第二章單度線性系統(tǒng)自由振動(dòng)§2-1無阻尼自由振動(dòng)1力學(xué)與數(shù)學(xué)模型kmx(t)1力學(xué)與數(shù)學(xué)模型復(fù)擺1力學(xué)與數(shù)學(xué)模型EI從《材料力學(xué)》知，簡(jiǎn)支梁跨中受到力P作用時(shí)，跨中撓度為：1力學(xué)與數(shù)學(xué)模型T質(zhì)量m：滑輪：廣義數(shù)學(xué)模型為：式中：Ｍ──廣義質(zhì)量Ｋ──廣義剛度Ｘ──廣義位移2微分方程的解──以廣義數(shù)學(xué)模型說明或稱為固有頻率或圓頻率積分常數(shù)C和α由初始條件確定：3自由振動(dòng)的特征量（1）固有頻率ωn，周頻率f，周期T（2）振幅（3）周期性:x(t＋T)＝x(t)（4）

初相位α其中固有頻率ωn的求解最重要4求固有頻率ωn的幾種常用方法（1）建立運(yùn)動(dòng)微分方程（2）利用串并聯(lián)關(guān)系求合成剛度（a）并聯(lián)（b）串聯(lián)（c）并聯(lián)并聯(lián)：位移相等串聯(lián)：力相等X1與X2為彈簧變形4求固有頻率ωn的幾種常用方法（3）對(duì)于垂直振動(dòng)系統(tǒng)，有（4）能量法其中（1）與（4）用得最多（5）能量折算法求彈簧等效質(zhì)量例已知：m，R和k，純滾動(dòng)。求：固有頻率ωn解：動(dòng)能定理兩邊求導(dǎo)：例已知：均質(zhì)滑輪，M，m，r和k，繩索不可伸長(zhǎng)，且與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng)。求系統(tǒng)固有頻率ωn解：系統(tǒng)動(dòng)能：

系統(tǒng)勢(shì)能：

由

例已知：無重直角曲桿，m，k1，k2，a，b。求ωnO《直角曲桿》解：《物塊m》O例已知：無重直角曲桿，m，k1，k2，a，b。求ωnO《直角曲桿》解：《物塊m》實(shí)際系統(tǒng)，振動(dòng)不會(huì)永遠(yuǎn)下去，振幅會(huì)逐漸衰減，直至振動(dòng)停止，表明有阻力，設(shè)阻力與速度的一次方成正比，即§2-2有阻尼自由振動(dòng)1阻尼mC為阻尼系數(shù)，力學(xué)模型如圖。2

運(yùn)動(dòng)微分方程及其解(1)

大阻尼及臨界阻尼情況2

幾種情況這時(shí)系統(tǒng)不發(fā)生振動(dòng)，這里不作討論。2

幾種情況C、D或A、α由初始條件確定。(2)

小阻尼情況即衰減振動(dòng)周期Td大于無阻尼時(shí)的振動(dòng)周期Tn。表明有阻尼時(shí)頻率下降。一般，由于ζ<<１，故有阻尼對(duì)系統(tǒng)的周期和固有頻率影響不大，但對(duì)振幅的影響卻很大。如：ζ＝0.02時(shí)

即頻率下降了0.02％，而振幅一個(gè)周期后下降了12％，10個(gè)周期后則下降到原來的28.45％。

當(dāng)ζ＝0.05時(shí)，頻率僅下降0.