山西省呂梁市育德中學2021年高三數學文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知數列{an}的前n項和Sn=n2﹣n，正項等比數列{bn}中，b2=a3，bn+3bn﹣1=4（n≥2）n∈N+，則log2bn=（）A．n﹣1 B．2n﹣1 C．n﹣2 D．n參考答案：D【考點】8H：數列遞推式．【分析】利用a3=S3﹣S2，即可得到log2b2．驗證可知A，B，C均不符合，即可得出．【解答】解：∵a3=S3﹣S2=（32﹣3）﹣（22﹣2）=4，∴b2=a3=4，log2b2=log24=2．驗證可知A，B，C均不符合，故答案為D．2..已知全集U=R，集合和關系的韋恩圖如圖所示，則陰影部分所示集合中的元素共有（

）A.3個 B.4個 C.5個 D.無窮多個參考答案：B試題分析:因，故或，圖中陰影部分表示的集合為，故該集合中有個元素.應選B.考點：補集交集的概念及運算.3. 已知直線平面,則“直線”是“”的（A）充分但不必要條件 （B）必要但不充分條件（C）充要條件 （D）既不充分又不必要條件參考答案：B本題考查線面位置關系的判定、性質與充分必要條件.（充分性）當且時,我們可以得到或（因為直線與平面的位置關系不確定）,所以充分性不成立;（必要性）當時,過直線可做平面與平面交于直線,則有.又有,則有,即.所以必要性成立,故選B.4.從邊長為10cm×16cm的矩形紙板的四角截去四個相同的小正方形，做成一個無蓋的盒子，則盒子容積的最大值為(

)A．160cm3 B．144cm3 C．72cm3 D．12cm3參考答案：B【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【專題】應用題；函數思想；綜合法；導數的綜合應用．【分析】設小正方形的變長為xcm（0＜x＜5），可表示出盒子的容積，利用導數可求得其最大值．【解答】解：設小正方形的變長為xcm（0＜x＜5），則盒子的容積V=（10﹣2x）（16﹣2x）x=4x3﹣52x2+160x（0＜x＜5），V'=12x2﹣104x+160=4（3x﹣20）（x﹣2），當0＜x＜2時，V'＞0，當2＜x＜5時，V'＜0，∴x=2時V取得極大值，也為最大值，等于（10﹣4）（16﹣4）×2=144（cm3），故選：B．【點評】本題考查導數在解決實際問題中的應用，考查學生的閱讀理解能力及利用數學知識解決問題的能力．5.已知是定義在上的偶函數，且在上是增函數，設，則的大小關系是()A.

B.

C.

D.參考答案：B6.已知向量滿足則向量在向量方向上的投影是

A．

B．

C．

D．1參考答案：B7.偶函數滿足，且當時，，則函數，則在上的零點個數為（

）A．11

B．10

C.9

D．8參考答案：B8.執行如圖的程序框圖，則輸出K的值為（）A．98 B．99 C．100 D．101參考答案：B【考點】程序框圖．【分析】模擬程序的運行，依次寫出每次循環得到的K，S的值，觀察規律，可得當K=99，S=2，滿足條件S≥2，退出循環，輸出K的值為99，從而得解．【解答】解：模擬程序的運行，可得K=1，S=0S=lg2不滿足條件S≥2，執行循環體，K=2，S=lg2+lg=lg3不滿足條件S≥2，執行循環體，K=3，S=lg3+lg=lg4…觀察規律，可得：不滿足條件S≥2，執行循環體，K=99，S=lg99+lg=lg100=2滿足條件S≥2，退出循環，輸出K的值為99．故選：B．【點評】本題主要考查了循環結構的程序框圖，正確判斷退出循環的條件是解題的關鍵，屬于基礎題．9.在等腰△中，，，在角內部作射線交邊于點，則線段的概率為(

)

參考答案：D略10.已知一個四面體有五條棱長都等于2，則該四面體的體積最大值為(

)A．

B．1

C．

D．2參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知m=3sinxdx，則二項式（a+2b﹣3c）m的展開式中ab2cm﹣3的系數為．參考答案：﹣6480【考點】二項式定理的應用；定積分．【分析】求定積分得到m=6，再利用二項式定理求得展開式中ab2cm﹣3的系數．【解答】解：m=3sinxdx=﹣3cosx=6，則二項式（a+2b﹣3c）6=[（2b﹣3c）+a]6展開式中含ab2c3的項為a?（2b﹣3c）5；對于（2b﹣3c）5，含b2c3的項為?（2b）2?（﹣3c）3，故含ab2c3的項的系數為?22?（﹣3）3=﹣6480，故答案為：﹣6480．12.函數的值域為

▲

。參考答案：略13.已知角A是一個三角形的內角，且，則角A的集合為

。參考答案：略14.已知函數y=f（x），對于任意的x滿足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0，則下列不等式中成立的有．①＜f（）②f（）f（）③f（0）f（）④f（）f（）參考答案：②③④【考點】函數的單調性與導數的關系．【專題】導數的概念及應用．【分析】構造函數F（x）=，x，可得函數F（x）在x上單調遞增，逐個選項驗證可得．【解答】解：構造函數F（x）=，x，則F′（x）=＞0，∴函數F（x）在x上單調遞增，∴F（）＞F（），即2f（）＞f（），可得＞f（），①錯誤；同理可得F（）＜F（），即f（）＜f（），可得f（）f（），②正確；同理F（0）＜F（），即f（0）＜f（），③正確；同理F（）＜F（），即f（）＜2f（），可得f（）f（），④正確．故答案為：②③④【點評】本題考查函數的單調性和導數的關系，利用單調性比較大小，熟記商的導數公式，以之構造出相應函數是解答的關鍵，屬中檔題．15.已知角α的終邊經過點（3a，4a）（a＜0），則sinα=

，tan（π﹣2α）=

．參考答案：，【考點】任意角的三角函數的定義．【分析】先求r，再利用三角函數的定義，誘導公式，二倍角公式，即可求得結論．【解答】解：由題意，x=3a，y=4a，∴r=|5a|=﹣5a∴sinα==﹣，tanα==∴tan（π﹣2α）=﹣tan2α=﹣=﹣=故答案為：，．16.對于任意的實數和，不等式恒成立，試求實數

的取值范圍.

.

參考答案：17.設是等比數列，公比，為的前n項和。記，設為數列的最大項，則=_______．參考答案：4略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，點O是對角線AC與BD的交點，AB=2，∠BAD=60°，M是PD的中點．

（Ⅰ）求證：OM∥平面PAB；（Ⅱ）平面PBD⊥平面PAC；（Ⅲ）當三棱錐C﹣PBD的體積等于時，求PA的長．參考答案：（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）見證明（Ⅲ）【分析】（Ⅰ）先證明OM∥PB，再證明OM∥平面PAB;（Ⅱ）先證明BD⊥平面PAC，再證明平面PBD⊥平面PAC；（Ⅲ）根據求出PA的長.【詳解】（Ⅰ）證明：在△PBD中，因為O，M分別是BD，PD的中點，所以OM∥PB．又OM?平面PAB,PB?平面PAB，所以OM∥平面PAB．（Ⅱ）因為底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC．因為PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD．又AC∩PA=A，所以BD⊥平面PAC．又BD?平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC．（Ⅲ）因為底面ABCD是菱形，且AB=2，∠BAD=60°，所以又，三棱錐的高為PA，所以，解得．【點睛】本題主要考查空間幾何元素位置關系的證明，考查體積的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.19.如圖所示，△ABC內接于⊙O，直線AD與⊙O相切于點A，交BC的延長線于點D，過點D作DE∥CA交BA的延長線于點E．（I）求證：DE2=AE?BE；（Ⅱ）若直線EF與⊙O相切于點F，且EF=4，EA=2，求線段AC的長．參考答案：【考點】與圓有關的比例線段．【專題】證明題；轉化思想；綜合法；推理和證明．【分析】（Ⅰ）推導出△AED∽△DEB，由此能證明DE2=AE?BE．（Ⅱ）由切割線定理得EF2=EA?EB，由DE∥CA，得△BAC∽△BED，由此能求出AC．【解答】證明：（Ⅰ）∵AD是⊙O的切線，∴∠DAC=∠B，∵DE∥CA，∴∠DAC=∠EDA，∴∠EDA=∠B，∵∠AED=∠DEB，∴△AED∽△DEB，∴，∴DE2=AE?BE．解：（Ⅱ）∵EF是⊙O的切線，EAB是⊙O割線，∴EF2=EA?EB，∵EF=4，EA=2，∴EB=8，AB=EB﹣EA=6，由（Ⅰ）知DE2=AE?BE，∴DE=4，∵DE∥CA，∴△BAC∽△BED，∴，∴AC==．【點評】本題考查與圓有關的線段間等量關系的證明，考查線段長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意切割線定理的合理運用．20.為了了解大學生觀看某電視節目是否與性別有關，一所大學心理學教師從該校學生中隨機抽取了50人進行問卷調查，得到了如下的列聯表，若該教師采用分層抽樣的方法從50份問卷調查中繼續抽查了10份進行重點分析，知道其中喜歡看該節目的有6人．

喜歡看該節目不喜歡看該節目合計女生

5

男生10

合計

50（1）請將上面的列聯表補充完整；（2）是否有99.5%的把握認為喜歡看該節目與性別有關？說明你的理由；（3）已知喜歡看該節目的10位男生中，A1、A2、A3、A4、A5還喜歡看新聞，B1、B2、B3還喜歡看動畫片，C1、C2還喜歡看韓劇，現再從喜歡看新聞、動畫片和韓劇的男生中各選出1名進行其他方面的調查，求B1和C1不全被選中的概率．下面的臨界值表供參考：P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050．001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（參考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）參考答案：【考點】獨立性檢驗．【分析】（1）由分層抽樣知識，求出50名同學中喜歡看電視節目的人數，作差求出不喜歡看該電視節目的人數，則可得到列聯表；（2）直接由公式求出K2的觀測值，結合臨界值表可得答案；（3）用列舉法寫出從10位男生中選出喜歡看韓劇、喜歡看新聞、喜歡看動畫片的各1名的一切可能的結果，查出B1、C1全被選中的結果數，得到B1、C1全被選中這一事件的概率，由對立事件的概率得到B1和C1不全被選中的概率．【解答】解：（1）由分層抽樣知識知，喜歡看該節目的同學有50×=30，故不喜歡看該節目的同學有50﹣30=20人，于是將列聯表補充如下：

喜歡看該節目不喜歡看該節目合計女生20525男生101525合計302050（2）∵K2=≈8.333＞7.879，∴在犯錯誤的概率不超過0.005的情況下，即有99.5%的把握認為喜歡看該節目與性別有關；（3）從10位男生中選出喜歡看韓劇、喜歡看新聞、喜歡看動畫片的各1名，其一切可能的結果組成的基本事件如下：（A1，B1，C1），（A1，B1，C2），（A1，B2，C1），（A1，B2，C2），（A1，B3，C1），（A1，B3，C2），（A2，B1，C1），（A2，B1，C2），（A2，B2，C1），（A2，B2，C2），（A2，B3，C1），（A2，B3，C2），（A3，B1，C1），（A3，B1，C2），（A3，B2，C1），（A3，B3，C2），（A3，B2，C2），（A3，B3，C1），（A4，B1，C1），（A4，B1，C2），（A4，B2，C1），（A4，B2，C2），（A4，B3，C1），（A4，B3，C2），（A5，B1，C1），（A5，B1，C2），（A5，B2，C1），（A5，B2，C2），（A5，B3，C1），（A5，B3，C2）．基本事件的總數為30個；用M表示“B1、C1不全被選中”這一事件，則其對立事件為表示“B1、C1全被選中”這一事件，由于由（A1，B1，C1），（A2，B1，C1），（A3，B1，C1），（A4，B1，C1），（A5，B1，C1）5個基本事件組成，所以P（）==，由對立事件的概率公式得P（M）=1﹣P（）=1﹣=，即B1和C1不全被選中的概率為．21.已知正項數列{an}的前n項和為Sn，且Sn，an，成等差數列．（1）證明數列{an}是等比數列；（2）若bn=log2an+3，求數列{}的前n項和Tn．參考答案：【考點】數列的求和．【分析】（1）由題意得2an=Sn+，易求，當n≥2時，Sn=2an﹣，Sn﹣1=2an﹣1﹣，兩式相減得an=2an﹣2an﹣1（n≥2），由遞推式可得結論；（2）由（1）可求=2n﹣2，從而可得bn，進而有=，利用裂項相消法可得Tn；【解答】解：（1）證明：由Sn，an，成等差數列，知2an=Sn+，當n=1時，有，∴，當n≥2時，Sn=2an﹣，Sn﹣1=2an﹣1﹣，兩式相減得an=2an﹣2an﹣1（n≥2），即an=2an﹣1，由于{an}為正項數列，∴an﹣1≠0，于是有=2（n≥2），∴數列{an}從第二項起，每一項與它前一項之比都是同一個常數2，∴數列{an}是以為首項，以2為公比的等比數列．（2）解：由（1）知==2n﹣2，∴bn=log2an+3==n+1，∴==，∴Tn=（）+（）+…+（）==．22.已知函數f（x）=x2﹣ax+（3﹣a）lnx，a∈R．（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線2x﹣y+1=0垂直，求a的值；（2）設f（x）有兩個極值點x1，x2，且x1＜x2，求證：f（x1）+f（x2）＞﹣5．參考答案：【考點】6K：導數在最大值、最小值問題中的應用；6