山西省呂梁市遠志中學高一數學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設,用二分法求方程內近似解的過程中得則方程的根落在區間（

）A.（1,1.25）

B.（1.25,1.5）

C.（1.5,2）

D.不能確定參考答案：B2.對于拋物線與下列命題中錯誤的是（

）A．兩條拋物線關于軸對稱

B．兩條拋物線關于原點對稱C．兩條拋物線各自關于軸對稱

D．兩條拋物線沒有公共點參考答案：D略3.在△ABC中，若，則（

）A.15° B.75° C.75°或105° D.15°或75°參考答案：D分析：先根據正弦定理求C，再根據三角形內角關系求A.詳解：因為，所以所以因此，選D.點睛：在已知三角形兩邊及其中一邊的對角，求該三角形的其它邊角的問題時，首先必須判斷是否有解，如果有解，是一解還是兩解，注意“大邊對大角”在判定中的應用．4.已知函數f（x）=是（﹣∞，+∞）上的減函數，那么a的取值范圍是（）A．（0，3） B．（0，3] C．（0，2） D．（0，2]參考答案：D【考點】分段函數的應用．【分析】由條件可得，a﹣3＜0①，2a＞0②，（a﹣3）×1+5≥2a③，求出它們的交集即可．【解答】解：由于函數f（x）=是（﹣∞，+∞）上的減函數，則x≤1時，是減函數，則a﹣3＜0①x＞1時，是減函數，則2a＞0②由單調遞減的定義可得，（a﹣3）×1+5≥2a③由①②③解得，0＜a≤2．故選D．5.在平面直角坐標系中，角α的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊過點P（﹣，﹣1），則sin（2α﹣）=（）A． B．﹣ C． D．﹣參考答案：D【考點】任意角的三角函數的定義．【專題】計算題；三角函數的求值．【分析】利用三角函數的定義確定α，再代入計算即可．【解答】解：∵角α的終邊過點P（﹣，﹣1），∴α=+2kπ，∴sin（2α﹣）=sin（4kπ+﹣）=﹣，故選：D．【點評】本題考查求三角函數值，涉及三角函數的定義和特殊角的三角函數，屬基礎題．6.若函數f（x）=，則f[f（3）]=（）A．2 B．4 C．8 D．16參考答案：D【考點】函數的值．【分析】由已知得f（3）=3+1=4，從而f[f（3）]=f（4），由此能求出結果．【解答】解：∵函數f（x）=，∴f（3）=3+1=4，f[f（3）]=f（4）=24=16．故選：D．7.函數y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分圖象如圖所示，則該函數的表達式為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【分析】由題意可知，A、T利用T求出ω，利用（）再求φ即可．【解答】解：由圖象可知，A=2，，T=π，所以ω=2函數y=Asin（ωx+φ）=2sin（2x+φ），當x=時，y=2，因為2sin（+φ）=2，|φ|＜，所以φ=故選C．8.函數f（x）=log2（2x）的最小值為（）A．0 B． C． D．參考答案：C【考點】函數的最值及其幾何意義．【專題】函數的性質及應用．【分析】利用換元法，結合對數函數的運算法則和二次函數的性質即可得到結論．【解答】解：由條件可知函數的定義域為（0，+∞），則f（x）=log2（2x）=log2x?（）=log2x?（2+2log2x），設t=log2x，則函數等價為y=t（1+t）=t2+t=（t+）2﹣，故當t=﹣時，函數取得最小值﹣，故選：C【點評】本題主要考查函數最值的求解，根據對數的運算法則，利用換元法是解決本題的關鍵．9.（5分）正六棱錐底面邊長為a，體積為a3，則側棱與底面所成的角為（） A． 30° B． 45° C． 60° D． 75°參考答案：B考點： 直線與平面所成的角．專題： 計算題；空間位置關系與距離．分析： 根據正六棱錐底面邊長為a，體積為a3，確定側棱及高的長，即可求側棱與底面所成的角．解答： ∵正六棱錐的底面邊長為a，∴S底面積=6?=∵體積為a3，∴棱錐的高h=a∴側棱長為a∴側棱與底面所成的角為45°故選B．點評： 本題考查棱錐的體積，其中根據已知條件計算出棱錐的底面積和高是解答本題的關鍵．10.下面給出的四類對象中，構成集合的是（

）A.某班個子較高的同學B.長壽的人C.的近似值

D.倒數等于它本身的數參考答案：略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知α∈（0，），β∈（0，），且滿足cos2+sin2=+，sin=cos（π﹣β），則α+β=．參考答案：π【考點】兩角和與差的正弦函數．【分析】由二倍角公式的變形、誘導公式化簡已知的式子，利用平方關系、α和β的范圍、特殊角的三角函數值求出α和β的值，可得α+β的值．【解答】解：∵cos2+sin2=+，∴（1+cosα）+（1﹣cosβ）=+，則cosα﹣cosβ=0，即cosα=cosβ，①∵sin=cos（π﹣β），∴sin（π﹣α）=cos（π﹣β），則sinα=sinβ，②①2+②2得，3cos2α+sin2α=2，則，由α∈（0，）得cosα=，則α=，代入②可得，sinβ=，由β∈（0，）得β=，∴α+β=+=，故答案為：．12.若函數是[1,2]上的單調函數，則實數a的取值范圍為________．參考答案：略13.已知a，b為常數，若f（x）=x2+4x+3，f（ax+b）=x2+10x+24，則5a﹣b=

．參考答案：2【考點】函數解析式的求解及常用方法．【專題】計算題；壓軸題．【分析】將ax+b代入函數f（x）的解析式求出f（ax+b），代入已知等式，令等式左右兩邊的對應項的系數相等，列出方程組，求出a，b的值．【解答】解：由f（x）=x2+4x+3，f（ax+b）=x2+10x+24，得（ax+b）2+4（ax+b）+3=x2+10x+24，即a2x2+2abx+b2+4ax+4b+3=x2+10x+24．比較系數得求得a=﹣1，b=﹣7，或a=1，b=3，則5a﹣b=2．故答案為2【點評】本題考查知f（x）的解析式求f（ax+b）的解析式用代入法．14.將關于x的方程（）的所有正數解從小到大排列構成數列{an}，其，，構成等比數列，則

．參考答案：方程（）的所有正數解，也就是函數與在第一象限交點的橫坐標，由函數圖象與性質可知，在第一象限內，最小的對稱軸為，周期又，，構成等比數列，解得故答案為

15.（5分）已知函數若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），則abc的取值范圍是

．參考答案：（10，12）考點： 分段函數的解析式求法及其圖象的作法；函數的值．專題： 計算題；數形結合．分析： 畫出函數的圖象，根據f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc的范圍即可．解答： 作出函數f（x）的圖象如圖，不妨設a＜b＜c，則﹣lga=lgb=﹣c+6∈（0，1）ab=1，0＜﹣c+6＜1則abc=c∈（10，12）．故答案為：（10，12）點評： 本題主要考查分段函數、對數的運算性質以及利用數形結合解決問題的能力．16.如果是一個完全平方式，則m=____________。參考答案：2略17.若，全集，則_______．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（10分）（2015秋?合肥校級月考）定義在非零實數集上的函數f（x）對任意非零實數x，y滿足：f（xy）=f（x）+f（y），且當0＜x＜1時，f（x）＜0．（Ⅰ）求f（﹣1）及f（1）的值；（Ⅱ）求證：f（x）是偶函數；（Ⅲ）解不等式：f（2）+f（x2﹣）≤0．參考答案：【考點】抽象函數及其應用．

【專題】函數的性質及應用．【分析】（Ⅰ）分別令x=y=1，x=y=﹣1，求出f（1）和f（﹣1）的值；（Ⅱ）令x=x，y=﹣1，即可求出f（﹣x）=f（x），f（x）為偶函數（Ⅲ）先判斷函數的單調性，在根據單調性得到關于x的不等式組，解得即可．【解答】解：（Ⅰ）令x=y=1，則f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0，再令x=y=﹣1，則f（1）=f（﹣1）+f（﹣1），∴f（﹣1）=0，（Ⅱ）令x=x，y=﹣1，則f（﹣x）=f（x）+f（﹣1）=f（x），∴f（﹣x）=f（x），∴f（x）為偶函數；（Ⅲ）任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，∴＜1，∴f（）＜0，∴f（x1）=f（x2?）=f（x2）+f（）＜f（x2），∴f（x）在（0，+∞）是增函數，∴f（x）在（﹣∞，0）是減函數，∵f（2）+f（x2﹣）=f（2x2﹣1）≤0=f（1）=f（﹣1），∴或，解得﹣＜x＜．或﹣1≤x＜﹣，或＜x≤1，∴不等式的解集為[﹣1，﹣）∪（﹣，）∪（，1]【點評】本題考查了函數的奇偶性及單調性的證明與應用，同時考查了恒成立問題的應用，屬于中檔題．19.在△ABC中，設角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量=（cosA，sinA），=（﹣sinA，cosA），若?=1．（1）求角A的大小；（2）若b=4，且c=a，求△ABC的面積．參考答案：【考點】余弦定理；平面向量數量積的運算；正弦定理．【分析】（1）由兩向量的坐標利用平面向量數量積運算化簡已知等式，整理后求出cosA的值，即可確定出A的度數；（2）利用余弦定理列出關系式，將cosA，b，c=a代入求出a的值，進而求出c的值，利用三角形面積公式即可求出三角形ABC面積．【解答】解：（1）∵=（cosA，sinA），=（﹣sinA，cosA），且?=1，∴cosA﹣sinAcosA+sinAcosA=1，∴cosA=，則A=；（2）∵cosA=，b=4，c=a，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=32+2a2﹣8a，解得：a=4，c=a=8，則S△ABC=bcsinA=×4×8×=16．20.已知函數為奇函數.（Ⅰ）若，求函數的解析式；（Ⅱ）當時，不等式在上恒成立，求實數的最小值；（Ⅲ）當時，求證：函數在上至多有一個零點.參考答案：解:（Ⅰ）∵函數為奇函數，∴，即，∴，………………2分又，∴∴函數的解析式為.……………4分（Ⅱ），.∵函數在均單調遞增，∴函數在單調遞增，…………6分∴當時，．………………7分∵不等式在上恒成立，∴，∴實數的最小值為．………………9分（Ⅲ）證明：，設，……………………11分∵，∴∵，即，∴，又，∴，即∴函數在單調遞減，……………………13分又，結合函數圖像知函數在上至多有一個零點.……………14分

21.已知是二次函數，不等式的解集是且在區間上的最大值是12。

(I）求的解析式；

(II）是否存在實數使得方程在區間內有且只有兩個不等的實數根？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由。參考答案：（I）是二次函數，且的解集是可設在區間上的最大值是，由已知，得(II）方程等價于方程設則當時，是減函數；當時，是增函數。方程在區間內分別有惟一實數根，而在區間內沒有實數根，所以存在惟一的自然數使得方程在區間內有且只有兩個不同的實數根。22.設函數（1）若f(x)在上的最大值為0，求實數的值；（2）若f(x)在區間上單調，且，求實數的取值范圍。參考答案：(Ⅰ)當，即：時，．