x）=ex﹣1＞0對x∈（0，1）恒成立，∴t（x）≥t（0）=0，∴h′（x）＞0恒成立，h（x）是增函數，∴h（x）max=h（1）=，∴實數a的取值范圍是[2﹣e，+∞）．故答案為：[2﹣e，+∞）．15.已知，把數列的各項排列成如下的三角形狀，記表示第行的第個數，則=

.

參考答案：略16.已知函數的部分圖像如圖所示，則的值分別為______________．參考答案：17.在直角三角形ABC中，，取點D、E使，那么

。參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC與BD的交點M恰好是AC中點，又PA=AB=4，∠CDA=120°，點N在線段PB上，且PN=．（1）求證：MN∥平面PDC；（2）求點C到平面PBD的距離．參考答案：【考點】MK：點、線、面間的距離計算；LS：直線與平面平行的判定．【分析】（1）利用已知條件分別求出BM、MD、PB，得到=，即可得到MN∥PD，再利用線面平行的判定定理即可證明；（2）利用等體積方法，求點C到平面PBD的距離．【解答】（1）證明：在正△ABC中，BM=2．在△ACD中，∵M為AC中點，DM⊥AC，∴AD=CD．∵∠ADC=120°，∴DM=，∴=3．在等腰直角△PAB中，PA=AB=4，PB=4，∴=3，∴=，∴MN∥PD．又MN?平面PDC，PD?平面PDC，∴MN∥平面PDC；（2）解：設點C到平面PBD的距離為h．由（1）可知，BD=，PM==2，∴S△PBD==．∵S△BCD==，∴由等體積可得，∴h=，∴點C到平面PBD的距離為．【點評】本題考查線面平行的判定，考查點到平面距離的計算，考查學生分析解決問題的能力，正確求體積是關鍵．19.如圖，已知橢圓C中心在原點，焦點在x軸上，F1，F2分別為左右焦點，橢圓的短軸長為2，過F2的直線與橢圓C交于A，B兩點，三角形F1BF2面積的最大值為（a＞1）．（Ⅰ）求橢圓C的方程（用a表示）；（Ⅱ）求三角形F1AB面積的最大值．參考答案：考點：直線與圓錐曲線的綜合問題．專題：綜合題；圓錐曲線的定義、性質與方程．分析：（Ⅰ）確定c=，即可求橢圓C的方程（用a表示）；（Ⅱ）設直線方程，代入橢圓方程，求出三角形F1AB面積，分類討論，即可求出最大值．解答： 解：（Ⅰ）由題意，橢圓的上頂點為（0，1），下頂點為（0，﹣1），當B與上（或下）頂點重合時，三角形F1BF2面積最大S==，∴c=，∴橢圓C的方程為；（Ⅱ）三角形F1AB面積S==c?AB?sinα（α為F2B與x軸正向所成的角）設F2（c，0），A（x1，y1），B（x2，y2），AB：y=k（x﹣c），代入橢圓方程可得（1+a2k2）x2﹣2a2k2cx+a2k2c2﹣a2=0，∴x1+x2=，x1x2=∴AB=|x1﹣x2|=，∴S=c?AB?sinα=，a時，S≤=a；1＜a＜時，S≤=．點評：本題考查橢圓的方程和性質，主要考查橢圓的方程的運用，聯立直線方程，運用韋達定理，同時考查求最值，屬于中檔題．20.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知（b﹣2a）?cosC+c?cosB=0（1）求角C；（2）若，求邊長a，b的值．參考答案：【考點】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知及正弦定理，兩角和的正弦函數公式，三角形內角和定理可得sinA=2sinAcosC，由于sinA≠0，可求cosC=，結合范圍C∈（0，π），可求C的值．（2）利用三角形面積公式可求ab=4，由余弦定理可得a2+b2=8，聯立即可解得a，b的值．【解答】（本題滿分為12分）解：（1）∵（b﹣2a）?cosC+c?cosB=0，∴由正弦定理可得：（sinB﹣2sinA）cosC+sinCcosB=0，…2分∴sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosC，可得：sin（B+C）=sinA=2sinAcosC，∵sinA≠0，∴cosC=，…5分∵C∈（0，π）∴C=…6分（2）∵S△ABC=absinC=ab=，∴ab=4，①由余弦定理可得：a2+b2﹣c2=2abcosC，∵c=2，C=，ab=4，…8分∴a2+b2=8，②…10分聯立①②即可解得：a=2，b=2…12分21.已知函數(1)當，且時，求的值.(2)是否存在實數，使得函數的定義域、值域都是，若存在，則求出的值；若不存在，請說明理由.參考答案：解：（1）因為時，，所以在區間上單調遞增，因為時，，所以在區間（0，1）上單調遞減.所以當，且時，有，所以，故；（2）不存在.

因為當時，在區間上單調遞增，所以的值域為；而，所以在區間上的值域不是.故不存在實數，使得函數的定義域、值域都是略2