山西省呂梁市汾陽(yáng)東關(guān)實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)文模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知P是單位正方體中異于A的一個(gè)頂點(diǎn)，則的值為（

）A．0

B．1

C．0或1

D．任意實(shí)數(shù)參考答案：C2.(1)某小區(qū)有800個(gè)家庭，其中高收入家庭200戶，中等收入家庭480戶，低收入家庭120戶.為了了解有關(guān)家用轎車購(gòu)買力的某項(xiàng)指標(biāo)，要從中抽取一個(gè)容量為100戶的樣本；(2)從10名同學(xué)中抽取3個(gè)參加座談會(huì)。抽取方法有：①簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，②系統(tǒng)抽樣，③分層抽樣。問(wèn)題和方法配對(duì)正確的是

（

）

A．(1)③；(2)①

B．(1)①；(2)②

C.．(1)②；(2)③

D．(1)③；(2)②

參考答案：A3.已知變量滿足約束條件，則的最小值為(

)

A.

B．

C.

D．參考答案：C4.已知直線l過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，且與C的對(duì)稱軸垂直，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝12，P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則△ABP的面積為()A．18

B．24 C．36

D．48參考答案：C略5.已知棱長(zhǎng)為1的正方體的俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形,則該正方體的正視圖的面積不可能是（）A．

B． C． D．參考答案：C6.曲線y=cosx（0≤x≤）與x軸以及直線x=所圍圖形的面積為（）A．4 B．2 C． D．3參考答案：D【考點(diǎn)】余弦函數(shù)的圖象．【分析】根據(jù)所圍成圖形用定積分可求得曲線y=cosx以及直線x=所圍圖形部分的面積，然后根據(jù)定積分的定義求出所求即可．【解答】解：由定積分定義及余弦函數(shù)的對(duì)稱性，可得曲線y=cosx以及直線x=所圍圖形部分的面積為：S=3∫cosxdx=3sinx|=3sin﹣3sin0=3，所以圍成的封閉圖形的面積是3．故選：D．7.下列四個(gè)正方體圖形中，為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出平面的圖形的序號(hào)是（

）A.①、③

B.①、④

C.②、③

D.②、④參考答案：B8.“牟合方蓋”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在探求球體體積時(shí)構(gòu)造的一個(gè)封閉幾何體,它由兩等徑正貫的圓柱體的側(cè)面圍成,其直觀圖如圖(其中四邊形是為體現(xiàn)直觀性而作的輔助線)當(dāng)“牟合方蓋”的正視圖和側(cè)視圖完全相同時(shí),其俯視圖可能為A. B. C. D.參考答案：B【分析】相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上，好似兩個(gè)扣合（牟合）在一起的方形傘（方蓋）．根據(jù)三視圖看到方向，可以確定三個(gè)識(shí)圖的形狀，判斷答案．【詳解】∵相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上，好似兩個(gè)扣合（牟合）在一起的方形傘（方蓋）．∴其正視圖和側(cè)視圖是一個(gè)圓，俯視圖是從上向下看，相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上，∴俯視圖是有2條對(duì)角線且為實(shí)線的正方形，故選：B．9.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若，則等于 A.1 B.-1

C.2

D參考答案：A10.點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在x軸上方，則m的取值范圍是

▲

．參考答案：m＜3復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，如果該點(diǎn)落在軸上方，則有，解得.

12.已知拋物線的準(zhǔn)線為，過(guò)且斜率為的直線與相交于點(diǎn)，與的一個(gè)交點(diǎn)為．若，則

．參考答案：2.13.點(diǎn)P（x，y）在不等式組，的平面區(qū)域內(nèi)，則z=2x+y的最大值為

．參考答案：6【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】畫出約束條件表示的可行域，確定目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)的位置，求出最大值即可．【解答】解：P（x，y）在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)，如圖：所以z=2x+y的經(jīng)過(guò)A即的交點(diǎn)（2，2）時(shí)取得最大值：2×2+2=6．故答案為：6．14.某高中計(jì)劃從全校學(xué)生中按年級(jí)采用分層抽樣方法抽取20名學(xué)生進(jìn)行心理測(cè)試，其中高三有學(xué)生900人，已知高一與高二共抽取了14人，則全校學(xué)生的人數(shù)為．參考答案：3000【考點(diǎn)】分層抽樣方法．【分析】設(shè)全校學(xué)生的人數(shù)為n和要抽取的樣本容量，即可求出答案．【解答】解：設(shè)全校學(xué)生的人數(shù)為n，則，解得n=3000，故答案為：3000．15.直線經(jīng)過(guò),且在軸上的截距等于在軸上的截距的2倍的直線方程為

．參考答案：或

16.在類比此性質(zhì)，如下圖，在四面體P－ABC中，若PA、PB、PC兩兩垂直，底面ABC上的高為h，則得到的正確結(jié)論為_(kāi)_________________________．參考答案：

17.已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx，（a，b∈R）的圖象如圖所示，它與直線y=0在原點(diǎn)處相切，此切線與函數(shù)圖象所圍區(qū)域（圖中陰影部分）的面積為3，則a的值為

．參考答案：【考點(diǎn)】6G：定積分在求面積中的應(yīng)用．【分析】題目中給出了函數(shù)圖象與x軸圍成的封閉圖形的面積，所以我們可以從定積分著手，求出函數(shù)以及函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，建立等式求解參數(shù)．【解答】解：由已知對(duì)方程求導(dǎo)，得：f′（x）=3x2+2ax+b．由題意直線y=0在原點(diǎn)處與函數(shù)圖象相切，故f′（0）=0，代入方程可得b=0．故方程可以繼續(xù)化簡(jiǎn)為：f（x）=x3+ax2=x2（x+a），令f（x）=0，可得x=0或者x=﹣a，可以得到圖象與x軸交點(diǎn)為（0，0），（﹣a，0），由圖得知a＜0．故對(duì)﹣f（x）從0到﹣a求定積分即為所求面積，即：﹣∫0﹣af（x）dx=3，將f（x）=x3+ax2代入得：∫0﹣a（﹣x3﹣ax2）dx=3，求解，得a=﹣．故答案為：﹣．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.在數(shù)列{an}中，.（1）求的值，由此猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．參考答案：（1）

（2）見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)，an+1可求出a2，a3，a4的值，根據(jù)前四項(xiàng)的值可猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟進(jìn)行證明即可．【詳解】（1）a1＝＝，a2＝，a3＝，a4＝，猜想.（2）數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝＝，猜想成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k（k≥1，k∈N*）時(shí)猜想成立，即＝．則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，＝＝＝，所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)猜想也成立，由①②知，對(duì)n∈N*，an＝都成立．【點(diǎn)睛】本題主要考查了遞推關(guān)系，以及數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．19.一次考試中，五名學(xué)生的數(shù)學(xué)、物理成績(jī)?nèi)缦卤硭荆簩W(xué)生A1A2A3A4A5數(shù)學(xué)8991939597物理8789899293（1）要在這五名學(xué)生中選2名參加一項(xiàng)活動(dòng)，求選中的同學(xué)中至少有一人的物理成績(jī)高于90分的概率．（2）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，用變量y與x的相關(guān)系數(shù)和散點(diǎn)圖說(shuō)明物理成績(jī)y與數(shù)學(xué)成績(jī)x之間線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱，如果具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，求y與x的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；如果不具有線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考公式：相關(guān)系數(shù)r=回歸直線的方程：=，其中=，，是與xi對(duì)應(yīng)的回歸估計(jì)值．參考數(shù)據(jù)：=93，=90，=40，=24，=30，≈6.32，≈4.90．參考答案：考點(diǎn)：線性回歸方程．專題：概率與統(tǒng)計(jì)．分析：（1）用列舉法可得從5名學(xué)生中任取2名學(xué)生的所有情況和其中至少有一人物理成績(jī)高于90（分）的情況包含的事件數(shù)目，由古典概型公式，計(jì)算可得答案．（2）把所給的五組數(shù)據(jù)作為五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)描到直角坐標(biāo)系中，得到散點(diǎn)圖；根據(jù)所給的數(shù)據(jù)先做出數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即樣本中心點(diǎn)，根據(jù)最小二乘法做出線性回歸方程的系數(shù)，寫出線性回歸方程．解答：解：（1）從5名學(xué)生中任取2名學(xué)生的所有情況為：（A4，A5）、（A4，A1）、（A4，A2）、（A4，A3）、（A5，A1）、（A5，A2）、（A5，A3）、（A1，A2）、（A1，A3）、（A2，A3）共種情10況．其中至少有一人物理成績(jī)高于90（分）的情況有：（A4，A5）、（A4，A1）、（A4，A2）、（A4，A3）、（A5，A1）、（A5，A2）、（A5，A3）共7種情況，故上述抽取的5人中選2人，選中的學(xué)生的物理成績(jī)至少有一人的成績(jī)高于9（0分）的概率P=（2）可求得：=（89+91+93+95+97）=93，=（87+89+89+92+93）=90，=40，=24，=30，r==≈≈0.97，可以看出，物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)高度正相關(guān)，散點(diǎn)圖如圖所示．設(shè)回歸直線的方程：=，則==0.75，=20.25，故y關(guān)于x的線性回歸方程是：=0.75x+20.25點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了古典概型和線性回歸方程等知識(shí)，考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識(shí)．20.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F．建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量方法解答以下問(wèn)題：（1）求證：PA∥平面EDB；（2）求二面角F﹣DE﹣B的正弦值．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法．【分析】（1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明PA∥平面EDB．（2）求出平面EFD的一個(gè)法向量和平面DEB的法向量，利用向量法能求出二面角F﹣DE﹣B的正弦值．【解答】證明：（1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DC=1．…..…連結(jié)AC，AC交BD于點(diǎn)G，連結(jié)EG．依題意得A（1，0，0），P（0，0，1），E（0，）．∵底面ABCD是正方形，∴點(diǎn)G是此正方形的中心，故點(diǎn)G（），且=（1，0，﹣1），=（）．∴，即PA∥EG，而EG?平面EDB，且PA?平面EDB，∴PA∥平面EDB．

…解：（2）B（1，1，0），=（1，1，﹣1），又=（0，），故?=0，∴PB⊥DE．由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，∴PB⊥平面EFD．…∴平面EFD的一個(gè)法向量為=（1，1，﹣1）．=（0，），=（1，1，0），不妨設(shè)平面DEB的法向量為=（x，y，z），則，取x=1，得=（1，﹣1，1），…設(shè)二面角F﹣DE﹣B的平面角為θ，cosθ==，∴sin．∴二面角F﹣DE﹣B的正弦值大小為．…21.已知函數(shù)（1）若函數(shù)f(x)在（-1，1）上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若，當(dāng)時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案：略22.已知函數(shù)f（x）=x3﹣2ax2+bx+c．（Ⅰ）當(dāng)c=0時(shí)，f（x）的圖象在點(diǎn)（1，3）處的切線平行于直線y=x+2，求a，b的值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，f（x）在點(diǎn)A，B處有極值，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若A，B，O三點(diǎn)共線，求c的值．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（Ⅰ）當(dāng)c=0時(shí)，函數(shù)f（x）=x3﹣2ax2+bx．依題意可得f（1）=3，f'（1）=1，即可得到a，b的值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，f'（x）=3x2﹣6x﹣9，列表得到，當(dāng)x=﹣1時(shí)，f（x）極大值=5+c；當(dāng)x=3時(shí)，f（x）極小值=﹣27+c．又由A，B，O三點(diǎn)共線，則得到kOA=kOB，進(jìn)而得到c的值．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)c=0時(shí)，f（x）=x3﹣2ax2+bx．則f'（x）=3x2﹣4ax+b由于f（x）的圖象在點(diǎn)（1，3）處的切線平行于直線y=x+2，可得f（1）=3，f'（