2022年上海開元中學高三數學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.等差數列{an}中，公差d≠0，若lga1，lga2，lga4也成等差數列，a5=10，則{an}的前5項和S5=（）A．40 B．35 C．30 D．25參考答案：C【考點】數列的求和；等差數列的通項公式．【專題】方程思想；轉化思想；函數的性質及應用；等差數列與等比數列．【分析】由lga1，lga2，lga4也成等差數列，可得2lga2=lga1+lga4，因此=a1a4，又a5=10=a1+4d，聯立可得a1，d，z再利用求和公式即可得出．【解答】解：∵lga1，lga2，lga4也成等差數列，∴2lga2=lga1+lga4，∴=a1a4，即=a1（a1+3d），d≠0，∴d=a1．又a5=10=a1+4d，聯立解得a1=d=2．則{an}的前5項和S5=×2=30，故選：C．【點評】本題考查了等差數列的通項公式與求和公式、對數的運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．2.,,則時的值是(

)A.

B.或

C.或

D.或參考答案：D略3.已知，則（

）A、

B、

C、

D、參考答案：A略4.閱讀如圖所示的程序框圖，則輸出的S=（）A．45 B．35 C．21 D．15參考答案：D【考點】循環結構．【專題】圖表型．【分析】根據所給s、i的值先執行T=2i﹣1，s=s×T，i=i+1，然后判斷i與4的關系，滿足條件算法結束，不滿足條件繼續執行循環體，從而到結論．【解答】解：因為s=1，i=1，執行T=2×1﹣1=1，s=1×1=1，i=1+1=2；判斷2＜4，執行T=2×2﹣1=3，s=1×3=3，i=2+1=3；判斷3＜4，執行T=2×3﹣1=5，s=3×5=15，i=3+1=4；此時4≥4，滿足條件，輸出s的值為15．故選D．【點評】本題考查了循環結構中的直到型循環，直到型循環是先執行后判斷，不滿足條件進入循環，滿足條件算法結束．5.從等腰直角的斜邊上任取一點，則為銳角三角形的概率是A．

B．

C．

D．參考答案：B略6.設是兩條不同的直線，是三個不同的平面，下列命題正確的是（

）A．B．C．D．參考答案：D根據線面垂直的性質可知選項D正確。7.下列命題中正確命題的個數是（1）對于命題p：?x∈R，使得x2+x+1＜0，則￢p：?x∈R，均有x2+x+1＞0；（2）命題“已知x，y∈R，若x+y≠3，則x≠2或y≠1”是真命題（3）回歸直線的斜率的估計值為1.23，樣本點的中心為（4，5），則回歸直線方程為=1.23x+0.08（4）m=3是直線（m+3）x+my﹣2=0與直線mx﹣6y+5=0互相垂直的充要條件；（5）若a，b∈[0，1]，則不等式a2+b2＜成立的概率是；（）A．4 B．3 C．2 D．1參考答案：C【考點】命題的真假判斷與應用．【專題】綜合題；轉化思想；數學模型法；簡易邏輯．【分析】寫出命題的否定判斷（1）；寫出原命題的逆否命題并判斷真假判斷（2）；直接求出回歸直線方程判斷（3）；利用充分必要條件的判定方法判斷（4）；求出幾何概型的概率判斷（5）．【解答】解：（1）對于命題p：?x∈R，使得x2+x+1＜0，則￢p：?x∈R，均有x2+x+1≥0，故（1）錯誤；（2）命題“已知x，y∈R，若x+y≠3，則x≠2或y≠1”的逆否命題是：“已知x，y∈R，若x=2且y=1，則x+y=3”是真命題，∴原命題是真命題，故（2）正確；（3）∵回歸直線方程一定過樣本中心點，且回歸直線的斜率的估計值為1.23，∴5=+1.23×4，解得=0.08，∴這組數據對應的線性回歸方程是=1.23x+0.08，故（3）正確；（4）由m（m+3）﹣6m=0，解得m=0或m=3，∴m=3是直線（m+3）x+my﹣2=0與直線mx﹣6y+5=0互相垂直的充分不必要條件，故（4）錯誤；（5）如圖，a，b∈[0，1]，則不等式a2+b2＜成立的概率是，故（5）錯誤．∴正確命題的個數是2個．故選：C．【點評】本題考查命題的真假判斷與應用，考查命題的否定和逆否命題，考查了線性回歸方程的求法，訓練了幾何概型概率的求法，是中檔題．8.如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A．1 B． C． D．參考答案：B【考點】L!：由三視圖求面積、體積．【分析】由三視圖知幾何體是一個四棱錐，四棱錐的底面是一個平行四邊形，結合三視圖的數據，利用體積公式得到結果．【解答】解：由三視圖知幾何體是一個四棱錐，四棱錐的底面是一個平行四邊形，有兩個等腰直角三角形，直角邊長為1組成的平行四邊形，四棱錐的一條側棱與底面垂直，且側棱長為1，∴四棱錐的體積是．故選B．9.已知直線l:y=x與圓C:(x－a)2+y2=1，則“a=”是“直線l與圓C相切”的 （

）A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件

C．充要條件

D．既不充分又不必要條件參考答案：A10.一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】由三視圖求面積、體積．【專題】計算題；作圖題；空間位置關系與距離．【分析】這個幾何體由半個圓錐與一個四棱錐組合而成，從而求兩個體積之和即可．【解答】解：這個幾何體由半個圓錐與一個四棱錐組合而成，半個圓錐的體積為××π×1×=；四棱錐的體積為×2×2×=；故這個幾何體的體積V=；故選D．【點評】本題考查了學生的空間想象力與計算能力，屬于基礎題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.對于|q|＜1（q為公比）的無窮等比數列{an}（即項數是無窮項），我們定義Sn（其中Sn是數列{an}的前n項的和）為它的各項的和，記為S，即S=Sn=，則循環小數0.的分數形式是．參考答案：【考點】數列的極限．【專題】計算題；等差數列與等比數列．【分析】利用S=Sn=，即可求出循環小數0.的分數形式．【解答】解：0.=++…+==，故答案為：．【點評】本題考查數列的極限，考查學生的計算能力，比較基礎．12.若函數，已知，則_________．參考答案：3【分析】根據分段函數性質求參數，再代入求【詳解】因為，所以，因此故答案為：3【點睛】本題考查分段函數性質，考查基本分析求解能力，屬基礎題.

13.擲均勻硬幣5次，則總共擲出3次正面且在整個投擲過程中擲出反面的次數總是小于正面次數的概率是

．參考答案：略14.某個容量為的樣本的頻率分布直方圖見右圖，則在區間上的數據的頻數為

．參考答案：文30略15.對于實數x，y，定義運算，已知，則下列運算結果為的序號為

。（填寫所有正確結果的序號）

①②③④⑤參考答案：①③，,

得。

代入所求各式即可。16.已知cos（﹣α）=，則sin2α=．參考答案：【考點】兩角和與差的余弦函數．【分析】先利用差角的余弦公式展開，再兩邊平方，即可求得sin2α的值．【解答】解：∵cos（﹣α）=∴cosα+sinα=兩邊平方得：（1+2sinαcosα）=∴sin2α=故答案為：．【點評】本題考查差角的余弦公式，考查二倍角的正弦公式，解題的關鍵是利用差角的余弦公式展開，再兩邊平方．17.已知的展開式中，的系數為，則常數a的值為

．參考答案：，所以由得，從而點睛：求二項展開式有關問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據條件寫出第項，再由特定項的特點求出值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數.可由某項得出參數項，再由通項寫出第項，由特定項得出值，最后求出其參數.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設函數f（x）=﹣x（x∈R），其中m＞0．（1）當m=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率；（2）求函數f（x）的單調區間與極值；（3）已知函數f（x）有三個互不相同的零點0，x1，x2，且x1＜x2，若對任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立，求m的取值范圍．參考答案：考點：導數的幾何意義；利用導數研究函數的單調性；利用導數研究函數的極值；利用導數求閉區間上函數的最值．專題：導數的綜合應用．分析：（1），易得函數在所求點的斜率．（2）當f′（x）≥0，函數單增，f′（x）≤0時單減，令f′（x）=0的點為極值點．（3）由題意屬于區間[x1，x2]的點的函數值均大于f（1），由此計算m的范圍．解答： 解：（1）當，故f'（1）=﹣1+2=1，所以曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率為1．

（2）f'（x）=﹣x2+2x+m2﹣1，令f'（x）=0，解得x=1﹣m或x=1+m．∵m＞0，所以1+m＞1﹣m，當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：x（﹣∞，1﹣m）1﹣m（1﹣m，1+m）1+m（1+m，+∞）f′（x）﹣0+0﹣f（x）單調遞減極小值單調遞增極大值單調遞減∴f（x）在（﹣∞，1﹣m），（1+m，+∞）內是減函數，在（1﹣m，1+m）內是增函數．函數f（x）在x=1﹣m處取得極小值f（1﹣m），且f（1﹣m）=，函數f（x）在x=1+m處取得極大值f（1+m），且f（1+m）=．

（3）由題設，，∴方程有兩個相異的實根x1，x2，故，∵m＞0解得m，∵x1＜x2，所以2x2＞x1+x2=3，故x2＞．①當x1≤1＜x2時，f（1）=﹣（1﹣x1）（1﹣x2）≥0，而f（x1）=0，不符合題意，②當1＜x1＜x2時，對任意的x∈[x1，x2]，都有x＞0，x﹣x1≥0，x﹣x2≤0，則，又f（x1）=0，所以f（x）在[x1，x2]上的最小值為0，于是對任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立的充要條件是f（1）=m2﹣＜0，解得，∵由上m，綜上，m的取值范圍是（，）．點評：本題較為復雜，主要考查了直線的點斜式，函數的單調性及函數的極值問題，注意掌握知識點間的關系．19.本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多．某自行車租車點的收費標準是每車每次租車不超過兩小時免費，超過兩小時的部分每小時收費標準為2元(不足1小時的部分按1小時計算)．有甲、乙人互相獨立來該租車點租車騎游（各租一車一次）．設甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為、；兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為、；兩人租車時間都不會超過四小時．（Ⅰ）分別求出甲、乙在三小時以上且不超過四小時還車的概率；（Ⅱ）求甲、乙兩人所付的租車費用之和小于6元的概率．參考答案：本小題主要考查相互獨立事件、互斥事件等概念及相關概率計算，考查運用所學知識和方法解決實際問題的能力．解：（Ⅰ）分別記甲、乙在三小時以上且不超過四小時還車為事件A、B，則，．答：甲、乙在三小時以上且不超過四小時還車的概率分別為、．（Ⅱ）記甲、乙兩人所付的租車費用之和小于6元為事件C，則．答：甲、乙兩人所付的租車費用之和小于6元的概率為20.已知等比數列{an}是首項為1的遞減數列，且.（1）求數列{an}的通項公式；（2）若，求數列{bn}的前n項和Tn.參考答案：（1）；（2）.【分析】(1)由已知等式結合通項公式解出公比，再結合遞減數列取舍，即可得數列的通項公式.(2)用錯位相減法求和.【詳解】（1）由，得，解得或.數列為遞減數列，且首項為，..（2），.兩式相減得，.【點睛】本題考查等比數列的通項公式，錯位相減法求數列的和.若數列滿足且，分別是等差數列和等比數列，則可以用錯位相減法求數列的前項和.21.已知.（1）若是(0,+∞)上的增函數，求k的取值范圍；（2）若函數有兩個極值點，判斷函數零點的個數.參考答案：(1)(2)三個零點【分析】(1)由題意知恒成立,構造函數，對函數求導，求得函數最值，進而得到結果；（2）當時先對函數求導研究函數的單調性可得到函數有兩個極值點，再證，.【詳解】（1）由得，由題意知恒成立，即，設，，時，遞減，時，，遞增；故，即，故的取值范圍是.（2）當時，單調，無極值；當時，，一方面，，且在遞減，所以在區間有一個零點.另一方面，，設，則，從而在遞增，則，即，又在遞增，所以在區間有一個零點.因此，當時在和各有一個零點，將這兩個零點記為，，當時，即；當時，即；當時，即：從而在遞增，在遞減，在遞增；于是是函數的極大值點，是函數的極小值點.下面證明：，由得，即，由得，令，則，①當時，遞減，則，而，故；②當時，遞減，則，而，故；一方面，因為，又，且在遞增，所以在上有一個零點，即在上有一個零點.另一方面，根據得，則有：，又，且在遞增，故在上有一個零點，故在上有一個零點.又，故有三個零點.【點睛】本題考查函數的零點，導數的綜合應用．在研究函數零點時，有一種方法是把函數的零點轉化為方程的解，再把方程的解轉化為函數圖象的交點，特別是利用分離參數法轉化為動直線與函數圖象交點問題，這樣就可利用導數研究新函數的單調性與極值，從而得出函數的變化趨勢，得出結論．22.（本題滿分13分）對于項數為m的有窮數列數集，記（k=1,2,…,m），即為中的最大值，并稱數列是的控制數