第1頁，課件共62頁，創作于2023年2月3-3彈性桿的共軸碰撞兩桿的共軸碰撞是應力波產生并發生相互作用的典型問題，本節先對半無限長桿之間的碰撞問題進行求解，包括橫截面相等和不等兩種情況，再針對有限長桿的問題進行求解。第2頁，課件共62頁，創作于2023年2月3-3-1兩半無限長桿的共軸碰撞[例3-3-1]如圖，兩截面完全相同的半無限長桿，其聲阻抗分別為和，撞擊前桿中應力均為零且無初始應變，兩桿分別以速度v1、v2（>v1）發生碰撞（如圖所示），畫出波系圖、圖，求解兩桿碰撞后桿中的質點速度和應力解值表達式，畫出某一時刻的圖和某質點位置的圖。第3頁，課件共62頁，創作于2023年2月[解]兩桿初始應力和應變為零，但初始質點速度不為零，分別為v1和v2，撞擊后，在兩桿中分別形成了方向相反的強間斷彈性波，根據碰撞界面上壓力相等（等截面時應力也相等）、質點速度相等條件，兩桿從碰撞面開始應力和質點速度逐漸分別由和變為。根據波的傳播情況可直接畫出波系圖和圖，波系圖中設坐標原點在兩桿碰撞面處。第4頁，課件共62頁，創作于2023年2月

圖3-3-1圖3-3-2波系圖中特征線OA和OB的方程分別為和。第5頁，課件共62頁，創作于2023年2月根據波陣面上的動量守恒條件，有：

某一時刻的圖和某質點位置的圖略。第6頁，課件共62頁，創作于2023年2月討論：（1）若v1=0，相當于對靜止桿的碰撞，有第7頁，課件共62頁，創作于2023年2月（2）當兩材料波阻抗相等時，

此時若v1=0有

若v1=-v2<0，相當于兩桿發生迎面碰撞，有圖3-3-3第8頁，課件共62頁，創作于2023年2月（3）若v1=0，∞，相當于彈性桿對剛體的碰撞，有圖3-3-4第9頁，課件共62頁，創作于2023年2月（4）若∞，相當于剛體對彈性桿的碰撞，有圖3-3-5第10頁，課件共62頁，創作于2023年2月[例3-3-2]兩截面面積分別為A01和A02的半無限長桿，其聲阻抗分別為和，撞擊前桿中應力均為零且無初始應變，兩桿分別以速度v1、v2（>v1）發生碰撞（如圖所示），畫出波系圖、圖，求解兩桿碰撞后桿中的質點速度和應力解值表達式，畫出某一時刻的圖和某質點位置的圖。第11頁，課件共62頁，創作于2023年2月[解]根據碰撞界面上壓力相等、質點速度相等條件，由于兩桿橫截面不等，故界面處速度相等但應力不相等，兩桿從碰撞面開始應力和質點速度分別由和變為和。同樣，根據波的傳播情況可直接畫出波系圖和圖，波系圖中仍設坐標原點在兩桿碰撞面處。圖中所給中的對應于的情況。第12頁，課件共62頁，創作于2023年2月

圖3-3-6波系圖中特征線OA和OB的方程同前兩桿截面相同時的情況，分別為和。第13頁，課件共62頁，創作于2023年2月根據波陣面上的動量守恒條件，有：

某一時刻的圖和某質點位置的圖略。第14頁，課件共62頁，創作于2023年2月討論：（1）當兩材料波阻抗相等時，第15頁，課件共62頁，創作于2023年2月（2）若v1=0，∞，相當于彈性桿對剛體的碰撞，有圖3-3-7（圖中對應于A01>A02）第16頁，課件共62頁，創作于2023年2月（3）若∞，相當于剛體對彈性桿的碰撞，有圖3-3-8第17頁，課件共62頁，創作于2023年2月3-3-2有限長桿對半無限長桿的碰撞對于有限長桿來說，應力波傳播到桿端會發生反射，反射后的波通過碰撞界面時發生反射和透射的情況與兩桿的波阻抗之間的關系息息相關。本節僅討論有限長桿對半無限長桿的碰撞，即只考慮兩桿之一有桿端邊界的反射問題。第18頁，課件共62頁，創作于2023年2月[例3-3-3]如圖，兩截面完全相同的一維長桿，其中有限長桿長為L2，聲阻抗為，半無限長桿聲阻抗為，有限長桿以速度v2撞擊靜止的半無限長桿，兩桿初始應力為零且無初始應變，根據兩桿的波阻抗之間的關系分析撞擊后應力波在桿中傳播的情況，畫出波系圖、圖，求解兩桿碰撞后波系圖中各區域的質點速度和應力解值表達式，畫出某一時刻的圖和某質點位置的圖。第19頁，課件共62頁，創作于2023年2月[解]兩桿撞擊后，由碰撞界面處背向碰撞面方向傳播一次彈性波，為壓縮波。設兩桿相撞時刻為時刻，當時左傳播彈性波到達B2桿左端，在自由端面發生反射，向右傳播二次波，為稀疏波，使桿中應力逐漸卸載為0，在時到達兩桿相接觸的界面，根據兩桿的波阻抗關系的不同，應力波此后傳播的情況會不同，下面分別討論。第20頁，課件共62頁，創作于2023年2月（1）當時兩桿波阻抗相等時（但兩桿的波速可能不同），波阻抗統一用表示，兩桿的波速分別用C01和C02表示。從B2桿左端面向右傳播的稀疏波（卸載波）在撞擊面處將無反射的進行傳播。依據題意可畫出相應的波系圖和圖。圖3-3-9（圖中對應于）

第21頁，課件共62頁，創作于2023年2月區和區由于兩桿橫截面積相等，滿足界面處應力和質點速度相等條件，可統一用3區來表示。各區求解過程如下：

1區：2區：3區：第22頁，課件共62頁，創作于2023年2月4區：

或由

（疊加原理）即時，B2桿從左端自由界面開始反射右傳卸載波，使桿中應力和質點速度逐漸卸載到0，時卸載波傳到碰撞界面，使碰撞界面處應力和質點速度卸載到0，意味著兩桿的撞擊結束。第23頁，課件共62頁，創作于2023年2月歸納：對于4區這種向自由界面傳播并發生反射形成的三個區域——2、3、4區之間有這樣的關系，即

而類似的區域如果是向固定端傳播和反射，則有

第24頁，課件共62頁，創作于2023年2月

5區：兩桿的撞擊結束，B1桿左端變成自由界面，卸載波繼續向B1桿中向右傳播，使桿中應力變為0，則有

根據前面的分析及求解，當時，兩桿在時刻碰撞結束，兩桿保持接觸不分離，但桿中應力和質點速度都變為0。第25頁，課件共62頁，創作于2023年2月由X-t圖可以看出，B1桿中有先行的壓縮波和隨后的卸載拉伸波，兩波間距始終不變，在時刻后B1桿中的應力波形為一矩形波，通常稱之為應力脈沖，應力脈沖的長度（對應于兩波的間距）由下圖可得為。

圖3-3-10

第26頁，課件共62頁，創作于2023年2月當，，即B1桿中所傳播的矩形應力脈沖長度是B2桿長度的兩倍，此時若改變B2桿的長度就可以獲得不同脈沖長度的應力脈沖，這就是在進行有關的動態力學實驗中控制脈沖長度的常用方法。

第27頁，課件共62頁，創作于2023年2月時（當時實際上對應于兩相同材料）所對應的X-t圖確切來說應修正為下圖，但圖不變。圖3-3-11第28頁，課件共62頁，創作于2023年2月（2）當時，相當于軟→硬（軟材料撞擊硬材料）依據題意可畫出相應的波系圖和圖。圖3-3-12（圖中對應于）第29頁，課件共62頁，創作于2023年2月由圖中可以看出，B2桿中由自由界面向右傳播的卸載波使桿中應力逐漸變為0，但質點速度變為負值，與B1桿脫離，并使B1桿左端變為自由端，由B2桿傳入的卸載波使B1桿中應力逐漸變為0，速度相應也變為0。兩桿在時刻碰撞結束，并彼此脫離。

第30頁，課件共62頁，創作于2023年2月3區：

4區：

或根據前面的歸納直接可寫出解值5區有：第31頁，課件共62頁，創作于2023年2月在B1桿中也是有先行的壓縮波和隨后的卸載拉伸波，兩波間距始終不變，在時刻后B1桿為一矩形應力脈沖，長度為。當時，應力脈沖長度為。

當時，相應的X-t圖的特征線也要作相應修正。第32頁，課件共62頁，創作于2023年2月討論：若∞，相當于有限長桿→剛體，波形圖和圖如下。圖3-3-13第33頁，課件共62頁，創作于2023年2月

B1桿相當于剛體，彈性桿撞擊靜止的半無限長剛體，碰撞界面處有，應力值近似解為。4區的質點速度為，即彈性桿在時刻以大小相等的速度反彈。B1桿中在時間內桿中均布著壓力，從時間開始后，剛性桿中應力馬上衰減到0，體現剛體受力的瞬時性。第34頁，課件共62頁，創作于2023年2月（3）當時，相當于硬→軟依據題意可初步畫出相應的波系圖和圖如下。圖3-3-14第35頁，課件共62頁，創作于2023年2月由圖中可以看出，B2桿中由自由界面向右傳播的卸載波使桿中應力逐漸變為0，但質點速度仍為正值，由B2桿傳入B1桿中的卸載波在圖上是在3、0點所對應的直線上，但兩桿是相互脫離、碰撞結束還是保持接觸相互作用，還須進一步進行討論。如果兩桿相互作用結束，B1桿左端將成為自由端，即有，則相應有，而，顯然B2桿仍會對B1桿發生進一步的碰撞，也就是說兩桿仍會相互作用下去，碰撞不會結束。則在兩桿碰撞界面上，由于兩桿波阻抗不相等，在界面上會有反射和透射，分別向B2桿發生反射和向B1桿發生透射。第36頁，課件共62頁，創作于2023年2月最終可畫出波系圖和圖如下，圖中只畫到了7區，實際上可一直延續畫下去，趨近無窮。圖3-3-15第37頁，課件共62頁，創作于2023年2月3區：

4區：第38頁，課件共62頁，創作于2023年2月5區：

6區：……第39頁，課件共62頁，創作于2023年2月由3-3-15圖以及以上各區的解可以看出，B2桿對B1桿的撞擊將進行第二次、第三次…，直至無窮次撞擊，不過撞擊速度和應力波的幅值逐次減小，直至趨進于0。在時刻發生第n次撞擊。在B1桿中有先行的壓縮波和隨后幅值逐漸減小的一系列的卸載拉伸波，各相鄰兩波間距相等，為（當時，相鄰兩波間距為）。當時，相應的X-t圖的特征線同樣要作相應修正。第40頁，課件共62頁，創作于2023年2月討論：若∞，相當于剛體→半無限長彈性桿，波形圖和圖如下。圖3-3-16第41頁，課件共62頁，創作于2023年2月由圖中可以看出，，即剛體對彈性桿的撞擊相當于進行恒速撞擊。界面處有。實際上，由于撞擊桿B2本身有初速v2，對于彈性桿B1，其左側相當于剛壁面，根據前一節的討論，接觸面處恒有，由此也可得到。此解是將撞擊短桿作為剛體，實為近似解。第42頁，課件共62頁，創作于2023年2月剛體對彈性體進行碰撞后，作為剛體有，作為彈性體有。界面上應力相等，則有上式整理并積分，有可得

（a）上式為撞擊后的精確解，體現出桿中質點速度與應力都隨時間有指數衰減的規律。第43頁，課件共62頁，創作于2023年2月下面作近似處理。設Mt為時間t內彈性波在傳過彈性長桿所對應的質量，有，則（a）式可變為：根據剛體假設，，則上式變為：這與前面討論的結論一致。第44頁，課件共62頁，創作于2023年2月3-3-3有限長桿與有限長桿的碰撞相碰撞的兩桿均為有限長桿，則分別會有壓縮波向兩桿中傳播，并且分別在兩桿的另一端的自由面發生反射，在一定時間后（時間可能相同，也右能不同）回到碰撞面，情形比較復雜。本小節將針對兩類特殊的情形進行討論，首先是兩桿發生碰撞，兩桿長度之間滿足的關系，這樣壓縮波傳播到兩桿自由端的時間以及從自由端回到碰撞端的時間分別相等，這種情形還比較簡單。另外，還簡單討論三根材料及長度和橫截面完全相等的三根桿的碰撞問題。第45頁，課件共62頁，創作于2023年2月[例3-3-4]如圖，兩截面完全相同的一維長桿，聲阻抗分別為和，長度分別為L1和為L2，設L1>L2并滿足條件。B2桿以速度v2撞擊靜止的B1桿，兩桿初始應力為零且無初始應變，根據兩桿的波阻抗之間的關系分析撞擊后應力波在桿中傳播的情況，畫出波系圖、圖，求解兩桿碰撞后波系圖中各區域的質點速度和應力解值表達式，畫出某一時刻的圖和某質點位置的圖。第46頁，課件共62頁，創作于2023年2月[解]由于，L1>L2，故有。設兩桿發生碰撞時刻作為時間為0時刻，在時刻兩反向傳播的壓縮波分別到達桿各自的自由端，又在相同的時刻時，從自由端反射的兩拉伸波又回到碰撞面。故可初步畫出波系圖見圖3-3-17。此后兩桿中的參量值以及彼此的狀態關系與材料的波阻抗關系相關，下面仍分三類情形進行討論。第47頁，課件共62頁，創作于2023年2月圖3-3-17第48頁，課件共62頁，創作于2023年2月（1）當時此時的圖如下。圖3-3-18第49頁，課件共62頁，創作于2023年2月3區：

4區：或直接可給出結果5區：或直接可給出結果第50頁，課件共62頁，創作于2023年2月由3-3-17、3-3-18圖和4、5區解值可知，在時刻，B2桿靜止，B1桿以v2飛出，兩桿碰撞結束并脫離，B2桿的動能全部傳遞給B1桿。

第51頁，課件共62頁，創作于2023年2月（2）當時此時的圖如下。圖3-3-19第52頁，課件共62頁，創作于2023年2月3區：

4區：5區：第53頁，課件共62頁，創作于2023年2月由圖3-3-19及4、5區解可知，在時，B2桿以v4速度反彈，B1桿以速度v5（）向右飛出，兩桿碰撞結束并脫離，B2桿的動能有一部分傳遞給B1桿。第54頁，課件共62頁，創作于2023年2月（3）當時此時的波系圖和圖如下。圖3-3-20第55頁，課件共62頁，創作于2023年2月3區：

4區：5區：第56頁，課件共62頁，創作于2023年2月由圖3-3-20及4、5區解可知，在時，B1