1984年國高數卷(科)

0.51984全國統一高數學試（理科）0.5一、選題（共5小題每小題3分滿分15）（分）數集（）π，整數與數集Y={（±1π，是整數}之間的關系（）AX?Y

BX?Y．X=Y．X≠Y2（分）如圓

+y2

+Gx+Ey+F=0與軸相切于點，那（）AF=0，G≠，．E=0，CG=0，，DG=0E=0，E≠G≠E≠F≠03（分）如n是正整數那么A一是零一是偶數C是數但不不定是整一定是數4（分）arccos（﹣x大于arccosx的充條件是（）A∈（，]B∈（﹣1，x∈[0，1]D．

的值（）5（分）如θ是二象限，且滿足，那么（）A是一象限角B是三象限角C可是第一象限，也可是第三象限D是二象限角二、解題（共15小，滿分）6（分）已圓柱的面展開圖是長為2與4矩形，求柱的體．7（分）函log（28（分）求程

在什么間上是函數？的解集9（分）求子（|x|+

﹣2）3

的展開中的常數項10）求

的值．（分）要排一張個歌唱節目和個舞蹈節目演出節單，何兩個蹈節目不得鄰，問有多種不同的排（只要寫出式子，必計算12）設

畫出函y=H（x1）的圖．

1212121n1n13）畫1212121n1n

的曲線14）已知三個面兩兩交，三條交，求證這三交線交一點或互相行．（）設d，x為實≠，x為未知，討論程

在什么況下有解，有解時出它的解．（分）p≠0，系數一二次方程2﹣2pz+q=0有兩個數根，、再設zz在復平面內的對點是Z，Z，求以Z，Z為焦點且經原點的圓的長軸的．17）求經定點M，2以y軸準線，心率的橢的左頂點的跡方程在△ABC中∠∠∠所的邊分別為，，c=10，的內切上的動點，點P到頂點A，B，的距離的方和最大值最小值．19）設＞2給定數{x}，其中x=a，

P為△ABC求證：（）＞2，

；（）如果≤，那么

．20如圖，知圓心為O半徑為圓與直l相切于點，一動P切點沿線右移動時，取長為這時點M的度．

，直線PC與直AO交于點M．知當

時，點P的速度為，求

點評：

這是一新運算類的目，其點一般是“”而不難”，處理方法一為：根據新算的定，將已知中數據代進行運算，得最終果．4（分）arccos（﹣x大于arccosx的充條件是（）A∈（，]B∈（﹣1，x∈[0，1]D．考點：專題：分析：解答：

反三角數的運用．計算題壓軸題；分討論；化思想．充分考的圍，推出arccos（﹣）的范圍，然確定arccos（）大arccosx的充分件解：∵[0，]，（）[0，

）時，∈（01，arccos（x）（，π]＞，點評：

（）（，π]時，x﹣1，arccos﹣）[0，（）arccosx=時，arccosx==arccos（，故選A．本題考反三角函數運用，查分類討論思想，基礎題．

）＜arccosx，5（分）如θ是二象限，且滿足A是一象限角B是三象限角C可是第一象限，也可是第三象限D是二象限角

，那么（）考點：專題：

半角的角函數．計算題壓軸題．分析：

先根據θ范圍確

的范，由

可確定

的大小解答：

關系，而確定的象限解：∵是二象限∴∴∴當為數時，在第一限；當k為奇數時，∵=∴∴是第三限角

在第三限；=

（Z）點評：

故選．本題主考查象限角二倍角式以及同角角函數基本關系．基礎題二、解題（共15小，滿分）6（分）已圓柱的面展開圖是長為2與4矩形，求柱的體．

0.50.50.5考點：0.50.50.5專題：分析：解答：

棱柱、錐、棱臺的積．計算題分類討論．圓柱的面展開圖是長為的矩形可以有種形式的圓的展開，分求出底半徑和，分別求出積．解：圓的側面展開是邊長2與的矩形，當母線4時圓柱的面半徑是當母線2時圓柱的面半徑是

此時圓體積是，此時柱的體積是綜上所圓柱的體積：

或．點評：

本題考圓柱的側面開圖，柱的體積，基礎題容易疏忽一情況．7（分）函log（2

在什么間上是函數？考點：專題：分析：

對數函的單調性與殊點．計算題本題是個復合函數故應依復合函數的調性來斷其單調性先求出義域，判斷外層函與內層函數單調性再依規則來斷即可解答：

解：令x

+4x+40得≠﹣2，t=x2

，其對稱軸x=﹣點評：

故內層數在（﹣∞﹣）上是減函，在（2，+∞）是增函．因為外函數的底數0.5＜，故外層是減數，欲復合函數的區間，須求層的減間故函數（x2+4x+4）（﹣，﹣）上是增數．答：函（2+4x+4）（﹣∞﹣）上是增數．本題的點是復合函的單調，考查了對與二次數的單調性判斷方以及定義域求法．8（分）求程

的解集考點：專題：分析：

三角函的化簡求值計算題數形結合．利用平關系和倍角式對方進行整理，據一個期內的正弦數值求，最后解集出幾何式．解答：

解：由意知，

，即1+sin2x=，∴sin2x=﹣，則2x=

﹣

（∈Z，解得+nπ或﹣

（nZ，∴所求程的解集是{x|x=

π，nZ}∪﹣

π，nZ}點評：

本題考了三角函數程的求，即利用同的基本系、倍角公、兩角差公式等等對方程行化簡，再三角函在一個周期的函數和周期求出集．9（分）求子（|x|+

﹣2）3

的展開中的常數項

32r+166676考32r+166676分析：

二項式數的性質．解法一利用分步乘原理展式中的常數是三種況的和，解法二先將

利用完平方公式化二項式利用二項展式的通公式求得第r+1，令指數為常數項．解答：

解法一|x|+

﹣）

=（

﹣2（|x|+

﹣（|x|+

﹣）得到常數項的況有：①三個號中全取﹣，得（﹣2）

；②一個號取|x|，個括號，一個括取﹣2得C11（﹣）=12∴常數為（﹣）

+（﹣）=﹣．解法二|x|+

﹣）

=（﹣）．設第r+1為常數項，則T=Cr

?（﹣）r

?（

）r

?﹣r

=（﹣）6

?Cr

?|x|6﹣2r，得﹣2r=0，r=3點評：

∴T=（﹣）3?C3=20本題考解決二項展式的特項問題的重工具有項展開式的項公式還有分步乘原理．10）求

的值．考點：專題：分析：

極限及運算．計算題分子、母同時除以3n，原轉化為，由此能出

的值．解答：解：

==0點評：

本題考數列的極限運算，題時要注意理地進等價轉化．（分）要排一張個歌唱節目和個舞蹈節目演出節單，何兩個蹈節目不得鄰，問有多種不同的排（只要寫出式子，必計算考點：專題：分析：解答：

排列、合及簡單計問題．計算題首先分兩個舞蹈節不得相的排列法，以猜想用插空法求，然后別求出舞蹈目的排及歌唱節目排法，乘即可得到案．解：此采用插空法因為任兩個舞蹈節不得相，即可把個歌唱節目每的前當做一個位，共有個空位，只把舞蹈目安排到空上就不相鄰了，共4舞蹈節排好后再排唱節目有A6種

種排法

767767點評：

所以共種P?A6排，答案為P4A6．此題主考查排列組及其簡的計數問題對于不鄰這種類型目的求，要想到可用插空求解，這種題思路常重要，要好的理記憶．12）設

畫出函y=H（x1）的圖．考點：分析：解答：

分段函的解析式求及其圖的作法；函的圖象考查函圖象的變化y=Hx1）圖象是y=H（x）圖象向右平一個圖得到的．故可以畫出H（x）的圖象后再向平移1單位得Hx﹣）的圖象．解：點評：

考查函圖象的平移題．記y=f（x，y=f（x+1y=f（x﹣（x+1，y=f（）﹣的圖象是由y=f（x圖象分向左，向右向上，下平移個單位到的．13）畫出坐標方程

的曲線考點：專題：分析：解答：

簡單曲的極坐標方．作圖題先將方化簡一下，后根據坐標方程的何意義行畫圖即可解：方∴ρ﹣或θ﹣

=0即=2表圓心在極點半徑為的圓θ=

表示極為

的射線畫出圖即可．點評：

本題主考查了簡單線的極標方程，以作圖能的考查，屬基礎題14）已知三個面兩兩交，三條交，求證這三交線交一點或互相行．考點：專題：分析：

平面與面之間的位關系．證明題綜合題．三個平兩兩相交，三條交，這三條交交于一，或互相平．證明要分三條交交于一，和三條交互相平兩種情況（）證三交于一點時先由兩交于一點，證這一也在第三條線上（）證線平行，先由兩線行，再第三條直線這兩條

解答：

平行線的任一條直平行即．證明：三個平面為，βγ，且∩β，α∩γ=b，β∩γ；∵α∩=c，αγ，∴c?α，?α∴c與b于一點或互相平行（）如圖①，若與b交于一點，可設∩b=P．由P∈c且c?β，有Pβ；又由∈，b?γ，有P∈γ∴Pβ∩γ=a；所以，線ab，交于一（即點圖①；

圖②點評：

（）如圖②，若cb，由b?，且c?，∴c∥；又由c?，且∩γ=a，c∥a；以，c相平行本題考了空間中的線平行或相交的證，特別幾何符號語的應用是有難度的題．（）設d，x為實≠，x為未知，討論程有解時出它的解．

在什么況下有解，考點：分析：解答：

對數的算性質；對函數圖與性質的綜應用；的存在性及的個數斷．先將對式轉化為指式，再據對數函數真數大0，底大于且不等于1到方程有根的等條件后可解．解：原程有解的充條件是由條件）知又由

，所以cx+d=1再≠0，得及x0，，即條件）包含在條件（1及（4）中再由條（3及，知x因此，條件可簡化以下的價條件組：

121212111211112121211121112111

這個不式僅在以下種情形成立：點評：

①c，1d＞0，c＞，＜1；②c，1d＜0，c＜，＞1、再由條（15）（）可知c1﹣從而，＞，＜c≠﹣，或者當＜0，1且≠﹣d時，原方程解，它的解本題主考查對數式指數式互化和方程的判定屬中檔題．（分）p≠0，系數一二次方程2﹣2pz+q=0有兩個數根，、再設zz在復平面內的對點是Z，Z，求以Z，Z為焦點且經原點的圓的長軸的．考點：專題：

復數的本概念；橢的簡單質．計算題分析：

由題意個虛數根，z是共軛復，得橢圓短軸：2b=|z+z焦距為2c=|z﹣，然后求長軸長．解答：

解：因p，實數，p，z，為虛數，所以（2p）﹣4q＜0q＞由，z為共軛數，知Z，Z關于x軸對稱所以橢短軸在軸上，又由橢圓過原點可知原為橢圓短軸一端點根據橢的性質，復加，減幾何意義及元二次程根與系數關系，可得橢的短軸長=2b=|z+z|=2|p|，焦距離=2c=|z﹣z長軸長=2a=

，點評：

本題考復數的基本念，橢的基本性質是小型合題，考查生分析題解決問題能力．17）求經定點M，2以y軸準線，心率的橢的左頂點的跡方程考點：

橢圓的準方程；軌方程．分析：

先確定圓的位置，左定點坐標為（xy，然后根據離率的含得到左焦點坐標，解答：

根據橢的第二定義定方程解：因橢圓經過點M，2且以軸為準線，所以橢在軸右側，長軸平于軸設橢圓頂點為A（x，因為橢圓的心率為，所以左點到焦點F的距離到的距離，從而左點的坐標為設d點M到軸的距離則根據

及兩點距離公式，得

點評：

這就是求的軌跡方本題主考查橢圓方的第二義，平面上定點F離與到定線間距之比常數的的集合在△ABC中∠∠∠所的邊分別為，，c=10，為△的內切上的動點，點P到頂點A，B，的距離的方和最大值最小值．考點：專題：分析：

三角函的最值；正定理．計算題利用正定理可求得，進而據題設式求得

整理求A+B=

判斷出角形為直角三形，進而可用勾股理求得，利用角三角的性質求得內切圓半徑，解答：

如圖建直角坐標系則內切的方程可得設出p坐標，表出，S=|PA|利用范圍確的范，則最和最小值可．解：由，運正弦定，有，∴sin2A=sin2B．因為A≠B，以2A=π2B，即A+B=由此可△ABC是直角三角

+|PB|2

，由，，2

2

2

以及a0，b＞可得a=6，．如圖，△ABC的內切圓圓為O'，切點分為D，，F，則AD+DB+EC=（10+8+6．但上式AD+DB=c=10，所以內圓半徑r=EC=2如圖建坐標系，則內切方程為：（﹣2）+（y）=4設圓上點P的坐標為（，y則S=|PA|

+|PB|2

+|PC|=x﹣8）

+y2

+y﹣）

2

+y2

﹣16x12y+100=3[﹣2）2

+（y﹣2）﹣4x+76

n1nnnk+1n12k+1kk+1k+2n1nnnk+1n12k+1kk+1k+2k+1nn1點評：

=3×﹣4x+76=88﹣．因為P點在內圓上，以0x≤4，﹣，最大值﹣16=72最小值本題主考查了三角數求最的問題，直三角形切圓的問題圓的性問題．考查學生基知識的綜合用．19）設＞2給定數{x}，其中x=a，

求證：（）＞2，

；（）如果≤，那么

．考點：專題：分析：

用數學納法證明不式．計算題壓軸題．（）我們用數學歸法進行明，先證明等式x＞當n=1時立，再設不式＞2當n=k（≥）時成立，而證明n=k+1時，不等式＞2也成，最后到不等式＞對于所的正整數n立；（）我們用數學歸法進行明，先證明等式

當時立，再設不等式解答：

當n=k≥1時成立進而證明當n=k+1時，不等后得到等式對于所的正整數n成；證明（1）當n=1時，∵，=，x＞2=