一、協方差與相關系數的概念及性質二、相關系數的意義三、協方差矩陣第3.3節協方差及相關系數四、小結1.問題的提出一、協方差與相關系數的概念及性質

協方差2.定義3.73.說明4.協方差的計算公式證明cov(X,Y)=E(XY)－E(X)E(Y)例:設隨機向量(X,Y)的概率分布為012P0.80.10.101200.10.20.210.30.10.1求DX,DY.012P0.40.30.3Y01P0.50.5

D(X)=E(X2)－[E(X)]2

例:設隨機向量(X,Y)的概率分布為01200.10.20.210.30.10.1求cov(X,Y),ρ.012P0.80.10.1DX=0.69DY=0.255.協方差的性質

相關系數的性質：證:由方差的性質和協方差的定義知,對任意實數b,有0≤D(Y-bX)=b2D(X)+D(Y)-2b

Cov(X,Y)令，則上式為

D(Y-bX)=

由于方差D(Y)是正的,故必有1-≥0,所以||≤1。2.X和Y獨立時，

=0，但其逆不真.由于當X和Y獨立時，Cov(X,Y)=0.故=0但由并不一定能推出X和Y獨立.請看下例.，Cov(X,Y)=0，事實上，X的密度函數例2

設X服從(-1/2,1/2)內的均勻分布,而Y=cosX,不難求得存在常數a,b(b≠0），使P{Y=a+bX}=1，即X和Y以概率1線性相關.因而=0，即X和Y不相關.但Y與X有嚴格的函數關系，即X和Y不獨立.相關系數刻劃了X和Y間“線性相關”的程度.但對下述情形，獨立與不相關等價若(X,Y)服從二維正態分布，則X與Y獨立X與Y不相關前面，我們已經看到：若X與Y獨立，則X與Y不相關，但由X與Y不相關，不一定能推出X與Y獨立.如下例所示例設(X,Y)服從二維正態分布，它的概率密度為我們來求X和Y

的相關系數.已經知道（X,Y）的邊緣概率密度為解例三、課堂練習1、2、1、解2、解三、協方差矩陣協方差矩陣的應用推廣四、小結協方差與相關系數的定義協方差的性質相關系數的意義

概率論與數理統計是研究隨機現象統計規律性的學科.隨機現象的規律性只有在相同的條件下進行大量重復試驗時才會呈現出來.也就是說，要從隨機現象中去尋求必然的法則，應該研究大量隨機現象.

研究大量的隨機現象，常常采用極限形式，由此導致對極限定理進行研究.極限定理的內容很廣泛，其中最重要的有兩種:

與大數定律中心極限定理

四、中心極限定理

在實際問題中，常常需要考慮許多隨機因素所產生總影響.例如：炮彈射擊的落點與目標的偏差，就受著許多隨機因素的影響.空氣阻力所產生的誤差，重要的是這些隨機因素的總影響.如瞄準時的誤差，炮彈或炮身結構所引起的誤差等等.

觀察表明，如果一個量是由大量相互獨立的隨機因素的影響所造成，而每一個別因素在總影響中所起的作用不大.則這種量一般都服從或近似服從正態分布.

自從高斯指出測量誤差服從正態分布之后，人們發現，正態分布在自然界中極為常見.

研究獨立隨機變量之和所特有的規律性問題.

當n無限增大時，這個和的極限分布是什么呢？在什么條件下極限分布會是正態分布？

在概率論中，把和的分布收斂于正態分布這一類定理都叫做中心極限定理.1432

隨著n的增加,pn(y)的圖形越來越光滑,越來越接近正態曲線.X01pk1－pp定理(棣莫佛－拉普拉斯定理）

該定理是概率論歷史上的第一個中心極限定理，針對的是二項分布，因此稱為‘二項分布的正態近似’.與第四章介紹的‘二項分布的泊松近似’相比，一般p較小時用泊松近似，在np>5,n(1－p）>5時，用正態近似.定理（獨立同分布下的中心極限定理）

它表明，當n充分大時，n個獨立同分布的隨機變量之和近似服從正態分布.設X1,X2,…是獨立同分布的隨機變量序列，且E(Xi)=，D(Xi)=，