1第三章

無限長單位脈沖響應(IIR)

濾波器的設計方法

2根據模擬濾波器設計IIR濾波器

利用模擬濾波器設計數字濾波器，就是從已知的模擬濾波器傳遞函數Ha(s)設計數字濾波器傳遞函數H(z)，這歸根到底是一個由S平面到Z平面的變換。這種映射變換應遵循兩個基本原則：（1）H(z)的頻響要能模仿Ha(s)的頻響，即S平面的虛軸應映射到Z平面的單位圓上。（2）Ha(s)的因果穩定性映射成H(z)后保持不變，即S平面的左半平面Re{S}＜0應映射到Z平面的單位圓以內|Z|<1。脈沖響應不變法根據模擬濾波器設計IIR濾波器4脈沖響應不變法5脈沖響應不變法極點對應關系:6例題將一個具有如下系統函數的模擬濾波器數字化。解模擬濾波器的頻率響應為:設s=σ+jΩ,z=rejω,

rejω=e

(σ+jΩ)T=eσT

ejΩT

r=eσT

ω=ΩT

分析脈沖響應不變法的性能jΩ0S平面3/T-3/T-/T/Ts=+jΩ(a)Im[z]Re[z]0|z|=r=1z=re

jωω(b)用脈沖響應不變法設計數字濾波器方法是：如果已知模擬濾波器的系統函數Ha(s)1.將Ha(s)部分分式展開，2.再按公式得到數字濾波器系統函數H(z)。如果已知數字濾波器的設計指標：ωp,Ap,ωr,Ar1、將數字濾波器性能指標變換為中間模擬濾波器的性能指標。采用:2、設計出符合要求的中間模擬濾波器的系統函數Ha(s)。3、將Ha(s)展成部分分式形式，利用公式求H(z)。10舉例1112

這樣就看到，脈沖響應不變法將模擬濾波器變換為數字濾波器時，首先對Ha(s)做周期延拓，然后再經過z=esT的映射關系，完成s平面到z平面的映射。即根據理想采樣序列拉氏變換與模擬信號拉氏變換的關系13

這時數字濾波器的頻率響應才能不失真地重現模擬濾波器的頻響（存在于折疊頻率Ωs/2以內）

如果模擬濾波器的頻率響應是帶限于折疊頻率以內的即

但是，任何一個實際的模擬濾波器的頻率響應都不可能真正是帶限的，這就不可避免地存在頻譜的混淆失真，因而模擬濾波器的頻率響應在折疊頻率以上處衰減越大，這個失真就越小。1415因此，此法只適用于帶限或高頻衰減大的頻響特性的模擬濾波器，如衰減特性很好的帶通或低通。Fs越大，則相鄰周期間重復的頻譜相隔越遠，混疊也就越小。而高通和帶阻濾波器，頻率特性在fs/2頻率部分不衰減，因此完全混疊在低頻響應中。所以脈沖響應不變法不能用來設計帶阻或高通濾波器，否則要加保護濾波器①如果Ha(s)是穩定的，即其極點全部都在s左半平面內，由映射關系可知，對應的H(z)的極點也全部都在單位圓內，所以H(z)也是穩定的。總之，考察脈沖響應不變法，可以得到以下結論：②H(s)的虛軸均映射H(z)的單位圓上，在此范圍內ω與Ω之間呈現線性的對應關系，即ω=ΩT。因而使數字濾波器的頻率特性基本與模擬濾波器的相同。③由于頻率混疊效應，所以脈沖響應不變法只適用于帶限的模擬濾波器。例如低通濾波器和帶通濾波器。高通和帶阻濾波器不宜采用脈沖響應不變法。17

由此建立s平面與z平面一一對應的單值關系，消除多值性，也就消除了混淆現象。18

這里c是待定常數，一般取c=2/T,不同的c

，可使模擬濾波器的頻率特性與數字濾波器的頻率特性在不同頻率點有對應關系。

為了將s平面的jΩ軸壓縮到平面jΩ1軸上的

-π/T到π/T

一段上，可通過以下的正切變換實現：192、變換關系TsTsTsTsTsTseeceeeecTscssss~~2/~2/~2/~2/~11)2~(tan

,~

)1(----+-=+-==?

s

存在下列關系設?~202~為邊界的水平窄區內平面內以平面映射成即將sssW±\2、變換關系2~

,2~

,22

,時時當ssTTTW=?W+￥?WW-=-?W\?-W-￥?Wppp~21由s到z為一一對應，且單值對應2、變換關系雙線性變換法的轉換性能 可以求出

將s和z看成s平面和z平面的一般復變量

s=σ+jΩ,z=rejω

σ=0時，r=1，s平面的虛軸映射為z平面的單位圓；σ＜0時,r＜1,s平面的左半映射為z平面的單位圓內；σ＞0時，r＞1，s平面的右半映射為z平面的單位圓外。所以如果模擬濾波器因果穩定，則用雙線性變換法將模擬濾波器Ha(s)轉換成數字濾波器H(z)后仍然因果穩定。24(1)無混疊誤差(2)頻率產生失真由于頻率間的非線性關系所產生的數字濾波器的頻率響應相對于原模擬濾波器的幅頻響應會有畸變。25考慮圖雙線性變換的頻率非線性關系

264、頻率預畸

利用關系式：

將所要設計的數字濾波器臨界頻率點，變換成對應的模擬域頻率，利用此設計模擬濾波器，再通過雙線性變換，即可得到所需的數字濾波器，如圖所示。T可以隨便選取，代入轉換表達式會約掉

若只關心濾波器的幅頻特性，為了補償頻率的畸變，讓變換后的位置不產生變化。對特定頻率(Ωp，Ωr，Ωc)先進行預畸。27雙線性變換時頻率的預畸變28294218.01433.1)1(674.022+-+zzz30如果已知數字濾波器的設計指標ωp,Ap,ωr,Ar1、將數字濾波器性能指標變換為中間模擬濾波器的性能指標。采用:2、求模擬濾波器的系統函數Ha(s)3、將Ha(s)按公式得到數字濾波器系統函數H(z)（T可以隨便選取,所以為了計算方便，一般取T=2，這樣c＝1）預畸變用雙線性變換法設計數字濾波器方法是：如果已知模擬濾波器的系統函數Ha(s)將Ha(s)按公式得到數字濾波器系統函數H(z)總結利用模擬濾波器設計IIR數字低通濾波器的步驟。（1）確定數字低通濾波器的技術指標ωp、Ap、ωr、A

r（2）將數字低通濾波器的技術指標轉換成相應的模擬低通濾波器的技術指標。這里主要是邊界頻率ωp和ωr的轉換，Ap和Ar指標不變。（3）按照模擬低通濾波器的技術指標設計過渡模擬低通濾波器（4）用所選的轉換方法，將模擬濾波器Ha(s)轉換成數字低通濾波器系統函數H(z)。例2

設采樣周期T=250μs(fs=4kHz)，設計一個三階巴特沃思LP濾波器,其3dB截止頻率fc=1kHz。分別用脈沖響應不變法和雙線性變換法求解。解：a.脈沖響應不變法由于脈沖響應不變法的頻率關系是線性的，所以可直接按Ωc=2πfc設計Ha(s)。以截止頻率Ωc歸一化的三階巴特沃思濾波器的傳遞函數為以s/Ωc

代替其歸一化頻率，得：

為進行脈沖響應不變法變換,計算Ha(s)分母多項式的根,將上式寫成部分分式結構：對照前面學過的脈沖響應不變法中的部分分式形式。有36將上式部分系數代入數字濾波器的傳遞函數：并將Ωc=ωc

/T代入，得：合并上式后兩項，并將ωc=2πfcT=0.5π代入，計算得：37

b.雙線性變換法

(一)首先確定數字域臨界頻率ωc=2πfcT=0.5π(二)根據頻率的非線性關系，確定預畸的模擬濾波器臨界頻率(三)以s/Ωc

代入歸一化的三階巴特沃模擬器傳遞函數并將Ωc=2/T

代入上式。(四)將雙線性變換關系代入，求H(z)。3