中國古代數學的發展史張新強中國古代數學的發展史中國是世界文明古國之一。數學是中國古代科學中一門重要學科，其發展源遠流長，成就輝煌。古代數學發展的階段：(1)春秋前中國數學的萌芽(2)戰國至兩漢中國數學框架的確立(3)魏晉至唐初中國數學理論體系的建立(4)唐中葉至宋元中國數學的高潮(5)明清數學——從衰落到艱難的復興春秋前中國數學的萌芽：我們的先民在從野蠻走向文明的漫長歷程中，逐漸認識了數與形的概念。出土的新石器時期的陶器大多為圓形或其他規則形狀，陶器上有各種幾何圖案，通常還有三個著地點，都是幾何知識的萌芽。先秦典籍中有“隸首作數”、“結繩記事”、“刻木記事”的記載，說明人們從辨別事物的多寡中逐漸認識了數，并創造了記數的符號。殷商甲骨文(公元前14—前11世紀)中已有13個記數單字，最大的數是“三萬”，最小的是“一”。古代數學發展的階段：一、十、百、千、萬，各有專名。其中已經蘊含有十進位置值制萌芽。傳說伏羲創造了畫圓的“規”、畫方的“矩”，也傳說黃帝臣子倕是“規矩”和“準繩”的創始人。早在大禹治水時，禹便“左準繩”

，“右規矩”

。因此，我們可以說，“規”、“矩”、“準”、“繩”是我們祖先最早使用的數學工具。人們丈量土地面積，測算山高谷深，計算產量多少，粟米交換，制定歷法，都需要數學知識。古代數學發展的階段：春秋時期，隨著鐵器的出現，生產力的提高，中國開始了由奴隸制向封建制的過渡。新的生產關系促進了科學技術的發展與進步。此時王權衰微，疇人四散，私學開始出現。最晚在春秋末年人們已經掌握了完備的十進位置值制記數法，普遍使用了算籌這種先進的計算工具。人們已諳熟九九乘法表、整數四則運算，并使用了分數。戰國至兩漢中國數學框架的確立：

戰國時期，各諸侯國相繼完成了向封建制度的過渡。思想界、學術界諸子林立，百家爭鳴，異常活躍，為數學和科學技術的發展創造了良好的條件。盡管沒有一部先秦的數學著作留傳到后世，但是，人們通過田地及國土面積的測量，粟米的交換，收獲及戰利品的分配，城池的修建，水利工程的設計，賦稅的合理負擔，產量的計算，以及測高望遠等生產生活實踐，積累了大量的數學知識。戰國至兩漢中國數學框架的確立：

據東漢初鄭眾記載，當時的數學知識分成了方田、粟米、差分、少廣、商功、均輸、方程、贏不足、旁要九個部分，稱為“九數”。九數確立了《九章算術》的基本框架。秦始皇結束了列國紛爭，首次建立了中央集權的封建帝國，本應有利于數學的發展。但他的專制政策窒息了百家爭鳴的學術空氣。秦朝的殘暴統治，尤其是焚書坑儒，給中國文化事業造成空前的浩劫。戰國至兩漢中國數學框架的確立：不久，劉邦利用推翻暴秦的農民起義，統一了中國，建立了漢朝，史稱西漢。西漢政府與民生息，社會生產力得到恢復、發展，給數學和科學技術的發展帶來新的活力，人們提出了若干算術難題，并創造了解勾股形、重差等新的數學方法。同時，人們注重先秦文化典籍的收集、整理。作為數學新發展及先秦典籍的搶救工作的結晶，便是《九章算術》的成書。《九章算術》(省稱《九章》)是中國最重要的數學經典，它之于中國和東方數學，大體相當于《幾何原本》之于希臘和歐洲數學。戰國至兩漢中國數學框架的確立：

《九章》集先秦到西漢數學知識之大成。據東漢末大學者鄭玄(公元127—200年)引東漢初鄭眾說，西漢在先秦九數基礎上又發展出勾股、重差兩類數學方法。魏劉徽說：《九章》是由九數發展而來的，由于秦朝焚書而散壞。西漢張蒼、耿壽昌(公元前1世紀)收集秦火遺殘，加以整理刪補，便成為《九章算術》。戰國至兩漢中國數學框架的確立：方田章提出了完整的分數運算法則，各種多邊形、圓、弓形等的面積公式;粟米章提出了比例算法;崔分章提出了比例分配法則;少廣章給出了完整的開平方、開立方程序;商功章討論各種立體體積公式及工程分配方法;均輸章解決賦役中的合理負擔，也是比例分配問題，還有若干結合西漢社會實際的算術雜題;盈不足章解決盈虧問題及可以用盈不足術解決的一般算術問題;方程章是線性方程組解法，并給出了正負數加減法則;勾股章由旁要發展而成，提出了勾股定理、解勾股形及若干測望問題的方法。魏晉至唐初中國數學理論體系的建立：

《九章算術》之后，中國的數學著述基本上采取兩種方式：一是為《九章算術》作注;二是以《九章算術》為楷模編纂新的著作。經過兩漢社會經濟和科學技術的大發展，到魏晉，中國封建社會進入一個新的階段，莊園農奴制和門閥士族占據了經濟政治舞臺的中心。思想文化領域中，儒家的統治地位被削弱，讖緯迷信和繁瑣的經學退出歷史舞臺，代之以談三玄——《周易》、《老子》、《莊子》為主的辯難之風。學者們通過析理，探討思維規律，思想界出現了戰國的百家爭鳴以來所未有過的生動局面。魏晉至唐初中國數學理論體系的建立：與此相適應，數學家重視理論研究，力圖把自先秦到兩漢積累起來的數學知識建立在必然的可靠的基礎之上。劉徽和他的《九章算術注》便是這個時代造就的最偉大的數學家和最杰出的數學著作。

大約與劉徽同時或稍前，有趙爽的《周髀算經注》，其可觀者為“勾股圓方圖”，用600余字概括了兩漢以來勾股算術的成果。魏晉至唐初中國數學理論體系的建立：劉徽《九章算術注》作于魏景元四年(公元263年)，原十卷。前九卷全面論證了《九章》的公式、解法，發展了出入相補原理、截面積原理、齊同原理和率的概念，在圓面積公式和錐體體積公式的證明中引入了無窮小分割和極限思想，首創了求圓周率的正確方法，指出并糾正了《九章》的某些不精確的或錯誤的公式，探索出解決球體積的正確途徑，創造了解線性方程組的互乘相消法與方程新術，用十進分數逼近無理根的近似值等，使用了大量類比、歸納推理及演繹推理，并且以后者為主。魏晉至唐初中國數學理論體系的建立：

《孫子算經》三卷，常被誤認為春秋軍事家孫武所著，實際上是公元400年前后的作品。這是一部數學入門讀物，給出了籌算記數制度及乘除法則等預備知識，其河上蕩杯、雞兔同籠等問題后來在民間廣泛流傳，“物不知數”題則開一次同余式解法之先河。張丘建(今山東人，生平不詳)著的《張丘建算經》三卷，成書于北魏(5世紀下半葉)。此書補充了等差級數的若干公式，其百雞問題是著名的不定方程問題，后世十分重視。魏晉至唐初中國數學理論體系的建立：

《綴術》包含了祖沖之(公元429—500年)和兒子祖

更之的數學貢獻。由于其內容深奧，隋唐算學館學官(相當于今天大學數學系教授)讀不懂，遂失傳。據認為，將圓周率精確到八位有效數字、球體積的解決及含有負系數的二次、三次方程皆是其中的內容。祖沖之，字文遠，祖籍范陽逎人。劉宋大明六年(公元462年)造大明歷，使用歲差，改革閏制。魏晉至唐初中國數學理論體系的建立：

他的改革遭到守舊派官僚戴法興的反對，祖沖之不畏權勢，據理駁斥，堅持了反對讖緯迷信，不虛推古人，實事求是的科學精神。他對機械深有研究，制造過水碓、水磨、指南車、千里船、漏壺等，并著《安邊論》、《述異記》等。祖暅之，字景爍。從小愛好數學，巧思入神，極其精微。專心致志之時，雷霆不能入。有一次走路時思考問題，仆射徐勉迎面而來竟然沒有發現，頭撞到徐勉身上，徐勉喚他，他才知道撞了人。其父的《大明歷》經他的努力在梁朝頒行。魏晉至唐初中國數學理論體系的建立：隋唐是中國封建社會經濟政治文化的鼎盛時期，然而數學上除天文歷法研究中劉焯(公元544—610年)創造等間距內插公式(7世紀初)和僧一行(公元683—727年)創造不等間距內插公式(8世紀)外，幾無創造，數學成就及理論水平遠遠低于魏晉南北朝。唐初王孝通(生卒不詳)撰《緝古算經》一卷，解決了若干復雜的土方工程及勾股問題，且都用三次或四次方程解決，是為現存記載三次、四次方程的最早著作。然而，《緝古算經》未必是高于《綴術》的著作。魏晉至唐初中國數學理論體系的建立：

王孝通是歷算博士，曾任太史丞，在天文歷法方面是保守的。他在《上〈緝古算經〉表》中指責《綴術》全錯不通，于理未盡，大約他與當時別的數學家一樣讀不懂《綴術》。他自詡他的《緝古算經》千金不能排其一字，他一旦瞑目，其方法后人莫曉。科學家不必作謙謙君子，但如此狂妄，也是不足取的。魏晉至唐初中國數學理論體系的建立：

隋唐統治者在國子監設算學館，置算學博士、助教指導學生學習。唐李淳風等奉敕于顯慶元年(公元656年)為《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》、《孫子算經》、《夏侯陽算經》、《綴術》、《張丘建算經》、《五曹算經》、《五經算術》、《緝古算經》等十部算經作注，作為算學館教材，這就是著名的《算經十書》，該書是中國古代數學奠基時期的總結。李淳風等注釋保存了許多寶貴資料，但注釋水平并不高。由于種種原因，算學館實際未培養出像樣的數學家。唐中葉至宋元中國數學的高潮：

宋元數學家賈憲、李冶、楊輝、朱世杰的著作，大都在成書后不久即刊刻。數學著作借助印刷術得以空前廣泛的流傳，對傳播普及數學知識，其意義尤為深遠。宋元數學高潮早在唐中葉已見端倪。隨著商業貿易的蓬勃發展，人們改進籌算乘除法，新、舊《唐書》記載了大量這類書籍，可惜絕大多數失傳，只有韓延《算術》以《夏侯陽算經》的名義流傳下來，該書提出了若干化乘除為加減的捷算法，并在運算中使用了十進小數，極可寶貴。唐中葉至宋元中國數學的高潮：

11世紀上半葉賈憲撰《黃帝九章算經細草》，是為北宋最重要的數學著作。賈憲曾任左班殿直，是當時著名天文學家、數學家楚衍的學生。還著有《算法??古集》二卷，已佚。他將《九章算術》未離開題設具體對象甚至數值的術文大都抽象成一般性術文，提高了《九章算術》的理論水平;他對某些類型的數學問題進行概括，比如提出開方作法本源即賈憲三角，作為他提出的立成釋鎖(即開方)法的算表，這是開方問題的綱;他提出了若干新的重要方法，其中最突出的是創造增乘開方法，并提出了開四次方的程序。賈憲的思想與方法對宋元數學影響極大，是宋元數學的主要推動者之一。唐中葉至宋元中國數學的高潮：大科學家沈括(公元1031—1095年)對數學有獨到的貢獻。在《夢溪筆談》中首創隙積術，開高階等差級數求和問題之先河，又提出會圓術，首次提出求弓形弧長的近似公式。12世紀北宋劉益撰《議古根源》，亦失傳。楊輝《田畝比類乘除捷法》引用了它的若干題目與方法。《綴術》失傳之后，開方式的系數仍皆為正數，劉益突破了這個限制，首先引入負系數方程，并創造了益積開方術與減從開方術求其正根，楊輝譽之為“實冠前古”。唐中葉至宋元中國數學的高潮：

1127年金朝入主中原，趙宋南遷，史稱南宋。1234年，蒙古貴族滅金，后來建立元朝。1279年元滅南宋，統一全國。13世紀中葉至14世紀初，是宋元數學高潮的集中體現，也是中國歷史上留下重要數學著作最多的半個世紀，并形成了南宋統治下的長江中下游與金元統治下的太行山兩側兩個數學中心。南方中心以秦九韶、楊輝為代表，以高次方程數值解法、同余式解法及改進乘除捷算法的研究為主。北方中心則以李冶為代表，以列高次方程的天元術及其解法為主。元統一中國后的朱世杰，則集南北兩個數學中心之大成，達到了中國籌算的最高水平。唐中葉至宋元中國數學的高潮：1247年秦九韶撰成《數書九章》18卷。秦九韶，字道古，自稱魯郡(今山東省)人，約1202年生于普州安岳縣(今四川省)。他生活在宋元激烈斗爭的南宋末年，并卷入了南宋統治集團戰和兩派的斗爭，支持抗戰派吳潛，屢遭劉克莊等人彈劾。賈似道專權后被貶到梅州(今廣東省)，不久(約公元1261年)死于任所，并在死后被追隨賈似道的周密丑詆不堪。他天資聰明好學，對數學、天文、土木建筑、詩詞、音律、弓馬等都十分精通。他多次呼吁統治者施仁政，并把數學知識看成開源截流、施仁政、利國利民的有力工具。唐中葉至宋元中國數學的高潮：

《數書九章》分大衍、天時、田域、測望、賦役、錢谷、營建、軍旅、市易九類81題，其成就之大，題設之復雜都超過以往算經，有的問題有88個條件，有的答案多達180條，軍事問題之多也是空前的，反映了秦氏對抗元戰爭的關注。大衍總數術系統解決了一次同余式組解法;正負開方術把以增乘開方法為主導的求高次方程正根的方法發展到十分完備的程度，有的方程高達十次;線性方程組解法完全以互乘相消法取代直除法;提出了與海倫公式等價的三斜求積公式;使用了完整的十進小數表示法，等等，都是其杰出成就。唐中葉至宋元中國數學的高潮：

1262年又撰《日用算法》，著重于改進乘除捷算法，只有少量題目保存下來。1274年撰《乘除通變本末》三卷。卷上的“習算綱目”是一個從啟蒙到《九章》主要方法的數學教學計劃。本書還總結了九歸等乘除捷算法及其口訣。次年編纂《田畝比類乘除捷法》二卷，引用了劉益的方法與題目，批評了《五曹算經》四不等田求法的錯誤。同年，編纂《續古摘奇算法》二卷，對縱橫圖即幻方研究頗有貢獻。后三部書又常合稱為《楊輝算法》。唐中葉至宋元中國數學的高潮：楊輝共撰五部數學著作，傳世的有四部，居元以前數學家之冠。楊輝，字謙光，錢塘(今杭州市)人，生平不詳，只知在今江浙一帶管錢糧，為政清廉。與其他大家比較，他的著作偏重于教育與普及。1261年，楊輝在劉徽注、李淳風等注釋、賈憲細草的《九章算術》基礎上作解題、比類，并補充了圖、乘除、纂類三卷，是為《詳解九章算法》，今圖、乘除、方田、粟米、衰分上半部、商功之一部分已佚。商功章的比類中的垛積術發展了沈括的隙積術;“纂類”則打破了《九章算術》的分類格局，按方法分成乘除、互換、合率、分率、衰分、疊積、盈不足、方程、勾股九類。唐中葉至宋元中國數學的高潮：十二、十三世紀，北方出現了許多天元術著作，大都失傳，流傳至今的最早的以天元術為主要方法的著作是李冶的《測圓海鏡》12卷(公元1248年)、《益古演段》三卷(公元1259年)。李冶(公元1192—1279年)，字仁卿，號敬齋，真定欒城(今河北省)人，生于大興(今北京市)。其父為官清廉正直，李冶自幼受到良好的教養，且愛好數學，青年時便成為名重中原的學者，金詞賦科進士。入元，遂隱居于忻、郭一帶，在極為艱苦的條件下研究數學及各種學問。1251年起，主持封龍書院(今河北省)。唐中葉至宋元中國數學的高潮：

1257、1260年兩次受到元主忽必烈召見，發表了立法度，正綱紀，進君子，退小人，減刑罰，止征戰，反對種族偏見的政治主張。他被聘為翰林學士。然而他羞于作唯天子、宰相之命是聽的御用文人，不久便以老病為辭回到封龍山。他一生文史著述頗多，僅存《敬齋古今黈》。《測圓海鏡》在洞淵九容基礎上考慮了勾股形與圓的10種基本關系，在卷二一十二中就15個勾股形與圓的關系提出了170個求圓徑長的問題，答案當然都相同。這些問題大都要用天元術列出方程。卷一是全書的理論基礎，包括圓城圖式、識別雜記等部分。唐中葉至宋元中國數學的高潮：朱世杰有兩部重要著作《算學啟蒙、《四元玉鑒傳世。朱世杰，字漢卿，號松庭，燕山人。他在13世紀末以數學名家周游全國20余年，向他學習數學的人很多。《算學啟蒙》20門，259問，包括了從乘除及其捷算法到增乘開方法、天元術等當時數學各方面的內容，形成了一個較完整的體系。《四元玉鑒》，卷首給出古法七乘方圖(改進了的賈憲三角)等四種五幅圖，以及天元術、二元術、三元術、四元術的解法范例。創造四元消法，解決了多元高次方程組問題，以及高階等差級數求和問題，高次招差法問題，是本書最大的貢獻。此書是中國古代水平最高的數學著作。唐中葉至宋元中國數學的高潮：

楊輝、朱世杰等人對籌算乘除捷算法的改進、總結，導致了珠算盤與珠算術的產生(大約在元中葉)，完成了我國計算工具和計算技術的改革。元中后期，又出現了《丁巨算法》、賈亨《算法全能集》、何平子《詳明算法》等改進乘除捷算法的著作。明清數學：

元中葉之后，中國數學急劇衰落，元末的幾部著作只是對乘除捷算法有所改進。明永樂年間(公元1403—1425年)修《永樂大典》，將前此的中國數學著作按起源、各種數學方法及音義、纂類等分類抄錄。漢唐宋元數學著作在明代大都散佚，清中葉修《四庫全書》，中國古算書多賴此重新面世。明清數學：

明代八股取士，思想禁錮嚴重，學者們很少留心數學。顧應祥、唐順之是明代數學大家，全然不懂天元術和增乘開方法。景泰元年(公元1450年)吳敬撰《九章算法比類大全》十卷，收集歷代應用題，亦拋棄了增乘開方法和天元術。元明之后，隨著籌算捷算法的完備，珠算術產生并得到普及，明朝出現了一批有關珠算的著作。其最著者為程大位的《算法統宗》(公元1592年)此書適應商業發展的需要，以珠算為主要計算工具，并載有珠算開方法。此書在以后二、三百年問被多次翻刻、改編，流傳之廣是罕見的。明清數學：

16世紀末，利瑪竇等歐洲傳教士來華，與徐光啟等一起翻譯《幾何原本》等著作。后來，傳教士們又引入了三角學、對數等西方初等數學，從此，中國數學開始了中西會通的階段。清朝260余年，留下數學著作極多，都在不同程度上融會中西數學。清宣城梅文鼎潛心于中西數學研究，著述甚多，其孫梅瑴成將他的著作編輯成《梅氏叢書輯要》60卷，其中數學著作13種40卷，內容遍及當時中國數學的各個門類，對清朝數學影響極大。明清數學：康熙皇帝愛好數學，他御定由梅瑴成、何國宗、明安圖、陳厚耀等編纂的《數理精蘊》53卷，全面系統地介紹了當時傳入的西方數學知識。上編立綱明體，為數理本源、幾何原本、算術原本等五卷;下編分條致用，為實用數學和借根方比例，以及對數、三角函數等，同樣對清朝數學產生了巨大影響。此書于雍正元年(公元1723年)印行。1723年，雍正帝即位，認為傳教士不利于自己的統治，除少數供職于欽天監者外，將傳教士悉數趕到澳門。此后，西學的傳入遂告一段落，中國數學家一方面消化前此傳入的數學知識，一方面忙于整理中國古典數學著作。明清數學：

18世紀初，法人杜德美傳入牛頓、格雷果里創造的三個三角函數的級數展開式。后來，三角函數和對數函數展開式的研究成為中國數學家的重要課題。明安圖、董祐誠、項名達、戴煦等都作出了杰出貢獻。李善蘭的《方圓闡幽》、《弧矢啟秘》、《對數探源在三角函數與對數函數的研究上取得了更大的成就。他創造的尖錐術提出了幾個相當于定積分的公式，在接觸西方微積分思想之前獨立地接近了微積分學。李善蘭，字壬叔，號秋紉，浙江海寧人。幼年即嗜好數學，30余歲即獲創造性成果。明清數學：

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