Data,ModelandDecisions數據、模型與決策Session3LinearProgrammingFormulationandApplications線性規劃的建模與應用KeyCategoriesofLPProblems線性規劃問題主要類型資源分配問題（resource-allocation）

成本收益平衡問題（cost-benefit-trade-off）

網絡配送問題（distribution-network）

混合問題（mixedProblem）3.1資源分配問題資源分配問題是將有限的資源分配到各種活動（決策）中去的線性規劃問題。這一類問題的共性是在線性規劃模型中每一個函數約束均為資源約束,并且每一種資源都可以表現為如下的形式：使用的資源數量可用的資源數量對任何資源分配問題，有三種數據必須收集：（1）每種資源的可供量；（2）每一種活動所需要的各種資源的數量,對于每一種資源與活動的組合,單位活動所消耗的資源量必須首先估計出來；（3）每一種活動對總的績效測度（如總利潤）的單位貢獻（如單位利潤）。3.1資源分配問題例3.1某公司是商務房地產開發項目的主要投資商。目前，該公司有機會在三個建設項目中投資： 項目1：建造高層辦公樓； 項目2：建造賓館； 項目3：建造購物中心。每個項目都要求投資者在四個不同的時期投資：在當前預付定金，以及一年、二年、三年后分別追加投資。表3-1顯示了四個時期每個項目所需資金（百萬元）。投資者可以按一定的比例進行投資和獲得相應比例的收益。年份辦公樓項目賓館項目購物中心項目0（現在）408090160805029080203107060凈現值457050公司目前有2500萬元資金可供投資，預計一年后，又可獲得2000萬元，兩年后獲得另外的2000萬元，三年后還有1500萬元以供投資。那么，該公司要在每個項目中投資多少比例，才能使其投資組合獲得最大的總凈現值？3.1資源分配問題解：這是一個資源分配問題。(1)決策變量設：x1，x2，x3分別為在辦公樓項目、賓館項目、購物中心項目中的投資比例(2)目標函數本問題的目標是總凈現值最大3.1資源分配問題(3)約束條件本題的約束條件是公司在各期可獲得的資金限制（資源約束）。但要注意的是：前一期尚未使用的資金，可以在下一期使用（為了簡化問題，不考慮資金可獲得的利息）。因此，每一時點的資金限制就表現為累計的資金。表3-2顯示了累計的資金數據。年份辦公樓項目賓館項目購物中心項目可用資金0（現在）40809025110016014045219024016065320031022080凈現值4570503.1資源分配問題數學模型（線性規劃模型）3.1資源分配問題電子表格模型3.2成本收益平衡問題成本收益平衡問題與資源分配問題的形式完全不同，這種差異主要是因為兩種問題的管理目標不同而造成的。在資源分配問題中，各種資源是受限制的因素（包括財務資源），問題的目標是最有效地利用各種資源，使獲利最大。而對于成本收益平衡問題，管理層采取更為主動的姿態，他們指明哪些收益必須實現（不管如何使用資源），并且要以最低的成本實現所指明的收益。這樣，通過指明每種收益的最低可接受水平，以及實現這些收益的最小成本，管理層期望獲得成本和收益之間的適度平衡。因此，成本收益平衡問題是一類線性規劃問題，這類問題中，通過選擇各種活動水平的組合，從而以最小的成本來實現最低可接受的各種收益水平。3.2成本收益平衡問題成本收益平衡問題的共性是，所有的函數約束均為收益約束，并具有如下的形式：

完成的水平最低可接受的水平如果將收益的含義擴大，所有以“”表示的函數約束均為收益約束。成本收益平衡問題需要的三種數據：（1）每種收益的最低可接受水平（管理決策）；（2）每一種活動對每一種收益的貢獻（單位活動的貢獻）；（3）每種活動的單位成本。3.2成本收益平衡問題排班問題是成本收益平衡問題研究的最重要的應用領域之一。在這一領域中，管理層意識到在向顧客提供令人滿意的服務水平的同時必須進行成本控制，因此，必須尋找成本和收益之間的平衡。于是，研究如何規劃每個輪班人員才能以最小的成本提供令人滿意的服務。例3.2某航空公司正準備增加其中心機場的往來航班，因此需要雇傭更多的服務人員。不同時段有最少需要服務人員數，有5種排班方式，每8小時為一班。3.2成本收益平衡問題例3.2（續）5種排班方式排班1：6AM～2PM，即早上6點上班；排班2：8AM～4PM，即早上8點上班；排班3：中午～8PM，即中午12點上班；排班4：4PM～午夜，即下午4點上班；排班5：10PM～6M，即晚上10點上班。時段排班1排班2排班3排班4排班5最少需要人數6AM～8AM√488AM～10AM√√7910AM～中午√√65中午～2PM√√√872PM～4PM√√644PM～6PM√√736PM～8PM√√828PM～10PM√4310PM～午夜√√52午夜～6PM√15每人每天工資(元)1701601751801953.2成本收益平衡問題解:這是一個純成本收益平衡問題。（1）決策變量本問題的決策是不同排班的人數。設：xi為排班i的人數(i＝1,2,,5)（2）目標函數本問題的目標是人員總費用（工資）最少，即3.2成本收益平衡問題（3）約束條件

①每個時段的在崗人數必須不少于最低可接受水平（最少需要人數）②非負3.2成本收益平衡問題數學模型（線性規劃模型）3.2成本收益平衡問題電子表格模型3.3網絡配送問題通過配送網絡能以最小的成本完成貨物的配送，所以稱之為網絡配送問題。與確定資源和收益一樣，在網絡配送問題中，必須確定需求以及相應地確定需求的約束條件。確定需求約束的形式如下：提供的數量＝需求的數量3.3網絡配送問題例3.3某公司網絡配送問題。某公司在兩個工廠生產某種產品。現在收到三個顧客的下個月定單要購買這種產品。這些產品會被單獨運送，表3-4顯示了從每個工廠到每個顧客的運送一個產品的成本。該表同樣表明了每個顧客的訂貨量和每個工廠的生產量。現在公司的物流經理要決定從每個工廠運送多少個產品到每個顧客那里才能使總成本最小？

單位運輸成本（元/個）產量（個）顧客1顧客2顧客3工廠170090080012工廠280090070015訂貨量(個)108927(產銷平衡)3.3網絡配送問題解:由于“總產量（27）＝總訂貨量（27）”，所以本問題是一個平衡運輸問題。（1）決策變量本問題的決策為從每個工廠運送多少個產品到每個顧客那里。設：xi-j為從工廠i運輸到顧客j的產品數量（i＝F1,F2;j=C1,C2,C3)（2）目標函數本問題的目標是使得公司總運輸成本最低3.3網絡配送問題（3）約束條件①從工廠運送出去的產品數量等于其產量②顧客收到的產品數量等于其訂貨量③非負3.3網絡配送問題數學模型（線性規劃模型）3.3網絡配送問題電子表格模型3.4混合問題前面討論了線性規劃問題的三種類型：資源分配問題、成本收益平衡問題以及網絡配送問題。每一類問題都是以一類約束條件為特色的。實際上，純資源分配問題的共性是它所有的函數約束均為資源約束（≤）而成本收益平衡問題的共性是它所有的函數約束均為收益約束（）網絡配送問題中，主要的函數約束為一特定類型的確定需求約束（＝）3.4混合問題但許多線性規劃問題并不能直接歸入三類中的某一類，一些問題勉強可以歸入一類，因其主要的函數約束與表3-5的相應函數約束大致相同。另一些問題卻沒有一類占主導地位的函數約束，不能歸入前三類中的某一類。因此，混合問題是第四類線性規劃問題，這一類型將包括所有未歸入前述三類中的線性規劃問題。一些混合問題僅包含兩類函數約束，而更多的是包含三類函數約束。3.4混合問題表3-5各類函數約束類型形式*解釋主要用于資源約束LHSRHS對于特定的資源使用的數量

可獲得的數量資源分配問題混合問題收益約束LHSRHS對于特定的收益到達的水平

最低可接受水平成本收益平衡問題混合問題確定需求約束LHS=RHS對于一些數量提供的數量=需求的數量網絡配送問題混合問題*LHS=左式（一個SUMPRODUCT函數）RHS=右式（一般為常數）3.4混合問題配料問題。這類問題的一般提法是：由多種原料制成含有m種成分的產品，已知產品中所含各種成分的比例要求、各種原料的單位價格以及各原料所含成分的數量。考慮的問題是：應如何配料，可使產品的總成本最低。例3.4配料問題。某公司計劃要用Ａ、Ｂ、C三種原料混合調制出三種不同規格的產品甲、乙、丙，產品的規格要求和單價、原料的供應量和單價等數據如表3-6所示。問：該公司應如何安排生產，可使總利潤最大？3.4混合問題表3-6混合配料數據表ABC產品單價（元/千克）甲50%35%不限90乙40%45%不限85丙30%50%20%65原料供應量（千克）200150100原料單價（元/千克）6035303.4混合問題解：（1）決策變量本問題的難點在于給出的數據是非確定數值，而且各產品與原料的關系較為復雜。為了方便，設xij表示原料i（i=A，B，C）用于產品j（j=1為甲，j=2為乙，j=3為丙）的數量。（2）目標函數 本問題的目標是使總利潤最大總利潤＝產品收入－原料支出3.4混合問題（3）約束條件本題的約束條件：原料供應量限制3個、規格要求7個和決策變量非負。在例3.4中，有9個決策變量和10個函數約束條件，包括5個資源約束、2個收益約束和3個確定需求約束。3.4混合問題電子表格模型3.5線性規劃模型的應用前面按照函數約束的分類，介紹了四種線性規劃問題：資源分配問題（,資源約束）成本收益平衡問題（，收益約束）網絡配送問題（=，確定需求約束）混合問題（包含兩種或三種類型的約束函數）本節按照應用方面介紹線性規劃在生產計劃問題、資金管理問題、市場調查問題和混合配料問題等方面的應用3.5線性規劃模型的應用建立線性規劃模型的過程可以分為四個步驟：設立決策變量；用決策變量的線性函數表示目標，并確定是求最大（Max）還是最小（Min）；明確約束條件并用決策變量的線性等式或不等式表示；根據決策變量的物理性質研究變量是否有非負性。3.5線性規劃模型的應用生產計劃問題是企業生產過程中常常遇到的問題，其中最簡單的一種形式可以描述如下（資源分配問題）：用若干種原材料（資源）生產某幾種產品，原材料（或某種資源）供應量有一定的限制，要求制定一個產品生產計劃，使其在給定的資源限制條件下能得到最大收益。3.5線性規劃模型的應用例3.5某工廠生產甲、乙、丙三種產品，都要經過鑄造、機加工和裝配三個車間。甲、乙兩種產品的鑄件可以外包協作，也可以自行生產，但產品丙必須本廠鑄造才能保證質量。有關情況的數據如表3-9所示。問：公司為了獲得最大利潤，甲、乙、丙三種產品各生產多少件？甲、乙兩種產品的鑄件由本公司鑄造和由外包協作各應多少件？3.5線性規劃模型的應用表3-9自行生產或外包的有關數據產品甲產品乙產品丙工時限制單件鑄造工時（小時）51078000單件機加工工時（小時）64812000單件裝配工時（小時）32210000自產鑄件成本（元/件）354外協鑄件成本（元/件）56－機加工成本（元/件）213裝配成本（元/件）322產品售價（元/件）2318163.5線性規劃模型的應用解：（1）決策變量此問題的難度是由于產品甲和乙的鑄件既可以外包協作，也可以自行生產，從而使問題復雜化。如果只設甲、乙、丙產品的產量分別為x1、x2、x3，則由于產品甲和乙的鑄件來源不同造成單位利潤不同，因此目標函數中x1和x2的系數不是常數，目標函數成為非線性函數，但是如果把它們區分開來，另設兩個變量，則可以較容易地建立問題的線性規劃模型。設x1、x2、x3分別為三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三種產品的件數；x4、x5分別為由外協鑄造再由本公司機加工和裝配的甲、乙兩種產品的件數。3.5線性規劃模型的應用（2）目標函數本問題的目標是使得公司獲得的總利潤最大。為了建立目標函數，首先計算各決策變量的單位利潤：單位利潤＝售價-成本（鑄造、機加工、裝配）3.5線性規劃模型的應用（3）約束條件（3個資源約束、非負約束） ①鑄造工時限制 ②機加工工時限制 ③裝配工時限制 ④非負3.5線性規劃模型的應用數學模型（線性規劃模型）3.5線性規劃模型的應用電子表格模型3.5線性規劃模型的應用例3.7某公司根據訂單進行生產。已知半年內對某產品的需求量、單位生產費用和單位存儲費用,還已知公司每月的生產能力為100，每月倉庫容量為50。問：如何確定產品未