1．導數的概念1．了解瞬時變化率、導數概念的實際背景．2．了解導數概念．3．會利用導數的定義求函數的導數．eq\x(基)eq\x(礎)eq\x(梳)eq\x(理)1．瞬時變化率：設函數y＝f(x)，當自變量x從x0到x1時，函數值從f(x0)到f(x1)，函數值y關于x的平均變化率為eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x1）－f（x0）,x1－x0)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)，當x1趨于x0，即Δx趨于0時，如果平均變化率趨于一個穩定值，那么這個值就是函數y＝f(x)在x0點的瞬時變化率．2．函數f(x)在x＝x0處的導數：函數f(x)在x＝x0處的瞬時變化率稱為函數f(x)在x＝x0處的導數，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))想一想：(1)能否認為函數在x＝x0處的導數越大，其函數值的變化就越大？(2)函數f(x)＝x在x＝0處的導數為_____________．(1)解析：這種說法不正確，應該說導數的絕對值越大，函數值變化越快．eq\x(自)eq\x(測)eq\x(自)eq\x(評)1．函數f(x)在x0處可導，則eq^\o(lim,\s\do4(h→0))(B)A．與x0、h都有關B．僅與x0有關，而與h無關C．僅與h有關，而與x0無關D．與x0、h均無關解析：由導數的定義可知選B.2．一物體運動滿足曲線方程s＝4t2＋2t－3，且s′(5)＝42(m/s)，其實際意義是(D)A．物體5秒內共走過42米B．物體每5秒鐘運動42米C．物體從開始運動到第5秒運動的平均速度是42米/秒D．物體以t＝5秒時的瞬時速度運動的話，每經過一秒，物體運動的路程為42米解析：由導數的物理意義知，s′(5)＝42(m/s)表示物體在t＝5秒時的瞬時速度．故選D.3．如果質點A的運動方程為y＝3t2，則它在t＝1時的瞬時速度為(D)A．6tB．3C．6＋ΔtD．6解析：t＝1的瞬時速度就是t＝1附近的平均速度當時間變化量Δt趨近于0的極限．eq\x(基)eq\x(礎)eq\x(鞏)eq\x(固)1．一質點運動的方程為s＝5－3t2，若該質點在時間段[1，1＋Δt]內相應的平均速度為－3Δt－6，則該質點在t＝1時的瞬時速度是(D)A．－3B．3C．6D．－62．函數f(x)＝eq\f(2,x)在x＝3處的導數是(C)A．－eq\f(2,3)B．－eq\f(1,3)C．－eq\f(2,9)D．－eq\f(1,9)解析：Δy＝f(3＋Δx)－f(3)＝eq\f(2,3＋Δx)－eq\f(2,3)＝eq\f(－2·（Δx）,3（3＋Δx）)，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(－2,3（3＋Δx）)，于是f(x)在x＝3處的導數為f′(3)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))＝－eq\f(2,9).故選C.3．物體自由落體的運動方程為：s(t)＝eq\f(1,2)gt2，g＝m/s2，若v＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(s（1＋Δt）－s（1）,Δt)＝m/s，那么下列說法中正確的是(C)A．m/s是物體從0s到1s這段時間內的速度B．m/s是物體從1s到(1＋Δt)s這段時間內的速度C．m/s是物體在t＝1s這一時刻的速率D．m/s是物體從1s到(1＋Δt)s這段時間內的平均速率解析：由于s(t)＝eq\f(1,2)gt2，所以由導數的定義可得：即s′(1)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(s（1＋Δt）－s（1）,Δt)＝(m/s)．所以m/s是物體在t＝1s這一時刻的速率．4．如果質點A按規律s＝3t2運動，那么在t＝3時的瞬時速度為________．解析：∵Δy＝3(3＋Δt)2－3×32＝18Δt＋3(Δt)2，∴s′(3)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δt→0))(18＋3Δt)＝18.答案：18eq\x(能)eq\x(力)eq\x(提)eq\x(升)5．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，則x0的值是(C)A．1B．－1C．±1D．3解析：∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－xeq\o\al(3,0)＝3xeq\o\al(2,0)Δx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3，∴eq\f(Δy,Δx)＝3xeq\o\al(2,0)＋3x0Δx＋(Δx)2，∴f′(x0)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))[3xeq\o\al(2,0)＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3xeq\o\al(2,0)，由f′(x0)＝3得3xeq\o\al(2,0)＝3，∴x0＝±1.6．設函數f(x)在點x0附近有定義，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b為常數)，則(C)A．f′(x)＝aB．f′(x)＝bC．f′(x0)＝aD．f′(x0)＝b解析：∵f′(x0)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(aΔx＋b（Δx）2,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))(a＋bΔx)＝a，∴f′(x0)＝a.7．設函數f(x)滿足eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（1）－f（1－x）,x)＝－1，則f′(1)＝________．解析：∵eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（1）－f（1－x）,x)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（1－x）－f（1）,－x)＝f′(1)＝－1.答案：－18．函數f(x)＝x2＋1在x＝1處可導，在求f′(1)的過程中，設自變量的增量為Δx，則函數的增量Δy＝____________．解析：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[(1＋Δx)2＋1]－(12＋1)＝2Δx＋(Δx)2.答案：2Δx＋(Δx)29．求函數f(x)＝x3＋2x＋1在x0＝1處的導數f′(1)．解析：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(Δx)3＋3(Δx)2＋5Δx，∴f′(1)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（Δx）2＋3Δx＋5))＝5.10．在自行車比賽中，運動員的位移與比賽時間t存在關系s(t)＝10t＋5t2(s的單位是m，t的單位是s)．(1)求t＝20，Δt＝時的Δs與eq\f(Δs,Δt)；(2)求t＝20時的速度．解析：(1)當t＝20，Δt＝時，Δs＝s(20＋Δt)－s(20)＝10(20＋＋5(20＋2－(10×20＋5×202)＝1＋20＋5×＝(m)．∴eq\f(Δs,Δt)＝eq\f,＝(m/s)．(2)由導數的定義知，t＝20時的速度即為v＝eq^\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq^\o