試驗優化設計（1）

——正交試驗丁海濤汽車仿真與控制國家重點實驗室2013年3月試驗優化設計講義2導論汽車是一門“試驗科學”試驗優化設計講義3導論汽車底盤匹配與優化性能指標：要求汽車的操縱性能達到最優1）不足轉向度2）車身側傾率3）側向加速度響應時間4）橫擺響應阻尼試驗優化設計講義4導論汽車底盤匹配與優化3）懸架結構硬點位置前懸架2水平因素15個（5個硬點）后懸架2水平因素15個（5個硬點）4）懸架主要橡膠襯套剛度前懸架2水平因素4個后懸架2水平因素4個全面試驗次數：2（1+2+15+15+4+4）=241≈2萬億待優化的變量：1）輪胎側偏剛度2水平因素1個2）前后懸架橫向穩定桿直徑2水平因素2個試驗優化設計講義5導論試驗優化

試驗優化就是在最優化思想的指導下，通過廣義試驗（包括實物試驗和非實物試驗）進行優化設計的一種優化方法，是應用數學的一個新興分支。它從不同的優良性出發，合理設計試驗方案，有效控制試驗干擾，科學處理試驗數據，全面進行優化分析，直接實現優化目標，已成為現代優化技術的一個重要方面。試驗優化設計講義6導論離散優化與序貫優化離散優化：就是在試驗區域內有目的、有規律地散布一定量的試驗點，多方向同時尋找優化目標。離散優化不能真正實現全局優化，最優點也只是較優點。常用方法：正交設計、SN設計、均勻設計等。序貫優化：就是遵循一定優化路徑逐漸尋找最優點的方法，它是單向尋優，后一階段優化是在前一階段優化的基礎上進行的。通常情況下，序貫優化可以進行全域精確尋優。常用方法：0.618法、單純形法、梯度法、漸進分式法、連貫設計法等。試驗優化設計講義7導論試驗優化最常用的是試驗設計與回歸設計試驗設計：試驗設計是離散優化的基本方法，它是從正交性、均勻性出發，利用拉丁方、正交表、均勻表等作為工具來設計試驗方案、實施廣義試驗，直接尋找最優點。常用的方法：拉丁方設計法、正交表設計法、穩健試驗設計、馬哈諾皮斯-田口（MTS）方法等。回歸設計：回歸設計主要是從正交性、旋轉性和D-優良性出發，利用正交表、H陣、單純形、中心組合法和正交多項式組以及計算機技術編制試驗方案，直接求取各種線性和非線性回歸方程。常用的回歸設計方法：多元線性正交設計、二次組合設計、正交多項式設計、D-最優設計、混料設計等。試驗優化設計講義8導論參考書《試驗優化設計與分析》，任露泉編著，吉林科學技術出版社，2001年聯系方式

Email:ding_hai_tao@126.com試驗優化設計講義9第一章正交試驗設計1.1基本概念【例1】通過試驗考察用不同方式施用氮肥（N）和磷肥（P）對大豆畝產量（y）的影響。試驗安排和試驗結果如表1：PNP1=0P2=4N1=0200225N2=6215280表1：施肥對大豆畝產量y的影響試驗試驗優化設計講義10第一章正交試驗設計試驗指標：在一項試驗中，用來衡量試驗效果的特征量稱為試驗指標，也稱試驗結果，通常用y表示。它類似于數學中的因變量或目標函數。試驗因素：試驗中，凡對試驗指標可能產生影響的原因都稱為因素，類似數學中的自變量。需要在試驗中考察的因素，成為試驗因素，也稱因素，通常用大寫字母A、B、C……來表示。因素水平：因素在試驗中所處的各種狀態或所取的不同值，稱為該因素的水平，通常用下標1、2、3……來表示。若一個因素取K種狀態或K個值，就稱該因素為K水平因素。1.1基本概念試驗優化設計講義11第一章正交試驗設計處理組合：所有試驗因素的水平組合所形成的試驗點稱為處理組合。在三因素試驗中，A1B2C3是一個組合處理，它表示A因素一水平、B因素二水平和C因素三水平組合而形成的一個試驗點。全面試驗：對全部處理組合都進行試驗稱為全面試驗。顯然全面試驗的組合處理數L應等于各因素水平的乘積。設A、B、C對應的水平數為a、b、c，則全面試驗數L=abc。1.1基本概念試驗優化設計講義12第一章正交試驗設計部分試驗：從全部處理組合中選擇一部分處理組合進行試驗稱為部分試驗。部分試驗與全面試驗之比稱為“幾分之幾部分試驗”。試驗設計所追求的目標之一就是用盡量小的部分試驗來實現全面試驗所要達到的目的。因素試驗：一般的試驗多是因素試驗，其目的在于研究因素及其間的交互作用的重要程度，即對試驗指標的影響大小，并直接獲得最優處理組合，或求得回歸方程。1.1基本概念42×23表示2個四水平因素和3個二水平因素的五因素試驗試驗優化設計講義13第一章正交試驗設計1.2正交試驗的基本原理

正交試驗設計是利用正交表來安排與分析多因素試驗的一種設計方法。它是由試驗因素的全部水平組合中，挑選部分有代表性的水平組合進行試驗，通過對這部分試驗結果的分析了解全面試驗的情況，找出最優的水平組合。試驗優化設計講義14第一章正交試驗設計

例如，要考察增稠劑用量、pH值和殺菌溫度對豆奶穩定性的影響。每個因素設置3個水平進行試驗。

A因素是增稠劑用量，設A1、A2、A33個水平；B因素是pH值，設B1、B2、B33個水平；C因素為殺菌溫度，設C1、C2、C33個水平。這是一個3因素3水平的試驗，各因素的水平之間全部可能組合有27種。全面試驗：可以分析各因素的效應，交互作用，也可選出最優水平組合。但全面試驗包含的水平組合數較多，工作量大，在有些情況下無法完成。若試驗的主要目的是尋求最優水平組合，則可利用正交表來設計安排試驗。試驗優化設計講義15第一章正交試驗設計1.2正交試驗的基本原理試驗優化設計講義16第一章正交試驗設計1.2正交試驗的基本原理

正交設計就是從選優區全面試驗點（水平組合）中挑選出有代表性的部分試驗點（水平組合）來進行試驗。圖中標有試驗號的九個“(·)”，就是利用正交表L9(34)從27個試驗點中挑選出來的9個試驗點。即：

(1)A1B1C1(2)A2B1C2(3)A3B1C3(4)A1B2C2(5)A2B2C3(6)A3B2C1(7)A1B3C3(8)A2B3C1(9)A3B3C2試驗優化設計講義17第一章正交試驗設計1.2正交試驗的基本原理

上述選擇，保證了A因素的每個水平與B因素、C因素的各個水平在試驗中各搭配一次。對于A、B、C3個因素來說，是在27個全面試驗點中選擇9個試驗點，僅是全面試驗的三分之一。從圖中可以看到，9個試驗點在選優區中分布是均衡的，在立方體的每個平面上，都恰是3個試驗點；在立方體的每條線上也恰有一個試驗點。

9個試驗點均衡地分布于整個立方體內，有很強的代表性，能夠比較全面地反映選優區內的基本情況。

試驗優化設計講義18第一章正交試驗設計1.2正交試驗的基本原理

列號試驗號1

234111112122231333421235223162312731328321393321L9(34)正交表：試驗優化設計講義19第一章正交試驗設計1.3正交表及其性質正交表

常用的正交表已由數學工作者制定出來，供進行正交設計時選用。正交表的代號

正交表的列數

因素的水平數正交表的行數（需要做的試驗次數）試驗優化設計講義20第一章正交試驗設計1.3正交表及其性質列號實驗號12345671111111121112222312211224122221152121212621221217221122182212112L8(27)試驗優化設計講義21第一章正交試驗設計1.3正交表及其性質正交表的基本性質：

1正交性

（1）任一列中，各水平都出現，且出現的次數相等

例如L8(27)中不同數字只有1和2，它們各出現4次。（2）任兩列之間各種不同水平的所有可能組合都出現，且出現的次數相等

例如L8(27)中(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)各出現兩次。即每個因素的一個水平與另一因素的各個水平所有可能組合次數相等，表明任意兩列各個數字之間的搭配是均勻的。試驗優化設計講義22第一章正交試驗設計1.3正交表及其性質正交表的基本性質：

2均衡分散性（代表性）一方面：（1）任一列的各水平都出現，使得部分試驗中包括了所有因素的所有水平；（2）任兩列的所有水平組合都出現，使任意兩因素間的試驗組合為全面試驗。另一方面：由于正交表的正交性，正交試驗的試驗點必然均衡地分布在全面試驗點中，具有很強的代表性。因此，部分試驗尋找的最優條件與全面試驗所找的最優條件，應有一致的趨勢。試驗優化設計講義23第一章正交試驗設計1.3正交表及其性質正交表的基本性質：

3綜合可比性

（1）任一列的各水平出現的次數相等；（2）任兩列間所有水平組合出現次數相等，使得任一因素各水平的試驗條件相同。這就保證了在每列因素各水平的效果中，最大限度地排除了其他因素的干擾。從而可以綜合比較該因素不同水平對試驗指標的影響情況。試驗優化設計講義24第一章正交試驗設計1.3正交表及其性質

正交表的三個基本性質中，正交性是核心，是基礎，代表性和綜合可比性是正交性的必然結果。試驗優化設計講義25第一章正交試驗設計1.4正交表的分類1標準表二水平：L4(23)、L8(27)、L16(215)、…

三水平：L9(34)、L27(313)、L81(340)、…

四水平：L16(45)、L64(421)、L256(485)、…

凡是標準表水平數都相等。利用標準表可以考察因素間的交互作用。試驗優化設計講義26第一章正交試驗設計1.4正交表的分類2非標準表二水平：L12(211)、L20(219)、L24(223)、…

其它水平：L18(37)、L32(49)、L50(511)、…

非標準表是為縮小標準表的間隔而提出的，它雖然是等水平表，但卻不能考察因素間的交互作用。試驗優化設計講義27第一章正交試驗設計1.4正交表的分類3混合正交表

L8(4×24);L9(21×33)、L9(22×32);L12(3×24)、L12(6×22);……

混合正交表大致可分為兩種情況：一是著重考察的因素需多取水平，例如：L8(4×24)和L24(3×4×24)；二是某一因素不能多取水平的情況，如：L18(2×37)。混合正交表也不能考察因素間的交互作用。試驗優化設計講義28第一章正交試驗設計1.5正交試驗設計的基本方法試驗目的與要求試驗指標選因素、定水平因素、水平確定選擇合適正交表表頭設計列試驗方案試驗方案設計試驗結果分析試驗結果極差分析計算yjm值計算極差R優水平因素主次順序優組合結論計算yjm值進行試驗，記錄試驗結果試驗優化設計講義29第一章正交試驗設計1.5正交試驗設計的基本方法【例2】某工廠為改革軸承座圈的退火工藝，提高產品硬度的合格率，擬做一項多因素試驗。第一部分：試驗方案的設計（1）確定試驗指標：試驗指標是由試驗目的確定的。一個試驗目的至少需要一個試驗指標。有時一個試驗目的不止需要一個試驗指標。試驗指標一經確定，就應當把衡量和評定試驗指標的原則、標準、測定試驗指標的方法以及所用的儀器等確定下來。試驗優化設計講義30第一章正交試驗設計1.5正交試驗設計的基本方法（2）確定試驗因素并選取適當的水平：選試驗因素時，首先要根據專業知識、以往研究的結論和試驗的經驗盡可能全面地考察影響試驗指標的諸因素，然后根據試驗要求和盡量少選因素的一般原則選定試驗因素。試驗因素的水平一般以2~4為宜，以盡量減少試驗次數。

因素水平A加熱溫度（℃）B保溫時間（h）C出爐溫度（℃）1（A1）800（B1）6（C1）4002（A2）820（B2）8（C2）500試驗優化設計講義31第一章正交試驗設計1.5正交試驗設計的基本方法（3）選用合適的正交表：因素水平表是實現試驗目的的基本前提，也是選用正交表的唯一依據。如果選用的正交表既能容得下所有試驗因素，又使得試驗號最小，就認為所選的正交表是合適的。對于本例，選擇L4(23)是合適的，比L8(27)好。試驗優化設計講義32第一章正交試驗設計1.5正交試驗設計的基本方法（4）表頭設計：正交表的每一列可以安排1個因素。表頭設計就是將試驗因素安排到所選正交表的各列中去的過程。如果因素間無交互作用，各因素可以任意安排到各列中去。（5）編制試驗方案：在表頭設計的基礎上，將所選正交表中各列的不同數字換成對應因素的相應水平，便形成了試驗方案。試驗方案中的試驗號并不意味著實際進行試驗的順序。試驗優化設計講義33第一章正交試驗設計1.5正交試驗設計的基本方法

列號實驗號1231111212232124221列號A1bab2區號L4(23)注：任兩列的交互列為另外一列。試驗優化設計講義34第一章正交試驗設計1.5正交試驗設計的基本方法

因素試驗號

（1）A加熱溫度（℃）

（2）B

保溫時間（h）

（3）C

出爐溫度（℃）1（1）800（1）6（1）4002（1）800（2）8（2）5003（2）820（1）6（2）5004（2）820（2）8（1）400試驗方案試驗優化設計講義35第一章正交試驗設計1.5正交試驗設計的基本方法第二部分：試驗結果處理——極差分析法（R法）

處理試驗結果的目的在于確定試驗因素的主次、各試驗因素的優水平及試驗范圍內的最優組合。yjk為第j因素k水平所對應的試驗指標和，yjk為yjk的平均值。由yjk的大小可以判斷j因素的優水平，各因素的優水平的組合即最優組合。第j因素的極差為：Rj=max[yj1,yj2,…]-min[yj1,yj2,…]依據極差Rj的大小可以判斷因素的主次。試驗優化設計講義36

因素試驗號（1）A加熱溫度（2）B保溫時間（3）C出爐溫度產品合格率（%）1（1）800（1）6（1）400932（1）800（2）8（2）500833（2）820（1）6（2）500444（2）820（2）8（1）40068yj1176137161yj2112151127yj188.068.580.5yj256.075.563.5Rj32.07.017.0優水平A1B2C1主次因素A，C，B最優組合A1B2C1試驗優化設計講義37第一章正交試驗設計1.6有交互作用的正交試驗設計

在多因素試驗中，不僅因素對指標有影響，而且因素之間的聯合搭配也對指標產生影響。因素間的聯合搭配對試驗指標產生的影響作用稱為交互作用。因素之間的交互作用總是存在的，這是客觀存在的普遍現象，只不過交互作用的程度不同而異。一般地，當交互作用很小時，就認為因素間不存在交互作用。對于交互作用，設計時應引起高度重視。在試驗設計中，表示A、B間的交互作用記作A×B，稱為1級交互作用；表示因素A、B、C之間的交互作用記作A×B×C，稱為2級交互作用；依此類推，還有3級、4級交互作用等。（1）交互作用試驗優化設計講義38第一章正交試驗設計1.6有交互作用的正交試驗設計（2）交互作用的處理原則

試驗設計中，交互作用一律當作因素看待，這是處理交互作用問題的總原則。作為因素，各級交互作用都可以安排在能考察交互作用的正交表的相應列上，它們對試驗指標的影響情況都可以分析清楚，而且計算非常簡單。但交互作用又與因素不同，表現在：①用于考察交互作用的列不影響試驗方案及其實施；②一個交互作用并不一定只占正交表的一列，而是占有（m-1）p列。表頭設計時，交互作用所占列數與因素的水平m有關，與交互作用級數p有關。試驗優化設計講義39第一章正交試驗設計1.6有交互作用的正交試驗設計（2）交互作用的處理原則2水平因素的各級交互作用均占1列；對于3水平因素，一級交互作用占兩列，二級交互作用占四列，……，可見，m和p越大，交互作用所占列數越多。

例如，對一個25因素試驗，表頭設計時，如果考慮所有各級交互作用，那么連同因素本身，總計應占列數為：

C51+C52+C53+C54+C55

＝5+10+10+5+1＝31，那么此試驗必選L32（231）正交表進行設計。一般對于多因素試驗，在滿足試驗要求的條件下，有選擇地、合理地考察某些交互作用。試驗優化設計講義40第一章正交試驗設計1.6有交互作用的正交試驗設計（2）交互作用的處理原則

綜合考慮試驗目的、專業知識、以往的經驗及現有試驗條件等多方面情況進行交互作用選擇。一般原則是：①忽略高級交互作用②有選擇地考察一級交互作用。通常只考察那些作用效果較明顯的，或試驗要求必須考察的。③試驗允許的條件下，試驗因素盡量取2水平。試驗優化設計講義41第一章正交試驗設計1.6有交互作用的正交試驗設計（3）有交互作用的試驗表頭設計

表頭設計時，各因素及其交互作用不能任意安排，必須嚴格按交互作用列表進行安排。這是有交互作用正交試驗設計的一個重要特點，也是關鍵的一步。

在表頭設計中，為了避免混雜，那些主要因素，重點要考察的因素，涉及交互作用較多的因素，應該優先安排，次要因素，不涉及交互作用的因素后安排。

所謂混雜，就是指在正交表的同列中，安排了兩個或兩個以上的因素或交互作用，這樣，就無法區分同一列中這些不同因素或交互作用對試驗指標的影響效果。試驗優化設計講義42第一章正交試驗設計1.6有交互作用的正交試驗設計【例3】考察拖拉機在不同擋位下某些部件對駕駛員耳旁噪聲的影響。擬定的試驗因素和水平如下，并要求考慮交互作用A×B和A×C的影響。試驗指標為耳旁噪聲，且指標值越小越好。

因素水平A擋位B駕駛室C輪胎D風扇1Ⅲ擋開式通用加寬改進型2Ⅱ擋閉式越野普通型因素水平表試驗優化設計講義43第一章正交試驗設計1.6有交互作用的正交試驗設計2）表頭設計表頭設計時各因素及交互作用不能任意安排，必須嚴格按照交互列表進行配列。這是有交互作用的正交設計的一個重要特點，也是試驗方案設計的關鍵一步。1）選取合適的正交表選表時一定要把交互作用看成因素，同試驗因素一并加以考慮。本例中，由于A×B和A×C需各占1列，連同4個試驗因素，總共需占正交表6列。顯然選擇L8(27)的正交表最合適。試驗優化設計講義44第一章正交試驗設計

列號列號()12345671(1)3254762(2)167453(3)76544(4)1235(5)326(6)17(7)因素ABA×BCA×C空D列號1234567L8(27)交互列表拖拉機噪聲試驗表頭設計試驗優化設計講義45第一章正交試驗設計3）編制試驗方案

因素試驗號（1）A擋位（2）B駕駛室（4）C輪胎（7）D風扇1（1）Ⅲ擋（1）開式（1）普通加寬（1）改進型2（1）Ⅲ擋（1）開式（2）越野（2）普通型3（1）Ⅲ擋（2）閉式（1）普通加寬（2）普通型4（1）Ⅲ擋（2）閉式（2）越野（1）改進型5（2）Ⅱ擋（1）開式（1）普通加寬（2）普通型6（2）Ⅱ擋（1）開式（2）越野（1）改進型7（2）Ⅱ擋（2）閉式（1）普通加寬（1）改進型8（2）Ⅱ擋（2）閉式（2）越野（2）普通型拖拉機噪聲試驗方案表試驗優化設計講義46第一章正交試驗設計4）試驗結果分析

因素試驗號(1)A(2)B(3)A×B(4)C(5)A×C(6)(7)Dyi(dB)yi-90(dB)1111111192221112222988312211229444122221197752121212944621221219337221122186-482212112911yj121177610148∑=25yj2481819151117yj51.502.503.502.00yj21.002.004.504.753.752.754.25Rj52.25優水平A2B2C1D1主次因素A，C，A×B，B/D，A×C最優組合優搭配A2B2A2B2C1D1試驗優化設計講義47第一章正交試驗設計4）試驗結果分析BAB1B2A1(2+8)/2=5(4+7)/2=5.5A2(4+3)/2=3.5(-4+1)/2=-1.5二元表

注意：在交互作用較大的情況下決不可能只根據因素的單獨作用效果確定優水平，而應考慮因素間的優搭配。試驗優化設計講義48第一章正交試驗設計1.7混合正交表試驗設計

試驗因素中，有的因素的水平個數自然形成，只有確定的個數，不能任意選取；有的因素由于受某種條件的限制，不能多取水平；有的因素是試驗重點考察的因素，需要多取水平；有的是非重點考察的因素，一般少取水平。這樣使試驗因素間水平數不相等。

如果因素間無交互作用，可直接選用混合型正交表進行正交設計。試驗優化設計講義49第一章正交試驗設計1.7混合正交表試驗設計【例4】為了減少玉米收獲機械的收獲損失，對其摘穗裝置進行試驗研究。選定的因素水平如下，交互作用均不考察。試驗指標為玉米損失率，且指標值越小越好。

因素水平A摘輥速度(rpm)B輥傾角(deg)C喂送速度(m/s)D摘輥形式1700401.6甲2650351.8乙3600---4750---試驗優化設計講義50第一章正交試驗設計

本例是4×23因素試驗，A是重點考察的四水平因素，選用混合表L8(4×24)較合適。表頭設計時，A因素必須安排在第1列上，其余因素可以安排在其它任意列上。由于因素水平不同，水平隱藏重復次數不等，水平取值范圍也可能差異較大。因此對極差R有一定的影響。為了消除這種影響，用R’j來比較因素的主次。b2345678910db0.710.520.450.400.370.350.340.320.31R’j=db×Rj修正系數表試驗優化設計講義51第一章正交試驗設計

因素試驗號（1）A摘輥速度（2）B輥傾角（3）C喂送速度（4）D摘輥型式yi(%)1(1)700(1)40(1)1.6(1)甲0.142(1)700(2)35(2)1.8(2)乙0.173(2)650(1)40(1)1.6(2)乙0.254(2)650(2)35(2)1.8(1)甲0.315(3)600(1)40(2)1.8(1)甲0.416(3)600(2)35(1)1.6(2)乙0.347(4)750(1)40(2)1.8(2)乙0.118(4)750(2)35(1)1.6(1)甲0.08yj10.1550.2280.2020.235∑=1.81yj20.2800.2250.2050.217yj30.375---yj40.095---Rj0.2800.030.0480.018R’j0.1260.020.0340.013優水平A4B2C1D2最優組合主次因素A，C，B，DA4B2C1D2試驗優化設計講義52第一章正交試驗設計1.8多指標試驗設計

需要2個或更多個指標來衡量效果的試驗成為多指標試驗。在這樣的試驗中，各個因素及其水平對各試驗指標的影響往往是不同的，在某項指標得到改善的同時，可能使另一項指標惡化。因此，分析其結果時必須統籌兼顧，尋找使各項指標都盡可能好的條件。對于多指標試驗的設計有很多種處理方法，其中最常用的是綜合評分法和綜合平衡法。綜合評分法是根據各項指標的重要程度加權，將多指標轉化為單一的綜合指標。然后按照單指標試驗進行設計與分析。

綜合平衡法的方案設計和實施與單指標試驗相同，不同在于每做一次試驗，都需要對考察指標一一測試，分別記錄。試驗結果分析時，也要對考察指標一一分析，然后綜合平衡，確定出優條件。試驗優化設計講義53第一章正交試驗設計1.8多指標試驗設計【例5】油炸方便面生產中，主要原料質量和主要工藝參數對產品質量有影響。通過試驗確定最佳生產條件。（1）試驗方案設計

確定試驗指標：本試驗目的是探討方便面生產的最佳工藝條件，以提高方便面的質量。試驗以脂肪含量、水分含量和復水時間作為考察的指標。脂肪含量越低越好，水分含量越高越好，復水時間越短越好。試驗優化設計講義54第一章正交試驗設計1.8多指標試驗設計

挑因素，選水平，列因素水平表：根據專業知識和實踐經驗，確定試驗因素和水平表如下：因素水平表

選正交表、設計表頭、編制試驗方案：本試驗為四因素三水平試驗，不考慮交互作用，選L9（34）安排試驗。表頭設計和試驗方案以及試驗結果記錄見表。試驗優化設計講義55第一章正交試驗設計試驗優化設計講義56第一章正交試驗設計1.8多指標試驗設計（2）試驗結果分析

計算各因素各水平下每種試驗指標的數據和以及平均值，并計算極差R。

根據極差大小列出各指標下的因素主次順序：試驗指標：主次順序脂肪含量（％）：ACDB水分含量（％）：CDAB復水時間（s）：ADBC試驗優化設計講義57第一章正交試驗設計

初選優化工藝條件：根據各指標不同水平平均值確定各因素的優化水平組合。脂肪含量（％）：A3B3C1D2水分含量（％）：A1B2C1D1復水時間（s）：A2B2C2D3

綜合平衡確定最優工藝條件：以上三指標單獨分析出的優化條件不一致，必須根據因素的影響主次，綜合考慮，確定最佳工藝條件。

對于因素A，其對粗脂肪影響大小排第一位，此時取A3；其對復水時間影響也排第一位，取A2；而其對水分影響排次要第三位，為次要因素，因此A可取A2或A3，但取A2時，復水時間比取A3縮短了14%，而粗脂肪增加了11.3%，且由水分指標看，取A2比A3水分高，故A因素取A2。同理可分析B取B2，C取C1，D取D3。優組合為A2B2C1D3.試驗優化設計講義58第一章正交試驗設計1.9正交試驗設計的效應分析定義：因素不同水平對試驗指標的影響稱為因素的效應。【例】若用L4(23)正交表安排二因素試驗，第1、2列安排因素A、B，其水平可以嚴格控制，第3列安排交互作用A╳B，則其試驗指標yi（i=1,2,3,4）可用下式表達，即為正交試驗數據的結構模型。試驗優化設計講義59第一章正交試驗設計1.9正交試驗設計的效應分析式中：μ為試驗數據的數學期望，一般平均或工程平均；εi為第i號試驗的隨機誤差，在系統誤差消除的情況下服從正態分布；ak為A因素k水平的效應；bl為B因素l水平的效應；(ab)kl為A因素取k水平、B因素取l水平時交互作用A╳B的效應。

結構模型中因素效應滿足關系式：這表明，在試驗數據結構模型中，同一因素各水平的效應之和為零，含有某一因素同一水平的各交互作用的效應之和為零。試驗優化設計講義60第一章正交試驗設計1.9正交試驗設計的效應分析對上述L4(23)正交表二因素試驗，利用最小二乘法可以求得一般平均μ、因素效應ak、bl，以及交互作用效應(ab)kl的估計值：其中：為A因素k水平所對應的試驗指標平均值；為B因素l水平所對應的試驗指標平均值；為A因素k水平和B因素l水平所對應的試驗指標平均值。試驗優化設計講義61第一章正交試驗設計1.9正交試驗設計的效應分析試驗指標的估計在【例4】中，最優組合A4B2C1D2不在已做的試驗中，現估計其試驗指標（最優值）：試驗優化設計講義62第一章正交試驗設計1.9正交試驗設計的效應分析計算表明，該試驗最優組合的玉米損失率的估計值為0.061%。顯然比做試驗各指標值都好。試驗優化設計講義63第二章干擾控制試驗設計2.1試驗干擾

試驗過程中，由于各種條件因素的不同影響，使任何一個試驗數據都會含有隨機誤差（稱為“試驗干擾”），它的大小決定了試驗數據的精確程度，直接影響試驗結果分析的可靠性。

正交試驗設計中可以使用“空列”對試驗干擾進行分析。空列各水平對應的試驗指標平均值間的差異反映了試驗誤差、未考察的交互作用或未考察的因素的影響。空列各水平對應的試驗指標平均值越接近，說明這種影響越小，試驗精度越高。如果空列不只一個，把各空列同一水平對應的指標平均值相加后再進行比較。試驗優化設計講義64第二章干擾控制試驗設計2.1試驗干擾對第一章例4的試驗數據進行試驗干擾分析：【例4】為了減少玉米收獲機械的收獲損失，對其摘穗裝置進行試驗研究。選定的因素水平如下，交互作用均不考察。試驗指標為玉米損失率，且指標值越小越好。

因素水平A摘輥速度(rpm)B輥傾角(deg)C喂送速度(m/s)D摘輥形式1700401.6甲2650351.8乙3600---4750---試驗優化設計講義65第二章干擾控制試驗設計

因素試驗號（1）A摘輥速度（2）B輥傾角（3）C喂送速度（4）D摘輥型式（5）空列yi(%)1(1)700(1)40(1)1.6(1)甲10.142(1)700(2)35(2)1.8(2)乙20.173(2)650(1)40(1)1.6(2)乙20.254(2)650(2)35(2)1.8(1)甲10.315(3)600(1)40(2)1.8(1)甲20.416(3)600(2)35(1)1.6(2)乙10.347(4)750(1)40(2)1.8(2)乙10.118(4)750(2)35(1)1.6(1)甲20.08yj10.1550.2280.2020.2350.225∑=1.81yj20.2800.2250.2050.2170.228yj30.375----yj40.095----Rj0.2800.030.0480.0180.003R’j0.1260.020.0340.0130.002優水平A4B2C1D2最優組合主次因素A，C，B，DA4B2C1D2試驗優化設計講義66第二章干擾控制試驗設計

因素試驗號空列y空iyi△i110.225（3）0.140（3）-0.085220.228（4）0.170（4）-0.058320.228（5）0.250（5）0.022410.225（6）0.310（6）0.085520.228（8）0.410（8）0.182610.225（7）0.340（7）0.115710.225（2）0.110（2）-0.115820.228（1）0.080（1）-0.148

當各間的差異大到一定程度時，與的序號不一致，表明試驗數據中包含的隨機誤差較大，試驗數據不夠精確。本例的試驗干擾較小。試驗優化設計講義67第二章干擾控制試驗設計2.1試驗干擾對第一章例7的試驗數據進行試驗干擾分析：【例7】無線電元件廠某車間對影響產品不合格的原因進行試驗研究。選定的因素水平如下表，全部交互作用可忽略。試驗指標為產品的不合格率，且越小越好。水平A操作方式B班組C產品種類1Ⅰ甲大2Ⅱ乙中3丙小試驗優化設計講義68第二章干擾控制試驗設計試驗號（1）A操作方式（2）B班組（3）空列（4）C產品種類產品不合格率（%）1(1)Ⅰ(1)甲1(1)大1.202(1)Ⅰ(2)乙2(2)中1.103(1)Ⅰ(3)丙3(3)小2.304(2)Ⅱ(1)甲2(3)小1.405(2)Ⅱ(2)乙3(1)大3.406(2)Ⅱ(3)丙1(2)中4.50(7)(1)Ⅰ(1)甲3(2)中1.20(8)(1)Ⅰ(2)乙1(3)小0.80(9)(1)Ⅰ(3)丙2(1)大3.10yj11.531.272.172.57∑=19yj23.101.771.872.27yj31.703.302.301.50Rj1.572.030.431.07試驗優化設計講義69第二章干擾控制試驗設計

因素試驗號空列y空iyi△i112.17（3）1.20（3）-0.97221.87（2）1.10（4）-0.77332.30（6）2.30（6）0.00421.87（5）1.40（5）-0.47532.30（8）3.40（7）1.10612.17（9）4.50（9）2.23732.30（4）1.20（2）-1.10812.17（1）0.80（1）-1.37921.87（7）3.10（8）1.23

當各間的差異大到一定程度時，與的序號不一致，表明試驗數據中包含的隨機誤差較大，試驗數據不夠精確。本例試驗的干擾較大。試驗優化設計講義70第二章干擾控制試驗設計2.2試驗設計的基本原則

為了有效控制試驗干擾，在試驗設計時需要遵循試驗設計的三個基本原則：

設置區組

重復試驗隨機化試驗優化設計講義71第二章干擾控制試驗設計2.2試驗設計的基本原則(1)設置區組區組：人為劃分的試驗時間和空間的范圍一項試驗，如果能在由時間坐標和空間坐標確定的一點上進行時最理想的，但事實上根本做不到。在實際試驗時，可以通過劃分組，縮小試驗的時空范圍，創造盡可能均勻一致的試驗條件來有效控制試驗干擾。區組劃分應該根據試驗的具體情況確定。如果時間的變動影響試驗結果，就依據時間劃分區組；如果空間的變動影響試驗結果，就依據空間劃分區組；當然也可以依據試驗儀器或者操作人員劃分區組等等。試驗優化設計講義72第二章干擾控制試驗設計2.2試驗設計的基本原則(1)設置區組區組設計：利用區組合理安排試驗方案的設計方法區組設計時，區組之間的試驗條件差異可以大些，而區組內各個組合處理間的試驗條件則要求相對均勻些。對區組內一些不可控制或不能覺察和預料的差異，可以通過隨機化措施予以控制。區組設計可以局部控制干擾，使各個組合處理在相對均勻的試驗條件下進行試驗，以提高試驗數據的精度和可比性。試驗優化設計講義73第二章干擾控制試驗設計ABCABCABC2.2試驗設計的基本原則區組設計的關鍵是如何按照均衡分布的思想安排試驗的時間順序和空間位置，以保證試驗條件的均勻一致。ABCBCACAB貧瘠肥沃貧瘠肥沃試驗優化設計講義74第二章干擾控制試驗設計2.2試驗設計的基本原則(2)重復試驗重復試驗：同一試驗單元的若干次重復試驗單元是指一種處理組合自始自終的完整試驗過程。重復試驗的目的是估計試驗誤差，提高試驗的精度，擴大試驗的適應性和代表性。通常試驗誤差大的，應多做重復試驗；試驗誤差小的，可以少做重復試驗。重復試驗至少2次，一般為4~6次。試驗優化設計講義75第二章干擾控制試驗設計2.2試驗設計的基本原則(3)隨機化隨機化：在區組設計和重復試驗中，對未能控制與未發現的隨機干擾做進一步控制的措施。隨機化是通過排列上的機會均等，以消除某些處理組合可能占有的“優勢”或“劣勢”，盡量保證試驗條件的均勻，正確估計試驗誤差；它也可以保證試驗數據的獨立性和隨機性，以滿足統計分析的基本要求。隨機化是試驗設計使用數理統計方法的基石。試驗優化設計講義76第二章干擾控制試驗設計2.2試驗設計的基本原則(3)隨機化隨機化主要是對區組空間位置、區組實施的時間順序、各個處理組合的試驗序號和因素水平的排列次序的隨機安排。隨機化方法有兩種：1)完全隨機化：不靠主觀意識而完全由機會決定。可以由抓鬮、投骰子或查隨機數字表確定試驗的順序和區組的時空位置。2)部分隨機化：在完全隨機化的基礎上再進行某些人為調整的一種隨機化。試驗優化設計講義77第二章干擾控制試驗設計2.2試驗設計的基本原則

試驗設計的三個基本原則，以區組設計為核心，重復試驗和隨機化多貫穿于區組設計之中。三者相輔相成，互相補充，融為一體，從而能控制干擾，保證試驗條件基本均勻一致，提高試驗精度，降低試驗誤差，使試驗設計的成果更科學、更可靠。試驗優化設計講義78第二章干擾控制試驗設計2.3單向干擾控制區組設計(1)完全區組設計一個區組能容納正交表所列的全部處理組合的區組設計即為完全區組設計。其特點為：1)只能安排試驗號數較少的試驗，試驗號數一般為4，最多不超過8~9，否則會使同一區組的時空范圍過大，造成試驗條件的差異較大；2)區組個數等于全部處理組合的重復次數，即每多一個區組，就使每個序號的試驗多一次重復；3)控制干擾不占正交表的列，不影響部分實施的大小。試驗優化設計講義79第二章干擾控制試驗設計2.3單向干擾控制區組設計(1)完全區組設計【例8】東方紅-40拖拉機與IL2-30懸掛犁機組的最大耕深試驗。試驗方案如下表。表中h為懸掛點高度，H為立柱高。

因素試驗號B犁鏵Ah（mm）Ch+H（mm）yi最大耕深1（1）甲（1）575（1）1075-2（2）乙（1）575（2）1145-3（1）甲（2）605（2）1145-4（2）乙（2）605（1）1075-試驗優化設計講義80第二章干擾控制試驗設計2.3單向干擾控制區組設計123412341342321413422431++++++++++++++松軟堅硬區組Ⅰ區組Ⅱ試驗優化設計講義81第二章干擾控制試驗設計2.3單向干擾控制區組設計(1)完全區組設計

完全區組設計進行結果分析時，只需將重復試驗的指標值都列上，取其平均值作為試驗指標，按照極差分析法計算分析即可。

完全區組設計由于限制了試驗號數的大小，在很多情況下無法實施，應用具有局限性。試驗優化設計講義82第二章干擾控制試驗設計2.3單向干擾控制區組設計(2)不完全區組設計

一個區組只能容納正交表所列的部分處理組合的區組設計，稱為不完全區組設計。

不完全區組設計是把“區組”作為特殊的因素，利用正交表的正交性和均衡性，考慮干擾因素而進行的正交試驗設計。試驗優化設計講義83第二章干擾控制試驗設計2.3單向干擾控制區組設計(2)不完全區組設計不完全區組設計的特點：1)能安排較多的試驗，試驗號數通常可不受限制；2)區組內試驗號數受限，一般為2~4個，且各區組的試驗號數相等；3)重復試驗1次即為全區組的1次重復；4)控制單向干擾需占正交表的1列，稱為區組列或干擾列。試驗優化設計講義84第二章干擾控制試驗設計2.3單向干擾控制區組設計(2)不完全區組設計【例8】東方紅-40拖拉機與IL2-30懸掛犁機組的最大耕深試驗。h為懸掛點高度，H為立柱高。將完全區組設計的3個二水平因素都擴大為三水平因素，并選取3種區組，在同樣的試驗條件下進一步做試驗。可見，需要選擇L9(34)的標準正交表進行試驗設計。如果是進行完全區組設計，每個區組都需要9個試驗，共需要27個試驗。如果進行不完全區組設計，由于把區組列入第4個因素中，只需要9個試驗。試驗優化設計講義85第二章干擾控制試驗設計2.3單向干擾控制區組設計(2)不完全區組設計

列號試驗號1

234111112122231333421235223162312731328321393321L9(34)區組列試驗優化設計講義86第二章干擾控制試驗設計區組試驗號Ⅰ1，5，9Ⅱ2，6，7Ⅲ3，4，8(2)不完全區組設計ⅠⅡⅢⅠⅡⅢ(1)1,5,92,6,73,4,81,5,92,6,73,4,8ⅠⅢⅡⅡⅢⅠ(2)5,1,93,4,82,6,77,6,28,4,39,1,5各區組試驗號試驗順序松軟堅硬試驗優化設計講義87第二章干擾控制試驗設計(2)不完全區組設計試驗結果分析：1)求試驗指標的總平均值2)計算區組列各區組對應的試驗指標平均值試驗優化設計講義88第二章干擾控制試驗設計(2)不完全區組設計試驗結果分析：3)計算各區組效應4)計算試驗指標矯正值試驗優化設計講義89

因素試驗號(1)Ah(mm)(2)B犁鏵(3)Ch+H(mm)(4)區組yi實測值（cm）yi’矯正值1(1)645(1)甲(1)1220(1)21.320.12(1)645(2)乙(2)1145(2)22.522.03(1)645(3)丙(3)1075(3)23.925.64(2)605(1)甲(2)1145(3)17.319.05(2)605(2)乙(3)1075(1)24.423.26(2)605(3)丙(1)1220(2)23.623.17(3)575(1)甲(3)1075(2)24.223.78(3)575(2)乙(1)1220(3)19.521.29(3)575(3)丙(2)1145(1)23.722.5yj167.759.864.469.4yj265.366.463.567.3yj364.471.269.560.7yj122.5719.9321.4723.13γⅠ=23.13-21.93=1.20yj221.7722.1321.1722.43γⅡ=22.43-21.93=0.50yj321.4722.7323.1720.23Rj2.9γⅢ=20.23-21.93=-1.70優水平A1B3C3主次因素

B,C,A試驗優化設計講義90第三章正交試驗設計的方差分析3.1極差分析

極差分析法直觀形象、簡單易懂。通過非常簡便的計算和判斷就可以求得試驗的優化成果——主次因素、優水平、優搭配及最優組合。它在試驗誤差不大、精度要求不高的場合，在篩選因素的初步試驗中，在尋求最優生產條件、最佳工藝、最好配方的科研生產實際中都能得到廣泛的應用。

極差分析法不能估計試驗誤差。它無法區分某因素各水平所對應的試驗平均值間的差異究竟有多少是由因素水平不同引起的，又有多少是由試驗誤差引起的。對于誤差較大或精度要求較高的試驗，若用極差法分析試驗結果而不考慮試驗誤差的影響，就會給精確分析帶來困難，影響獲得正確的結論。

極差法無法確定試驗的優化成果的可信度，也不能應用于回歸分析與回歸設計。試驗優化設計講義91第三章正交試驗設計的方差分析3.2方差分析的基本概念設隨機變量y的一組樣本數據為：定義樣本均值：設有一個隨機變量y，其方差定義為：定義樣本方差：其中：S為偏差平方和，f為S的自由度試驗優化設計講義92第三章正交試驗設計的方差分析3.2方差分析的基本概念

方差是某偏差的平方和的均值。它的大小反映了數據的離散程度，是衡量試驗條件穩定性的一個重要尺度。

如果我們能從條件因素和試驗因素的影響所形成的總的方差中，將屬于試驗誤差范疇的方差與試驗因素及其交互作用引起的方差分離開來，并將兩類方差在一定條件下進行比較，就可以了解每個試驗因素及試驗考察的交互作用對試驗指標的影響大小，從而為有針對性地控制各種試驗因素與進一步改善試驗條件指明方向。

根據Fisher偏差平方和和加和性原理，在偏差平方和分解的基礎上借助于F檢驗法，對影響總偏差平方和的各因素效應及其交互效應進行分析，這種分析方法就稱為方差分析。試驗優化設計講義93第三章正交試驗設計的方差分析3.2方差分析的基本概念將方差分析用于正交設計，主要解決如下問題：①估計試驗誤差并分析其影響；②判斷試驗因素及其交互作用的主次與顯著性；③給出所做結論的置信度；④確定最優組合和置信區間；⑤給出因素的貢獻率和試驗水平。正交設計方差分析的數據簡化方法：①將每個數據減（加）去同一個數a，偏差平方和S仍不變；②將每一個數據除（乘）以同一個不為零的數b，相應的偏差平方和S縮小（擴大）b2倍。試驗優化設計講義94第三章正交試驗設計的方差分析3.3正交設計方差分析基本理論

選用正交表La(bc)進行正交試驗，應用方差分析法處理其試驗結果時，主要方法歸納為：①計算偏差平方和及其自由度；②顯著性檢驗；③確定最優組合和置信區間。試驗優化設計講義95第三章正交試驗設計的方差分析3.3正交設計方差分析基本理論①計算偏差平方和及其自由度無重復試驗時，總偏差平方和S為：其中：試驗優化設計講義96第三章正交試驗設計的方差分析3.3正交設計方差分析基本理論①計算偏差平方和及其自由度無重復試驗時，列偏差平方和Sj：其中：當b=2時，列偏差平方和可簡化為：試驗優化設計講義97第三章正交試驗設計的方差分析3.3正交設計方差分析基本理論①計算偏差平方和及其自由度總偏差平方和的自由度等于正交表的試驗號減1：第j列偏差平方和的自由度等于該列水平數減1，此即該列安排的因素或相互作用的自由度：L4(23)L8(27)L12(211)L16(215)L9(34)L27(313)L16(45)a-1=(b-1)c試驗優化設計講義98第三章正交試驗設計的方差分析3.3正交設計方差分析基本理論①計算偏差平方和及其自由度總偏差平方和及其自由度還滿足下列關系式：試驗優化設計講義99第三章正交試驗設計的方差分析3.3正交設計方差分析基本理論

因素試驗號A(1)B(2)A×B(3)C(4)A×C(5)(6)D(7)yi(dB)yi-90(yi-90)211111111922421112222988643122112294416412222119774952121212944166212212193397221122186-416822121129111SASA×BS空SBSCSA×CSD①計算偏差平方和及其自由度試驗優化設計講義100第三章正交試驗設計的方差分析3.3正交設計方差分析基本理論②顯著性檢驗數理統計基礎知識：分布：設X1，X2，…，Xn是來自總體N(0,1)的樣本，則統計量服從自由度為n的分布。試驗優化設計講義101第三章正交試驗設計的方差分析3.3正交設計方差分析基本理論②顯著性檢驗【定理】設X1，X2，…，Xn是來自總體的樣本，S2為樣本方差，則有：試驗優化設計講義102第三章正交試驗設計的方差分析3.3正交設計方差分析基本理論②顯著性檢驗F分布：設，，且U、V獨立，則稱隨機變量：服從自由度為（n1,n2）的F分布，記為F~F(n1,n2)。試驗優化設計講義103第三章正交試驗設計的方差分析3.3正交設計方差分析基本理論②顯著性檢驗作原假設：為因素A相應水平下的效應。如果原假設成立，因素A對試驗指標無影響。SA只受試驗誤差的影響，SA/fA是總體方差的無偏估計。誤差的偏差平方和為Se，自由度為fe。可以證明：試驗優化設計講義104第三章正交試驗設計的方差分析3.3正交設計方差分析基本理論②顯著性檢驗選取顯著性水平，由F分布表查得臨界值如果，就可以拒絕接受原假設，并認為在顯著水平下，因素A的水平變動對試驗指標有顯著的影響，而作這一結論的置信度為1-，犯錯誤的幾率為。試驗優化設計講義105f1f2123456789102030∞f1f2139.149.553.655.857.258.258.959.459.960.261.762.363.3128.539.0099.339.359.379.389.399.449.469.49235.545.465.395.345.315.285.23344.544.354.013.983.953.943.923.843.823.76454.063.783.623.523.453.403.373.343.323.21563.783.463.253.018.982.962.942.842.802.72673.593.263.072.962.882.832.782.752.722.702.592.562.47783.463.112.922.812.732.672.622.592.562.542.422.382.29893.363.012.812.692.612.552.512.472.442.422.302.252.169103.292.922.732.612.522.462.412.382.352.3610113.232.862.662.542.452.392.342.302.281.9711123.172.812.612.482.392.332.292.062.011.9012133.142.762.562.432.352.262.142.011.961.8513143.102.732.522.392.361.911.8014153.072.702.492.362.222.092.061.921.871.7615163.052.672.462.332.092.062.031.891.841.7216173.032.642.442.302.062.032.001.861.811.6917183.012.622.422.282.042.001.981.841.781.6618192.992.612.402.262.021.981.961.811.671.6319202.972.592.392.042.001961.941.791.741.6120302.882.492.282.142.051.981.931.881.851.821.671.611.4630402.842.442.232.091.971.931.871.831.791.761.611.541.3840602.792.392.182.041.951.871.821.771.741.711.541.481.2960∞2.712.302.081.941.851.771.721.671.631.601.421.341.00∞F(f1,f2)表(α=0.10)試驗優化設計講義106第三章正交試驗設計的方差分析3.3正交設計方差分析基本理論②顯著性檢驗說明：a)正交表應該留有空列。無空列時，也可預先確定總體方差，并認為其自由度為無窮大進行顯著性檢驗。時可認為因素顯著。也可進行重復試驗以求得。試驗優化設計講義107第三章正交試驗設計的方差分析3.3正交設計方差分析基本理論②顯著性檢驗說明：b)試驗誤差的自由度fe一般不應該小于2。fe很小時，F檢驗的靈敏度很低。為了提高檢驗的靈敏度，可以將數值較小的Sj歸入Se；或者選用較大的正交表留出足夠的空列；或者進行重復試驗，以增大fe。試驗優化設計講義108第三章正交試驗設計的方差分析3.4正交設計方差分析實例【例3】考察拖拉機在不同擋位下某些部件對駕駛員耳旁噪聲的影響。擬定的試驗因素和水平如下，并要求考慮交互作用A×B和A×C的影響。試驗指標為耳旁噪聲，且指標值越小越好。

因素水平A擋位B駕駛室C輪胎D風扇1Ⅲ擋開式通用加寬改進型2Ⅱ擋閉式越野普通型因素水平表試驗優化設計講義109

因素試驗